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  • 2021-11-10 发布

2013年四川省达州市中考数学试题(含答案)

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四川省达州市 2013 年中考数学试卷 一.选择题:(本题 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.(3 分)(2013•达州)﹣2013 的绝对值是( ) A.2013 B.﹣2013 C. D. 考点:绝对值 分析:根据负数的绝对值等于它的相反数解答. 解答:解:﹣2013 的绝对值是 2013. 故选 A. 点评:本题考查了绝对值的性质,一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相 反数;0 的绝对值是 0. 2.(3 分)(2013•达州)某中学在芦山地震捐款活动中,共捐款二十一万三千元.这一数据 用科学记数法表示为( ) A.213×103 元 B.2.13×104 元 C.2.13×105 元 D.0.213×106 元 考点:科学记数法—表示较大的数 分析:科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 解答:解:将二十一万三千元用科学记数法表示为 2.13×105. 故选 C. 点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a| <10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 3.(3 分)(2013•达州)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 考点:中心对称图形;轴对称图形 分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 解答:解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误; B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误; C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误; D、既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项正确. 故选 D. 点评:本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图 形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分重合. 4.(3 分)(2013•达州)甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市先降价 20%,后又降价 10%;乙超市连续两次降价 15%;丙超市一次降价 30%.那么顾客到哪家 超市购买这种商品更合算( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.一样 考点:列代数式 分析:设商品原价为 x,表示出三家超市降价后的价格,然后比较即可得出答案. 解答:解:设商品原价为 x, 甲超市的售价为:x(1﹣20%)(1﹣10%)=0.72x; 乙超市售价为:x(1﹣15%)2=0.7225x; 丙超市售价为:x(1﹣30%)=70%x=0.7x; 故到丙超市合算. 故选 C. 点评:本题考查了列代数式的知识,解答本题的关键是表示出三家超市降价后的售价,难度 一般. 5.(3 分)(2013•达州)下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子,将它们按时间先后 顺序正确的是( ) A.(3)(1)(4)(2)B.(3)(2)(1)(4)C.(3)(4)(1)(2)D.(2)(4)(1)(3) 考点:平行投影 分析:根据从早晨到傍晚物体影子的指向是:西﹣西北﹣北﹣东北﹣东,影长由长变短,再 变长. 解答:解:西为(3),西北为(4),东北为(1),东为(2), ∴将它们按时间先后顺序排列为(3)(4)(1)(2). 故选:C. 点评:本题考查了平行投影的特点和规律.在不同时刻,物体在太阳光下的影子的大小在变, 方向也在改变,就北半球而言,从早晨到傍晚物体影子的指向是:西﹣西北﹣北﹣东 北﹣东,影长由长变短,再变长. 6.(3 分)(2013•达州)若方程 3x2﹣6x+m=0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围在 数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 考点:根的判别式;在数轴上表示不等式的解集 分析:首先根据题意可得△>0,代入相应的数可得∴(﹣6)2﹣4×3×m>0,再解不等式即 可. 解答:解:∵方程 3x2﹣6x+m=0 有两个不相等的实数根, ∴△>0, ∴(﹣6)2﹣4×3×m>0, 解得:m<3, 在数轴上表示为: , 故选:B. 点评:此题主要考查了根的判别式,以及解一元一次不等式,关键是掌握一元二次方程根的 情况与判别式△的关系: (1)△>0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根; (2)△=0 ⇔ 方程有两个相等的实数根; (3)△<0 ⇔ 方程没有实数根. 7.(3 分)(2013•达州)下列说法正确的是( ) A.一个游戏中奖的概率是 ,则做 100 次这样的游戏一定会中奖 B.为了了解全国中学生的心理健康状况,应采用普查的方式 C.一组数据 0,1,2,1,1 的众数和中位数都是 1 D.若甲组数据的方差 ,乙组数据的方差 ,则乙组数据比甲组数据稳定 考点:概率的意义;全面调查与抽样调查;中位数;众数;方差 分析:根据概率、方差、众数、中位数的定义对各选项进行判断即可. 解答:A、一个游戏中奖的概率是 ,则做 100 次这样的游戏有可能中奖一次,该说法错 误,故本选项错误; B、为了了解全国中学生的心理健康状况,应采用抽样调查的方式,该说法错误,故 本选项错误; C、这组数据的众数是 1,中位数是 1,故本选项正确; D、方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小,则甲组数据比乙组稳定, 故本选项错误; 故选 C. 点评:本题考查了概率、方差、众数、中位数等知识,属于基础题,掌握各知识点是解题的 关键. 8.(3 分)(2013•达州)如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧 CD,点 O 是弧 CD 的圆心),其中 CD=600 米,E 为弧 CD 上一点,且 OE⊥CD,垂足为 F,OF= 米, 则这段弯路的长度为( ) A.200π米 B.100π米 C.400π米 D.300π米 考点:垂径定理的应用;勾股定理;弧长的计算 分析:设这段弯路的半径为 R 米,OF= 米,由垂径定理得 CF= CD= ×600=300.由 勾股定理可得 OC2=CF2+OF2,解得 R 的值,进而得出这段弧所对圆心角,求出弧长 即可. 解答:解:设这段弯路的半径为 R 米 OF= 米, ∵OE⊥CD ∴CF= CD= ×600=300 根据勾股定理,得 OC2=CF2+OF2 即 R2=3002+(300 )2 解之,得 R=600, ∴sin∠COF= = , ∴∠COF=30°, ∴这段弯路的长度为: =200π(m). 故选:A. 点评:此题主要考查了垂径定理的应用,根据已知得出圆的半径以及圆心角是解题关键. 9.(3 分)(2013•达州)如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点 D 在 BC 上, 以 AC 为对角线的所有▱ADCE 中,DE 最小的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 考点:平行四边形的性质;垂线段最短;平行线之间的距离 分析:由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知,当 OD⊥BC 时,DE 线段取最小值. 解答:解:∵在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=3,BC=4, ∴AC= =5. ∵四边形 ADCE 是平行四边形, ∴OD=OE,OA=OC=2.5. ∴当 OD 取最小值时,DE 线段最短,此时 OD⊥BC. ∴OD= AB=1.5, ∴ED=2OD=3. 故选 B. 点评:本题考查了平行四边形的性质,以及垂线段最短.解答该题时,利用了“平行四边形 的对角线互相平分”的性质. 10.(3 分)(2013•达州)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,反比例函数 与一次函 数 y=cx+a 在同一平面直角坐标系中的大致图象是( ) A. B. C. D. 考点:二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象 分析:首先根据二次函数图象与 y 轴的交点可得 c>0,根据抛物线开口向下可得 a<0,由 对称轴在 y 轴右边可得 a、b 异号,故 b>0,再根据反比例函数的性质与一次函数图 象与系数的关系画出图象可得答案. 解答:解:根据二次函数图象与 y 轴的交点可得 c>0,根据抛物线开口向下可得 a<0,由 对称轴在 y 轴右边可得 a、b 异号,故 b>0, 则反比例函数 的图象在第一、三象限, 一次函数 y=cx+a 在第一、三、四象限, 故选:B. 点评:此题主要考查了二次函数图象,一次函数图象,反比例函数图象,关键是根据二次函 数图象确定出 a、b、c 的正负. 二.填空题:(本题 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分.把最后答案直接填在题中的横线上) 11.(3 分)(2013•达州)分解因式:x3﹣9x= x(x+3)(x﹣3) . 考点:提公因式法与公式法的综合运用 分析:先提取公因式 x,再利用平方差公式进行分解. 解答:解:x3﹣9x, =x(x2﹣9), =x(x+3)(x﹣3). 点评:本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式,本题要进行二次分 解,分解因式要彻底. 12.(3 分)(2013•达州)某校在今年“五•四”开展了“好书伴我成长”的读书活动.为了解八 年级 450 名学生的读书情况,随机调查了八年级 50 名学生本学期读书册数,并将统计数据 制成了扇形统计图,则该校八年级学生读书册数等于 3 册的约有 153 名. 考点:扇形统计图 分析:首先根据扇形统计图求出样本中读书册数等于 3 册所占的百分比即 m%的值,再利用 样本估计总体的思想,用 450 乘以 m%即可求出该校八年级学生读书册数等于 3 册的 人数. 解答:解:由扇形统计图可知,样本中读书册数等于 3 册所占的百分比为:1﹣6%﹣24%﹣ 30%﹣6%=34%,即 m%=34%, 所以该校八年级学生读书册数等于 3 册的约有:450×34%=153(名). 故答案为 153. 点评:本题考查了扇形统计图及用样本估计总体的思想,从统计图中正确地获取信息是解题 的关键. 13.(3 分)(2013•达州)已知(x1,y1),(x2,y2)为反比例函数 y= 图象上的点,当 x1 <x2<0 时,y1<y2,则 k 的一个值可为 ﹣1 .(只需写出符合条件的一个 k 的值) 考点:反比例函数图象上点的坐标特征 专题:开放型. 分析:先根据已知条件判断出函数图象所在的象限,再根据反比例函数图象的特点解答即 可. 解答:解:∵x1<x2<0, ∴A(x1,y1),B(x2,y2)同象限,y1<y2, ∴点 A,B 都在第四象限, ∴k<0,例如 k=﹣1 等. 点评:本题考查了反比例函数图象的性质和增减性,难度比较大. 14.(3 分)(2013•达州)如果实数 x 满足 x2+2x﹣3=0,那么代数式 的 值为 5 . 考点:分式的化简求值. 专题:探究型. 分析:先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再根据实数 x 满足 x2+2x﹣3=0 求出 x2+2x 的值,代入原式进行计算即可. 解答:解:原式= ×(x+1) =x2+2x+2, ∵实数 x 满足 x2+2x﹣3=0, ∴x2+2x=3, ∴原式=3+2=5. 故答案为:5. 点评:本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 15.(3 分)(2013•达州)如图,折叠矩形纸片 ABCD,使 B 点落在 AD 上一点 E 处,折痕 的两端点分别在 AB、BC 上(含端点),且 AB=6,BC=10.设 AE=x,则 x 的取值范围是 2≤x≤6 . 考点:翻折变换(折叠问题). 分析:设折痕为 PQ,点 P 在 AB 边上,点 Q 在 BC 边上.分别利用当点 P 与点 A 重合时, 以及当点 Q 与点 C 重合时,求出 AE 的极值进而得出答案. 解答:解:设折痕为 PQ,点 P 在 AB 边上,点 Q 在 BC 边上. 如图 1,当点 Q 与点 C 重合时,根据翻折对称性可得 EC=BC=10, 在 Rt△CDE 中,CE2=CD2+ED2, 即 102=(10﹣AE)2+62, 解得:AE=2,即 x=2. 如图 2,当点 P 与点 A 重合时,根据翻折对称性可得 AE=AB=6,即 x=6; 所以,x 的取值范围是 2≤x≤6. 故答案是:2≤x≤6. 点评:本题考查的是翻折变换(折叠问题),勾股定理.注意利用翻折变换的性质得出对应 线段之间的关系是解题关键. 16.(3 分)(2013•达州)如图,在△ABC 中,∠A=m°,∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点 A1,得∠A1;∠A1BC 和∠A1CD 的平分线交于点 A2,得∠A2;…∠A2012BC 和∠A2012CD 的平分线交于点 A2013,则∠A2013= 度. 考点:三角形内角和定理;三角形的外角性质 专题:规律型. 分析:利用角平分先性质、三角形外角性质,易证∠A1= ∠A,进而可求∠A1,由于∠A1= ∠A,∠A2= ∠A1= ∠A,…,以此类推可知∠A2013= ∠A= °. 解答:解:∵A1B 平分∠ABC,A1C 平分∠ACD, ∴∠A1BC= ∠ABC,∠A1CA= ∠ACD, ∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC, 即 ∠ACD=∠A1+ ∠ABC, ∴∠A1= (∠ACD﹣∠ABC), ∵∠A+∠ABC=∠ACD, ∴∠A=∠ACD﹣∠ABC, ∴∠A1= ∠A, ∴∠A1= m°, ∵∠A1= ∠A,∠A2= ∠A1= ∠A, … 以此类推∠A2013= ∠A= °. 故答案为: . 点评:本题考查了角平分线性质、三角形外角性质,解题的关键是推导出∠A1= ∠A,并能 找出规律. 三.解答题(72 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(6 分)(2013•达州)计算: . 考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值 专题:探究型. 分析:先根据 0 指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值计算出各数,再根据实数混合 运算的法则进行计算即可. 解答:解:原式=1+2 ﹣ +9 =10+ . 点评:本题考查的是实数的运算,熟知 0 指数幂、负整数指数幂的计算法则,熟记特殊角的 三角函数值是解答此题的关键. 18.(7 分)(2013•达州)钓鱼岛自古以来就是中国领土.中国有关部门已对钓鱼岛及其附 属岛屿开展常态化监视监测.如图,E、F 为钓鱼岛东西两端.某日,中国一艘海监船从 A 点向正北方向巡航,其航线距离钓鱼岛最近距离 CF= 海里,在 A 点测得钓鱼岛最西端 F 在点 A 的北偏东 30°方向;航行 22 海里后到达 B 点,测得最东端 E 在点 B 的东北方向(C、 F、E 在同一直线上).求钓鱼岛东西两端的距离.( , ,结果精确到 0.1) 考点:解直角三角形的应用-方向角问题 分析:首先根据已知得出∠CAF=30°,FC=20 海里,AB=22 海里,∠CBE=45°,进而得出 AC,BC,以及 EF 长度即可. 解答:解:由题意可得出: ∵∠CAF=30°,FC=20 海里,AB=22 海里,∠CBE=45°, ∴AC= =60(海里), ∴BC=EC=60﹣22=38(海里), ∴EF=38﹣20 ≈3.4(海里). 答:钓鱼岛东西两端的距离约为 3.4 海里. 点评:此题主要考查了方向角问题的应用,根据已知得出 BC=EC 是解题关键. 19.(7 分)(2013•达州)已知 f(x)= ,则 f(1)= f(2) = …,已知 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)= ,求 n 的值. 考点:分式的加减法;解分式方程 分析:把 f(x)裂项为 ﹣ ,然后进行计算即可得解. 解答:解:∵f(x)= = ﹣ , ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ , ∵f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)= , ∴1﹣ = , 解得 n=14. 点评:本题考查了分式的加减,把 f(x)进行裂项是解题的关键,也是本题的难点. 20.(7 分)(2013•达州)某中学举行“中国梦•我的梦”演讲比赛.志远班的班长和学习委员 都想去,于是老师制作了四张标有算式的卡片,背面朝上洗匀后,先由班长抽一张,再由学 习委员在余下三张中抽一张.如果两张卡片上的算式都正确,班长去;如果两张卡片上的算 式都错误,学习委员去;如果两张卡片上的算式一个正确一处错误,则都放回去,背面朝上 洗匀后再抽.这个游戏公平吗?请用树状图或列表的方法,结合概率予以说明. 考点:游戏公平性;整式的混合运算;列表法与树状图法. 分析:首先判断运算正确的卡片的数量,再利用树状图表示出所有可能,然后利用概率的公 式求解即可. 解答:解:由题意可画树状图得: ∵四张卡片中 B 和 D 正确,两张都正确的只有 2 种情况,两张卡片上的算式都错误 的只有 AC,CA 两种情况, ∴班长去的概率为: = ,学习委员去的概率为: = . 故此游戏公平. 点评:本题考查了游戏公平性以及概率的求法.如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的 可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= . 21.(8 分)(2013•达州)已知反比例函数 的图象与一次函数 y=k2x+m 的图象交于 A (﹣1,a)、B( ,﹣3)两点,连结 AO. (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)设点 C 在 y 轴上,且与点 A、O 构成等腰三角形,请直接写出点 C 的坐标. 考点:反比例函数与一次函数的交点问题 分析:(1)将点 A(﹣1,a)、B( ,﹣3)代入反比例函数 中得:﹣3× =(﹣1)×a=k1, 可求 k1、a;再将点 A(﹣1,a)、B( ,﹣3)代入 y2=k2x+m 中,列方程组求 k2、 m 即可; (2)分三种情况:①OA=OC;②AO=AC;③CA=CO;讨论可得点 C 的坐标. 解答:解:(1)∵反比例函数 的图象经过 B( ,﹣3), ∴k1=3× ×(﹣3)=﹣3, ∵反比例函数 的图象经过点 A(﹣1,a), ∴a=1. 由直线 y2=k2x+m 过点 A,B 得: , 解得 . ∴反比例函数关系式为 y=﹣ ,一次函数关系式为 y=﹣3x﹣2; (2)点 C 在 y 轴上,且与点 A、O 构成等腰三角形,点 C 的坐标为:(0,﹣ )或 (0, )或(0,2)或(0,1). 如图,线段 OA 的垂直平分线与 y 轴的交点,有 1 个; 以点 A 为圆心、AO 长为半径的圆与 y 轴的交点,有 1 个; 以点 O 为圆心、OA 长为半径的圆与 y 轴的交点,有 2 个. 以上四个点为所求. 点评:此题综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、等腰三角形的性质等知识,注意分 类思想的运用. 22.(8 分)(2013•达州)选取二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)中的两项,配成完全平方式的过 程叫配方.例如 ①选取二次项和一次项配方:x2﹣4x+2=(x﹣2)2﹣2; ②选取二次项和常数项配方: ,或 ③选取一次项和常数项配方: 根据上述材料,解决下面问题: (1)写出 x2﹣8x+4 的两种不同形式的配方; (2)已知 x2+y2+xy﹣3y+3=0,求 xy 的值. 考点:配方法的应用 分析:(1)根据配方法的步骤根据二次项系数为 1,常数项是一次项系数的一半的平方进行 配方和二次项和常数项在一起进行配方即可. (2)根据配方法的步骤把 x2+y2+xy﹣3y+3=0 变形为(x+ y)2+ (y﹣2)2=0,再 根据 x+ y,=0,y﹣2=0,求出 x,y 的值,即可得出答案. 解答:解:(1)x2﹣8x+4 =x2﹣8x+16﹣16+4 =(x﹣4)2﹣12; x2﹣8x+4 =(x﹣2)2+4x﹣8x =(x﹣2)2﹣4x; (2)x2+y2+xy﹣3y+3=0, (x+ y)2+ (y﹣2)2=0, x+ y=0,y﹣2=0, x=﹣1,y=2, 则 xy=(﹣1)2=1; 点评:本题考查了配方法的应用,根据配方法的步骤和完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2 进行配方是解题的关键,是一道基础题. 23.(8 分)(2013•达州)今年,6 月 12 日为端午节.在端午节前夕,三位同学到某超市调 研一种进价为 2 元的粽子的销售情况.请根据小丽提供的信息,解答小华和小明提出的问题. (1)小华的问题解答: 当定价为 4 元时,能实现每天 800 元的销售利润 ; (2)小明的问题解答: 800 元的销售利润不是最多,当定价为 4.8 元是,每天的销售利润 最大 . 考点:二次函数的应用 分析:(1)设定价为 x 元,利润为 y 元,根据利润=(定价﹣进价)×销售量,列出函数关 系式,结合 x 的取值范围,求出当 y 取 800 时,定价 x 的值即可; (2)根据(1)中求出的函数解析式,运用配方法求最大值,并求此时 x 的值即可. 解答:解:(1)设定价为 x 元,利润为 y 元,则销售量为:(500﹣ ×10), 由题意得,y=(x﹣2)(500﹣ ×10) =﹣100x2+1000x﹣1600 =﹣100(x﹣5)2+900, 当 y=800 时, ﹣100(x﹣5)2+900=800, 解得:x=4 或 x=6, ∵售价不能超过进价的 240%, ∴x≤2×240%, 即 x≤4.8, 故 x=4, 即小华问题的解答为:当定价为 4 元时,能实现每天 800 元的销售利润; (2)由(1)得 y=﹣100(x﹣5)2+900, ∵﹣100<0, ∴函数图象开口向下,且对称轴为 x=5, ∵x≤4.8, 故当 x=4.8 时函数能取最大值, 即 ymax=﹣100(4.8﹣5)2+900=896. 故小明的问题的解答为:800 元的销售利润不是最多,当定价为 4.8 元时,每天的销 售利润最大. 点评:本题考查了二次函数的应用,难度一般,解答本题的关键是根据题意找出等量关系列 出函数关系式,要求同学们掌握运用配方法求二次函数的最大值. 24.(9 分)(2013•达州)通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的 目的.下面是一个案例,请补充完整. 原题:如图 1,点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上,∠EAF=45°,连接 EF,则 EF=BE+DF,试说明理由. (1)思路梳理 ∵AB=CD, ∴把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG,可使 AB 与 AD 重合. ∵∠ADC=∠B=90°, ∴∠FDG=180°,点 F、D、G 共线. 根据 SAS ,易证△AFG≌ △AEF ,得 EF=BE+DF. (2)类比引申 如图 2,四边形 ABCD 中,AB=AD,∠BAD=90°点 E、F 分别在边 BC、CD 上,∠EAF=45°.若 ∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系 ∠B+∠D=180° 时,仍有EF=BE+DF. (3)联想拓展 如图 3,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点 D、E 均在边 BC 上,且∠DAE=45°.猜想 BD、DE、EC 应满足的等量关系,并写出推理过程. 考点:几何变换综合题 分析:(1)把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG,可使 AB 与 AD 重合,再证明△AFG ≌△AEF 进而得到 EF=FG,即可得 EF=BE+DF; (2)∠B+∠D=180°时,EF=BE+DF,与(1)的证法类同; (3)根据△AEC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABE′,根据旋转的性质,可知△AEC ≌△ABE′得到 BE′=EC,AE′=AE,∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,根据 Rt △ABC 中的,AB=AC 得到∠E′BD=90°,所以 E′B2+BD2=E′D2,证△AE′D≌ △AED,利用 DE=DE′得到 DE2=BD2+EC2; 解答:解:(1)∵AB=CD, ∴把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG,可使 AB 与 AD 重合. ∴∠BAE=∠DAG, ∵∠BAD=90°,∠EAF=45°, ∴∠BAE+∠DAF=45°, ∴∠EAF=∠FAG, ∵∠ADC=∠B=90°, ∴∠FDG=180°,点 F、D、G 共线, 在△AFG 和△AEF 中 , ∴△AFG≌△AEF(SAS), ∴EF=FG, 即:EF=BE+DF. (2)∠B+∠D=180°时,EF=BE+DF; ∵AB=AD, ∴把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG,可使 AB 与 AD 重合, ∴∠BAE=∠DAG, ∵∠BAD=90°,∠EAF=45°, ∴∠BAE+∠DAF=45°, ∴∠EAF=∠FAG, ∵∠ADC+∠B=180°, ∴∠FDG=180°,点 F、D、G 共线, 在△AFG 和△AEF 中 , ∴△AFG≌△AEF(SAS), ∴EF=FG, 即:EF=BE+DF. (3)猜想:DE2=BD2+EC2, 证明:根据△AEC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABE′, ∴△AEC≌△ABE′, ∴BE′=EC,AE′=AE, ∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB, 在 Rt△ABC 中, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=45°, ∴∠ABC+∠ABE′=90°, 即∠E′BD=90°, ∴E′B2+BD2=E′D2, 又∵∠DAE=45°, ∴∠BAD+∠EAC=45°, ∴∠E′AB+∠BAD=45°, 即∠E′AD=45°, 在△AE′D 和△AED 中, ∴△AE′D≌△AED(SAS), ∴DE=DE′, ∴DE2=BD2+EC2. 点评:此题主要考查了几何变换,关键是正确画出图形,证明△AFG≌△AEF.此题是一道 综合题,难度较大,题目所给例题的思路,为解决此题做了较好的铺垫. 25.(12 分)(2013•达州)如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 交 x 轴于点 A(5,0), 交 y 轴于点 B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交 AB 于点 C,且 AC=3.取 BO 的中点 D,连 接 CD、MD 和 OC. (1)求证:CD 是⊙M 的切线; (2)二次函数的图象经过点 D、M、A,其对称轴上有一动点 P,连接 PD、PM,求△PDM 的周长最小时点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点 Q,使 S△QAM= S △PDM?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 考点:二次函数综合题. 分析:(1)连接 CM,可以得出 CM=OM,就有∠MOC=∠MCO,由 OA 为直径,就有∠ ACO=90°,D 为 OB 的中点,就有 CD=OD,∠DOC=∠DCO,由∠DOC+∠MOC=90° 就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论; (2)根据条件可以得出△ACO∽△AOB 而求出 ,从而求出 AB,在 Rt△AOB 中由勾股定理就可以求出 OB 的值,根据 D 是 OB 的中点就可以求出 D 的坐标,由待 定系数法就可以求出抛物线的解析式,求出对称轴,根据轴对称的性质连接 AD 交对 称轴于 P,先求出 AD 的解析式就可以求出 P 的坐标; (3)根据 S△PDM=S△ADM﹣S△APM 而求出其值就可以表示出 S△QAM 的大小,设 Q 的 坐标为 m,根据三角形的面积公式就可以求出横坐标而得出结论. 解答:(1)证明:连接 CM, ∵AO 是直径,M 是圆心, ∴CM=OM,∠ACO=90°, ∴∠MOC=∠MCO. ∵D 为 OB 的中点, ∴CD=OD, ∴∠DOC=∠DCO. ∵∠DOC+∠MOC=90°, ∴∠DCO+∠MCO=90°, 即∠MCD=90°, ∴CD 是⊙M 的切线; (2)解:∵∠ACO=∠AOB=90°,∠OAB=∠OAB, ∴△ACO∽△AOB, ∴ , ∴ , ∴AB= . 在 Rt△AOB 中,由勾股定理,得 BO= , ∵D 为 OB 的中点, ∴OD= OB= , ∴D(0, ). ∵OM=AM= OA= , ∴M( ,0).设抛物线的解析式为 y=a(x﹣ )(x﹣5),由题意,得 =a(0﹣ )(0﹣5), 解得:a= , ∴抛物线的解析式为:y= (x﹣ )(x﹣5), = (x﹣ )2﹣ . 连接 AD 交对称轴于 P,设直线 AD 的解析式为 y=kx+b,由题意,得 , 解得: , ∴直线 AD 的解析式为:y=﹣ x+ , 当 x= 时, y= , ∴P( , ); (3)解:存在. ∵S△PDM=S△ADM﹣S△APM, ∴S△PDM= × × ﹣ × × , = , ∴S△QAM= = . 设 Q 的坐标为 m,由题意,得 , ∴|m|= , ∴m=± , 当 m= 时, = (x﹣ )2﹣ . x1= ,x2= , 当 m=﹣ 时, ﹣ = (x﹣ )2﹣ . x= . ∴Q( , ),( , ),( ,﹣ ). 点评:本题考查圆周角定理的运用,勾股定理的运用,圆的切线的判定定理的运用,待定系 数法求函数的解析式的运用,抛物线的顶点式的运用,三角形的面积公式的运用,轴 对称性质的运用,解答时求出抛物线的解析式是解答本题的关键.