重庆市2021年中考数学模拟试题含答案（二） 16页

重庆市 2021 年初中学业水平暨高中招生考试数学 模拟题(二) (考试时间：120 分钟 满分：15 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分) 1．下列各数中比 0 大的是 （C） A．－3 B．－1 C．0.2 D．－1 2 2．如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是 （A） A B C D 第 2 题图 第 3 题图 3．若△ABC∽△ADE，若 AB＝6，AC＝4，AD＝3，则 AE 的长是 （B） A．1 B．2 C．1.5 D．3 4．(2020·徐州)如图，AB 是⊙O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上， OC⊥OA，OC 交 AB 于点 P.若∠BPC＝70°，则∠ABC 的度数等于（B） A.75° B．70° C．65° D．60° 5．(2020·包头)下列命题正确的是 （D） A．若分式x2－4 x－2 的值为 0，则 x 的值为±2 B．一个正数的算术平方根一定比这个数小 C．若 b＞a＞0，则a b ＞a＋1 b＋1 D．若 c≥2，则一元二次方程 x2＋2x＋3＝c 有实数根 6．下列计算正确的是 （D） A． 2 ＋ 3 ＝ 5 B． （－2）2 ＝－2 C．3 3 －2 3 ＝1 D．3 （－1）3 ＝－1 7．《九章算术》有题曰：“今有五雀，六燕，集称之衡，雀俱重，燕 俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕雀重一斤．问燕雀一枚各重几 何？”其大意是：“现在有 5 只雀，6 只燕，分别集中放在天平上称 重，聚在一起的雀重燕轻．将 1 只雀 1 只燕交换位置而放，重量相等.5 只雀、6 只燕重量共 1 斤，问雀和燕各重多少？”古代记 1 斤为 16 两，则设 1 只雀 x 两，1 只燕 y 两，可列出方程 （A） A． 5x＋6y＝16 4x＋y＝5y＋x B． 5x＋6y＝16 5x＝6y C． 5x＋6y＝10 4x＋y＝5y＋x D． 5x＋6y＝10 5x＝6y 8．按下图所示的运算程序，能使输出结果为 5 的是 （B） A． x＝3 y＝8 B． x＝3 y＝－2 C． x＝3 y＝3 D． x＝3 y＝－5 9．一个三角形的两边长分别为 3 和 4，且第三边长为整数，这样的 三角形的周长最大值是 （C） A．11 B．12 C．13 D．14 10．(2020 春·九龙坡区期末)已知关于 x，y 的二元一次方程组 x－y＝a＋3， 2x＋y＝5a 的解满足 x＞y，且关于 x 的不等式组 2x＋1<2a， 2x－1 14 ≥3 7 无 解，那么所有符合条件的整数 a 的个数为 （B） A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．9 个 11．如图，直线 y＝x＋1 与双曲线 y＝k x 交于第一象限的点 A，与 y 轴交于点 B，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，连接 BC.若△ABC 的面积 为 2，则 k 的值为 （C） A．2 B．3 C．4 D．5 第 11 题图 第 12 题图 12．★如图，正方形 ABCD 中，AB＝6，E 为 AB 的中点，将△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，延长 EF 交 BC 于 G，FH⊥BC，垂足为 H， 连 接 BF ， DG. 以 下 结 论 ： ① BF ∥ ED ； ②△DFG≌△DCG ； ③△FHB∽△EAD；④tan ∠GEB＝4 3 ；⑤S△BFG＝2.6，其中正确的 个数是 （C） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分) 13．计算：22－( 3 －1)0＝3. 14．世界旅游业理事会的最新报告预测，受疫情影响，2020 年全球 有 7 500 万个旅游业工作岗位面临威胁，2020 年旅游业产值预计将损 失 2 100 000 000 000 美元．请将数据 2 100 000 000 000 用科学记数表 示为 2.1×1012． 15．一木盒里装有四个完全相同的小球，在小球上分别标上－ 2 ， 2 ，2，3 四个数，搅匀后，小明先从木盒里随机摸出一个小球，然 后小亮从剩余的小球里随机摸出一个小球，两人摸出的小球上的数字 之积为无理数的概率为2 3 ． 16．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2 3 ，以 点 B 为圆心，AB 的长为半径作圆，交 AC 于点 E，交 BC 于点 F， 阴影部分的面积为π 3 ＋ 3 ．(结果保留π) 第 16 题图 第 17 题图 17．某单位的老王和老张同时参加了某次的越野比赛，已知两人同时 出发，以各自的速度匀速跑步前进，出发 2 分钟后，老王身体不适， 停下来休息了 1 分钟，再以原速度继续跑步前进，当老王到达 S 站后， 立即走路返回去接老张，两人相遇后，老王立即以原来的速度跑步前 往 S 站，0.5 分钟后到达 S 站，已知两人间的距离 y(m)随两人运动时 间 x(s)的变化如图．问：当老王第一次到达 S 站时，老张距 S 站的距 离为 265m. 18．★2019 年秋，重庆二外初 2021 级开启了“大阅读”活动，为了 充实书吧藏书，学生会号召全年级学生捐书，得到各班的大力支持．同 时，年级部分备课组的老师也购买藏书充实到年级书吧，其中数学组 购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去 6 999 元：语文组购买 了 A，B 两种文学书籍若干本，用去 6 138 元，已知 A，B 的数量分 别与甲、乙的数量相等，且甲种书与 B 种书的单价相同，乙种书与 A 种书的单价相同．若甲种书的单价比乙种书的单价多 7 元，则甲种书 籍比乙种书籍多买了 123 本． 三、解答题(本大题共 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分) 19．(本题满分 10 分，每小题 5 分) (1)计算：(2x－y)2＋(2x＋y)(x－2y)； 解：原式＝4x2－4xy＋y2＋2x2－3xy－2y2 ＝6x2－7xy－y2. (2)(2020·北碚区指标到校测试) x＋x－4 x－1 ÷x2－4x＋4 x－1 . 解：原式＝ x2－x x－1 ＋x－4 x－1 · x－1 x2－4x＋4 ＝（x＋2）（x－2） x－1 · x－1 （x－2）2 ＝x＋2 x－2 . 20．(本小题满分 10 分)某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全 知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测试，并 对成绩(百分制)进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图： (每组包含最小值，不包含最大值) b.七年级成绩在 70≤x<80 这一组的是： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数(单位：分)如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 m 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，七年级在 80 分以上(含 80 分)的有 23 人； (2)表中 m 的值为 77.5； (3)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分， 请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； (4)该校七年级学生有 400 人，假设全部参加此次测试，请估计七年级 成绩超过平均数 76.9 分的人数． 解：(3)甲的排名更靠前．因为甲的成绩大于七年级抽测成绩的中位 数，而乙的成绩小于八年级抽测成绩的中位数； (4)400×8＋15＋5 50 ＝224(人). 答：估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数为 224 人． 21．(本小题满分 10 分)如图，在△ABC 中，CD⊥AB，垂足为 D， 点 E 在 BC 上，EF⊥AB，垂足为 F，∠1＝∠2. (1)试说明 DG∥BC 的理由； (2)如果∠B＝54°，且∠ACD＝35°，求的∠3 度数． 解：(1)理由：∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴CD∥EF， ∴∠2＝∠BCD. 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BCD， ∴DG∥BC. (2)在 Rt△BEF 中，∠B＝54°， ∴∠2＝90°－54°＝36°，∴∠BCD＝∠2＝36°. 又∵BC∥DG，∴∠3＝∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝35°＋36°＝71°. 22．(本小题满分 10 分)(2020 春·南岸区期末)为了鼓励居民节约用水， 某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费，设每户家庭 用水量为 x 吨时，应交水费 y 元．如图，是用水量不大于 a 吨时，所 交的水费 y/元与用水量 x/吨之间的关系． 当用水量 x＞a 时，所交的水费 y/元与用水量 x/吨之间的关系如下表 所示． 用水量 x/吨 21 22 23 24 25 26 27 … 水费 y/元 42.8 45.6 48.4 51.2 54 56.8 59.6 … (1)直接写出 a 的值，并分别求出 0≤x≤a 和 x＞a 时，y 与 x 之间的 关系式； (2)小颖家 4 月、5 月分别交水费 38 元，68 元，问小颖家 5 月份比 4 月份多用多少吨水？ 解：(1)从图象和表格可知，a＝20. 从图象可知，每吨水的费用为 2 元． 所以，当 0≤x≤20 时，y＝2x. 从表格中可知，用水量每增加 1 吨，费用增加 2.8 元， 所以，当 x＞20 时，y＝2×20＋2.8·(x－20)＝2.8x－16， 即当 x＞20 时，y＝2.8x－16. (2)当 y＝38 时，0＜x＜20，所以，2x＝38. 解方程，得 x＝19. 当 y＝68 时，x＞20，所以，2.8x－16＝68. 解方程，得 x＝30.30－19＝11. 答：小颖家 5 月份比 4 月份多用 11 吨水． 23．(本小题满分 10 分)(2020 春·九龙坡区期末)2020 年春季我国武汉 地区爆发的新型冠状病毒肺炎让口罩的需求量巨增．杨家坪某医药店 准备购进一批防护口罩(N95)、医用护理口罩(以下依次简称为甲类口 罩、乙类口罩)，以购口罩的个数来计：二个甲类口罩和三个乙类口 罩共需 49 元；三个甲类口罩和二个乙类口罩共需 66 元． (1)求一个甲类口罩和一个乙类口罩的进价各是多少元； (2)若该医药店准备同时购进甲类，乙类这两种类型的口罩共 10 000 个，且乙类口罩的数量不多于甲类口罩数量的 4 倍，请你设计出最省 钱的购买方案，并说明理由． 解：(1)设一个甲类口罩的进价是 x 元，一个乙类口罩的进价是 y 元， 根据题意得 2x＋3y＝49， 3x＋2y＝66， 解得 x＝20， y＝3， 答：一个甲类口罩的进价是 20 元，一个乙类口罩的进价是 3 元； (2)设购进甲类口罩 z 个，总费用为 w 元，则购进乙类口罩(10 000－z) 个 则有 4z≥10 000－z，解得 z≥2 000， ∵z 为口罩个数，∴z≥2 000 且 z 为整数， w＝20z＋3(10 000－z)＝17z＋30 000， ∵17＞0，∴w 随 z 的增大而增大， ∴当 z＝2 000 时， w 有最小值，w 最小＝17×2 000＋30 000＝64 000(元)， 此时 10 000－2 000＝8 000 个， 答：最省钱的方案是购进甲类口罩 2 000 个，乙类口罩 8 000 个． 24．(本小题满分 10 分)对于任意一个三位正整数，十位上的数字减去 个位上的数字之差恰好等于百位上的数字，则称这个三位数为“极差 数”．例如：对于三位数 451，5－1＝4，则 451 是“极差数”；对于 三位数 110，1－0＝1，则 110 是“极差数” (1)求证：任意一个“极差数”一定能被 11 整除； (2)在一个“极差数”首位之前添加其十位的数字得到一个新的四位 数M，在一个“极差数”末位之后添加数字1得到一个新的四位数N， 若 M－N 能被 12 整除，求满足条件的“极差数”． (1)证明：设任意一个“极差数”的百位数字是 a， 十位数字是 b，个位数字是 c， ∵a＝b－c， ∴100a＋10b＋c＝100b－100c＋10b＋c＝110b－99c＝11(10b－9c)， ∵10 b－9c 是正整数， ∴100a＋10b＋c 能被 11 整除， ∴任意一个“极差数”一定能被 11 整除； (2) 解：设任意一个“极差数”的百位数字是 a， 十位数字是 b，个位数字是 c，则 M＝1 000b＋100a＋10b＋c， N＝1 000a＋100b＋10c＋1， 则 M－N＝－900a＋910b－9c－1＝－900(b－c)＋910b－9c－1 ＝10b＋891c－1， ∵M－N 能被 12 整除， ∴c 一定是奇数，且 0≤c≤8. 又∵1≤b≤9，1≤a≤9，故令 c＝1，3，5，7 可得， 当 c＝1 时，b＝1，a＝0(舍去)； 当 c＝1 时，b＝7，a＝6； 当 c＝3 时，b＝4，a＝1； 当 c＝5 时，b＝1，a＝－4(舍去)； 当 c＝5 时，b＝7，a＝2； 当 c＝7 时，b＝4，a＝－3(舍去). 故满足条件的“极差数”有 671 和 143 和 275. 25．(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过二次 函数 y＝－x2＋4x 图象上的点 A(3，3)作 x 轴的垂线交 x 轴于点 B. (1)如图①，P 为线段 OA 上方抛物线上的一点，在 x 轴上取点 C(1， 0)，点 M，N 为 y 轴上的两个动点，点 M 在点 N 的上方且 MN＝1. 连接 AC，当四边形 PACO 的面积最大时，求 PM＋MN＋1 2 NO 的最 小值． (2)★如图②，点 Q(3，1)在线段 AB 上，连接 CQ，将△ACQ 沿直线 AB 翻折，C 点的对应点为 C′，将△AQC′沿射线 CQ 平移 3 5 个单 位得△A′Q′C″，在抛物线上取一点 M，使得以 A′，M，C″为顶 点的三角形是等腰三角形，求 M 点的坐标． 图① 图② 解：(1)易得当四边形 PACO 的面积最大时， P 3 2 ，15 4 ，把点 P 沿 MN 方向平移 1 个单位得 P′ 3 2 ，11 4 ，作直线 l：y＝－ 3 x，作 NE⊥l 于点 E，作 P′H⊥l 于 点 H，如解图，易得 NE＝1 2 NO， PM＝P′N，∴PM＋MN＋1 2 NO 最小值即为 P′H＋MN，由 P′H⊥L 可得 kP′H＝ 3 3 ， ∴直线 P′H 解析式为 y＝ 3 3 x＋11 4 － 3 2 ， ∴H 3 8 －11 3 16 ，33 16 －3 3 8 ， ∴P′H＝3 3 4 ＋11 8 ，故 PM＋MN＋1 2 NO 最小值为3 3 4 ＋11 8 ＋1 ＝3 3 4 ＋19 8 ； 解图 (2)易得 A′(9，6)，C″(11，3)，设抛物线上的点 M(x，－x2＋4x)， 设抛物线与 x 轴另一交点为 D，易得 D(4，0)，A′C″＝ 13 ， ①当 M 为顶点时， 则有(x－9)2＋(－x2＋4x－6)2＝(x－11)2＋(－x2＋4x－3)2， 解得 x1＝10＋ 178 6 ，x2＝10－ 178 6 ， ∴M1 10＋ 178 6 ，－19＋2 178 18 ， M2 10－ 178 6 ，－19－2 178 18 ； ②当 A′为顶点时，因 xA′－xD＝9－4＝5> 13 ，故不存在符合题意 的 M 点； ③当 C″为顶点时，因 xC″－xD＝11－4＝7> 13 ，故不存在符合题意 的 M 点． 综 上 ， M 点 坐 标 为 10＋ 178 6 ，－19＋2 178 18 或 10－ 178 6 ，－19－2 178 18 . 四、解答题(本大题 1 个小题，共 8 分) 26．(本小题满分 8 分)(2020·南岸区模拟)如图，正方形 ABCD 的边长 为 2，E 为 AB 的中点，P 是 BA 延长线上的一点，连接 PC 交 AD 于 点 F，AP＝FD. (1)求AF AP 的值； (2)连接 EC，在线段 EC 上取一点 M，使 EM＝EB，连接 MF.求证： MF＝PF. (1)解：∵正方形 ABCD 的边长为 2， ∴PB∥CD，AD＝2， 设 AP＝FD＝a， 则 AF＝AD－FD＝2－a， ∵PB∥CD，∴△AFP∽△DFC， ∴AP CD ＝AF FD ，即a 2 ＝2－a a ， 解得 a1＝ 5 －1，a2＝－ 5 －1(不合题意舍去)， ∴AP＝FD＝ 5 －1，AF＝2－ 5 ＋1＝3－ 5 ， ∴AF AP ＝3－ 5 5－1 ＝ 5－1 2 . (2)证明：在 CD 上截取 DH＝AF， 则 CH＝FD＝ 5 －1，如图所示． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝CD，∠PAF＝∠ADC＝∠B＝90°， 在△PAF 和△FDH 中， AF＝DH， ∠PAF＝∠FDH＝90°， AP＝FD， ∴△PAF≌△FDH(SAS)， ∴PF＝FH， ∵正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点， ∴BE＝AE＝EM＝1， ∴PE＝PA＋AE＝ 5 －1＋1＝ 5 ， ∵在 Rt△BCE 中，∠B＝90°， ∴EC2＝BE2＋BC2＝12＋22＝5，∴EC＝ 5 ， ∴EC＝PE，CM＝EC－EM＝ 5 －1＝CH， ∴∠P＝∠ECP， ∵PB∥CD，∴∠P＝∠PCD，∴∠ECP＝∠PCD， 在△FCM 和△FCH 中， CM＝CH， ∠FCM＝∠FCH， CF＝CF， ∴△FCM≌△FCH(SAS)，∴MF＝FH， ∴MF＝PF.