2013年四川省达州市中考数学试题（含答案） 20页

四川省达州市 2013 年中考数学试卷 一．选择题：（本题 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．（3 分）（2013•达州）﹣2013 的绝对值是（ ） A．2013 B．﹣2013 C． D． 考点：绝对值 分析：根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 解答：解：﹣2013 的绝对值是 2013． 故选 A． 点评：本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0 的绝对值是 0． 2．（3 分）（2013•达州）某中学在芦山地震捐款活动中，共捐款二十一万三千元．这一数据 用科学记数法表示为（ ） A．213×103 元 B．2.13×104 元 C．2.13×105 元 D．0.213×106 元 考点：科学记数法—表示较大的数 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：将二十一万三千元用科学记数法表示为 2.13×105． 故选 C． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（3 分）（2013•达州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点：中心对称图形；轴对称图形 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确． 故选 D． 点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图 形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 4．（3 分）（2013•达州）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价 20%，后又降价 10%；乙超市连续两次降价 15%；丙超市一次降价 30%．那么顾客到哪家 超市购买这种商品更合算（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．一样 考点：列代数式 分析：设商品原价为 x，表示出三家超市降价后的价格，然后比较即可得出答案． 解答：解：设商品原价为 x， 甲超市的售价为：x（1﹣20%）（1﹣10%）=0.72x； 乙超市售价为：x（1﹣15%）2=0.7225x； 丙超市售价为：x（1﹣30%）=70%x=0.7x； 故到丙超市合算． 故选 C． 点评：本题考查了列代数式的知识，解答本题的关键是表示出三家超市降价后的售价，难度 一般． 5．（3 分）（2013•达州）下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后 顺序正确的是（ ） A．（3）（1）（4）（2）B．（3）（2）（1）（4）C．（3）（4）（1）（2）D．（2）（4）（1）（3） 考点：平行投影 分析：根据从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再 变长． 解答：解：西为（3），西北为（4），东北为（1），东为（2）， ∴将它们按时间先后顺序排列为（3）（4）（1）（2）． 故选：C． 点评：本题考查了平行投影的特点和规律．在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变， 方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东 北﹣东，影长由长变短，再变长． 6．（3 分）（2013•达州）若方程 3x2﹣6x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围在 数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 考点：根的判别式；在数轴上表示不等式的解集 分析：首先根据题意可得△＞0，代入相应的数可得∴（﹣6）2﹣4×3×m＞0，再解不等式即 可． 解答：解：∵方程 3x2﹣6x+m=0 有两个不相等的实数根， ∴△＞0， ∴（﹣6）2﹣4×3×m＞0， 解得：m＜3， 在数轴上表示为： ， 故选：B． 点评：此题主要考查了根的判别式，以及解一元一次不等式，关键是掌握一元二次方程根的 情况与判别式△的关系： （1）△＞0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； （2）△=0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； （3）△＜0 ⇔ 方程没有实数根． 7．（3 分）（2013•达州）下列说法正确的是（ ） A．一个游戏中奖的概率是 ，则做 100 次这样的游戏一定会中奖 B．为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式 C．一组数据 0，1，2，1，1 的众数和中位数都是 1 D．若甲组数据的方差 ，乙组数据的方差 ，则乙组数据比甲组数据稳定 考点：概率的意义；全面调查与抽样调查；中位数；众数；方差 分析：根据概率、方差、众数、中位数的定义对各选项进行判断即可． 解答：A、一个游戏中奖的概率是 ，则做 100 次这样的游戏有可能中奖一次，该说法错 误，故本选项错误； B、为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用抽样调查的方式，该说法错误，故 本选项错误； C、这组数据的众数是 1，中位数是 1，故本选项正确； D、方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，则甲组数据比乙组稳定， 故本选项错误； 故选 C． 点评：本题考查了概率、方差、众数、中位数等知识，属于基础题，掌握各知识点是解题的 关键． 8．（3 分）（2013•达州）如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心），其中 CD=600 米，E 为弧 CD 上一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，OF= 米， 则这段弯路的长度为（ ） A．200π米 B．100π米 C．400π米 D．300π米 考点：垂径定理的应用；勾股定理；弧长的计算 分析：设这段弯路的半径为 R 米，OF= 米，由垂径定理得 CF= CD= ×600=300．由 勾股定理可得 OC2=CF2+OF2，解得 R 的值，进而得出这段弧所对圆心角，求出弧长 即可． 解答：解：设这段弯路的半径为 R 米 OF= 米， ∵OE⊥CD ∴CF= CD= ×600=300 根据勾股定理，得 OC2=CF2+OF2 即 R2=3002+（300 ）2 解之，得 R=600， ∴sin∠COF= = ， ∴∠COF=30°， ∴这段弯路的长度为： =200π（m）． 故选：A． 点评：此题主要考查了垂径定理的应用，根据已知得出圆的半径以及圆心角是解题关键． 9．（3 分）（2013•达州）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点 D 在 BC 上， 以 AC 为对角线的所有▱ADCE 中，DE 最小的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点：平行四边形的性质；垂线段最短；平行线之间的距离 分析：由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当 OD⊥BC 时，DE 线段取最小值． 解答：解：∵在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4， ∴AC= =5． ∵四边形 ADCE 是平行四边形， ∴OD=OE，OA=OC=2.5． ∴当 OD 取最小值时，DE 线段最短，此时 OD⊥BC． ∴OD= AB=1.5， ∴ED=2OD=3． 故选 B． 点评：本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形 的对角线互相平分”的性质． 10．（3 分）（2013•达州）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，反比例函数 与一次函 数 y=cx+a 在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A． B． C． D． 考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象 分析：首先根据二次函数图象与 y 轴的交点可得 c＞0，根据抛物线开口向下可得 a＜0，由 对称轴在 y 轴右边可得 a、b 异号，故 b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图 象与系数的关系画出图象可得答案． 解答：解：根据二次函数图象与 y 轴的交点可得 c＞0，根据抛物线开口向下可得 a＜0，由 对称轴在 y 轴右边可得 a、b 异号，故 b＞0， 则反比例函数 的图象在第一、三象限， 一次函数 y=cx+a 在第一、三、四象限， 故选：B． 点评：此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函 数图象确定出 a、b、c 的正负． 二．填空题：（本题 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．把最后答案直接填在题中的横线上） 11．（3 分）（2013•达州）分解因式：x3﹣9x= x（x+3）（x﹣3） ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用 分析：先提取公因式 x，再利用平方差公式进行分解． 解答：解：x3﹣9x， =x（x2﹣9）， =x（x+3）（x﹣3）． 点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分 解，分解因式要彻底． 12．（3 分）（2013•达州）某校在今年“五•四”开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解八 年级 450 名学生的读书情况，随机调查了八年级 50 名学生本学期读书册数，并将统计数据 制成了扇形统计图，则该校八年级学生读书册数等于 3 册的约有 153 名． 考点：扇形统计图 分析：首先根据扇形统计图求出样本中读书册数等于 3 册所占的百分比即 m%的值，再利用 样本估计总体的思想，用 450 乘以 m%即可求出该校八年级学生读书册数等于 3 册的 人数． 解答：解：由扇形统计图可知，样本中读书册数等于 3 册所占的百分比为：1﹣6%﹣24%﹣ 30%﹣6%=34%，即 m%=34%， 所以该校八年级学生读书册数等于 3 册的约有：450×34%=153（名）． 故答案为 153． 点评：本题考查了扇形统计图及用样本估计总体的思想，从统计图中正确地获取信息是解题 的关键． 13．（3 分）（2013•达州）已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数 y= 图象上的点，当 x1 ＜x2＜0 时，y1＜y2，则 k 的一个值可为 ﹣1 ．（只需写出符合条件的一个 k 的值） 考点：反比例函数图象上点的坐标特征 专题：开放型． 分析：先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数图象的特点解答即 可． 解答：解：∵x1＜x2＜0， ∴A（x1，y1），B（x2，y2）同象限，y1＜y2， ∴点 A，B 都在第四象限， ∴k＜0，例如 k=﹣1 等． 点评：本题考查了反比例函数图象的性质和增减性，难度比较大． 14．（3 分）（2013•达州）如果实数 x 满足 x2+2x﹣3=0，那么代数式 的 值为 5 ． 考点：分式的化简求值． 专题：探究型． 分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据实数 x 满足 x2+2x﹣3=0 求出 x2+2x 的值，代入原式进行计算即可． 解答：解：原式= ×（x+1） =x2+2x+2， ∵实数 x 满足 x2+2x﹣3=0， ∴x2+2x=3， ∴原式=3+2=5． 故答案为：5． 点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 15．（3 分）（2013•达州）如图，折叠矩形纸片 ABCD，使 B 点落在 AD 上一点 E 处，折痕 的两端点分别在 AB、BC 上（含端点），且 AB=6，BC=10．设 AE=x，则 x 的取值范围是 2≤x≤6 ． 考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：设折痕为 PQ，点 P 在 AB 边上，点 Q 在 BC 边上．分别利用当点 P 与点 A 重合时， 以及当点 Q 与点 C 重合时，求出 AE 的极值进而得出答案． 解答：解：设折痕为 PQ，点 P 在 AB 边上，点 Q 在 BC 边上． 如图 1，当点 Q 与点 C 重合时，根据翻折对称性可得 EC=BC=10， 在 Rt△CDE 中，CE2=CD2+ED2， 即 102=（10﹣AE）2+62， 解得：AE=2，即 x=2． 如图 2，当点 P 与点 A 重合时，根据翻折对称性可得 AE=AB=6，即 x=6； 所以，x 的取值范围是 2≤x≤6． 故答案是：2≤x≤6． 点评：本题考查的是翻折变换（折叠问题），勾股定理．注意利用翻折变换的性质得出对应 线段之间的关系是解题关键． 16．（3 分）（2013•达州）如图，在△ABC 中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点 A1，得∠A1；∠A1BC 和∠A1CD 的平分线交于点 A2，得∠A2；…∠A2012BC 和∠A2012CD 的平分线交于点 A2013，则∠A2013= 度． 考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质 专题：规律型． 分析：利用角平分先性质、三角形外角性质，易证∠A1= ∠A，进而可求∠A1，由于∠A1= ∠A，∠A2= ∠A1= ∠A，…，以此类推可知∠A2013= ∠A= °． 解答：解：∵A1B 平分∠ABC，A1C 平分∠ACD， ∴∠A1BC= ∠ABC，∠A1CA= ∠ACD， ∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC， 即 ∠ACD=∠A1+ ∠ABC， ∴∠A1= （∠ACD﹣∠ABC）， ∵∠A+∠ABC=∠ACD， ∴∠A=∠ACD﹣∠ABC， ∴∠A1= ∠A， ∴∠A1= m°， ∵∠A1= ∠A，∠A2= ∠A1= ∠A， … 以此类推∠A2013= ∠A= °． 故答案为： ． 点评：本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1= ∠A，并能 找出规律． 三．解答题（72 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）（2013•达州）计算： ． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 专题：探究型． 分析：先根据 0 指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合 运算的法则进行计算即可． 解答：解：原式=1+2 ﹣ +9 =10+ ． 点评：本题考查的是实数的运算，熟知 0 指数幂、负整数指数幂的计算法则，熟记特殊角的 三角函数值是解答此题的关键． 18．（7 分）（2013•达州）钓鱼岛自古以来就是中国领土．中国有关部门已对钓鱼岛及其附 属岛屿开展常态化监视监测．如图，E、F 为钓鱼岛东西两端．某日，中国一艘海监船从 A 点向正北方向巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离 CF= 海里，在 A 点测得钓鱼岛最西端 F 在点 A 的北偏东 30°方向；航行 22 海里后到达 B 点，测得最东端 E 在点 B 的东北方向（C、 F、E 在同一直线上）．求钓鱼岛东西两端的距离．（ ， ，结果精确到 0.1） 考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：首先根据已知得出∠CAF=30°，FC=20 海里，AB=22 海里，∠CBE=45°，进而得出 AC，BC，以及 EF 长度即可． 解答：解：由题意可得出： ∵∠CAF=30°，FC=20 海里，AB=22 海里，∠CBE=45°， ∴AC= =60（海里）， ∴BC=EC=60﹣22=38（海里）， ∴EF=38﹣20 ≈3.4（海里）． 答：钓鱼岛东西两端的距离约为 3.4 海里． 点评：此题主要考查了方向角问题的应用，根据已知得出 BC=EC 是解题关键． 19．（7 分）（2013•达州）已知 f（x）= ，则 f（1）= f（2） = …，已知 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）= ，求 n 的值． 考点：分式的加减法；解分式方程 分析：把 f（x）裂项为 ﹣ ，然后进行计算即可得解． 解答：解：∵f（x）= = ﹣ ， ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ ， ∵f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）= ， ∴1﹣ = ， 解得 n=14． 点评：本题考查了分式的加减，把 f（x）进行裂项是解题的关键，也是本题的难点． 20．（7 分）（2013•达州）某中学举行“中国梦•我的梦”演讲比赛．志远班的班长和学习委员 都想去，于是老师制作了四张标有算式的卡片，背面朝上洗匀后，先由班长抽一张，再由学 习委员在余下三张中抽一张．如果两张卡片上的算式都正确，班长去；如果两张卡片上的算 式都错误，学习委员去；如果两张卡片上的算式一个正确一处错误，则都放回去，背面朝上 洗匀后再抽．这个游戏公平吗？请用树状图或列表的方法，结合概率予以说明． 考点：游戏公平性；整式的混合运算；列表法与树状图法． 分析：首先判断运算正确的卡片的数量，再利用树状图表示出所有可能，然后利用概率的公 式求解即可． 解答：解：由题意可画树状图得： ∵四张卡片中 B 和 D 正确，两张都正确的只有 2 种情况，两张卡片上的算式都错误 的只有 AC，CA 两种情况， ∴班长去的概率为： = ，学习委员去的概率为： = ． 故此游戏公平． 点评：本题考查了游戏公平性以及概率的求法．如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的 可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 21．（8 分）（2013•达州）已知反比例函数 的图象与一次函数 y=k2x+m 的图象交于 A （﹣1，a）、B（ ，﹣3）两点，连结 AO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）设点 C 在 y 轴上，且与点 A、O 构成等腰三角形，请直接写出点 C 的坐标． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 分析：（1）将点 A（﹣1，a）、B（ ，﹣3）代入反比例函数 中得：﹣3× =（﹣1）×a=k1， 可求 k1、a；再将点 A（﹣1，a）、B（ ，﹣3）代入 y2=k2x+m 中，列方程组求 k2、 m 即可； （2）分三种情况：①OA=OC；②AO=AC；③CA=CO；讨论可得点 C 的坐标． 解答：解：（1）∵反比例函数 的图象经过 B（ ，﹣3）， ∴k1=3× ×（﹣3）=﹣3， ∵反比例函数 的图象经过点 A（﹣1，a）， ∴a=1． 由直线 y2=k2x+m 过点 A，B 得： ， 解得 ． ∴反比例函数关系式为 y=﹣ ，一次函数关系式为 y=﹣3x﹣2； （2）点 C 在 y 轴上，且与点 A、O 构成等腰三角形，点 C 的坐标为：（0，﹣ ）或 （0， ）或（0，2）或（0，1）． 如图，线段 OA 的垂直平分线与 y 轴的交点，有 1 个； 以点 A 为圆心、AO 长为半径的圆与 y 轴的交点，有 1 个； 以点 O 为圆心、OA 长为半径的圆与 y 轴的交点，有 2 个． 以上四个点为所求． 点评：此题综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、等腰三角形的性质等知识，注意分 类思想的运用． 22．（8 分）（2013•达州）选取二次三项式 ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成完全平方式的过 程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2； ②选取二次项和常数项配方： ，或 ③选取一次项和常数项配方： 根据上述材料，解决下面问题： （1）写出 x2﹣8x+4 的两种不同形式的配方； （2）已知 x2+y2+xy﹣3y+3=0，求 xy 的值． 考点：配方法的应用 分析：（1）根据配方法的步骤根据二次项系数为 1，常数项是一次项系数的一半的平方进行 配方和二次项和常数项在一起进行配方即可． （2）根据配方法的步骤把 x2+y2+xy﹣3y+3=0 变形为（x+ y）2+ （y﹣2）2=0，再 根据 x+ y，=0，y﹣2=0，求出 x，y 的值，即可得出答案． 解答：解：（1）x2﹣8x+4 =x2﹣8x+16﹣16+4 =（x﹣4）2﹣12； x2﹣8x+4 =（x﹣2）2+4x﹣8x =（x﹣2）2﹣4x； （2）x2+y2+xy﹣3y+3=0， （x+ y）2+ （y﹣2）2=0， x+ y=0，y﹣2=0， x=﹣1，y=2， 则 xy=（﹣1）2=1； 点评：本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2 进行配方是解题的关键，是一道基础题． 23．（8 分）（2013•达州）今年，6 月 12 日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某超市调 研一种进价为 2 元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题． （1）小华的问题解答： 当定价为 4 元时，能实现每天 800 元的销售利润 ； （2）小明的问题解答： 800 元的销售利润不是最多，当定价为 4.8 元是，每天的销售利润 最大 ． 考点：二次函数的应用 分析：（1）设定价为 x 元，利润为 y 元，根据利润=（定价﹣进价）×销售量，列出函数关 系式，结合 x 的取值范围，求出当 y 取 800 时，定价 x 的值即可； （2）根据（1）中求出的函数解析式，运用配方法求最大值，并求此时 x 的值即可． 解答：解：（1）设定价为 x 元，利润为 y 元，则销售量为：（500﹣ ×10）， 由题意得，y=（x﹣2）（500﹣ ×10） =﹣100x2+1000x﹣1600 =﹣100（x﹣5）2+900， 当 y=800 时， ﹣100（x﹣5）2+900=800， 解得：x=4 或 x=6， ∵售价不能超过进价的 240%， ∴x≤2×240%， 即 x≤4.8， 故 x=4， 即小华问题的解答为：当定价为 4 元时，能实现每天 800 元的销售利润； （2）由（1）得 y=﹣100（x﹣5）2+900， ∵﹣100＜0， ∴函数图象开口向下，且对称轴为 x=5， ∵x≤4.8， 故当 x=4.8 时函数能取最大值， 即 ymax=﹣100（4.8﹣5）2+900=896． 故小明的问题的解答为：800 元的销售利润不是最多，当定价为 4.8 元时，每天的销 售利润最大． 点评：本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是根据题意找出等量关系列 出函数关系式，要求同学们掌握运用配方法求二次函数的最大值． 24．（9 分）（2013•达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的 目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，∠EAF=45°，连接 EF，则 EF=BE+DF，试说明理由． （1）思路梳理 ∵AB=CD， ∴把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，可使 AB 与 AD 重合． ∵∠ADC=∠B=90°， ∴∠FDG=180°，点 F、D、G 共线． 根据 SAS ，易证△AFG≌ △AEF ，得 EF=BE+DF． （2）类比引申 如图 2，四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=90°点 E、F 分别在边 BC、CD 上，∠EAF=45°．若 ∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 ∠B+∠D=180° 时，仍有EF=BE+DF． （3）联想拓展 如图 3，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D、E 均在边 BC 上，且∠DAE=45°．猜想 BD、DE、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程． 考点：几何变换综合题 分析：（1）把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，可使 AB 与 AD 重合，再证明△AFG ≌△AEF 进而得到 EF=FG，即可得 EF=BE+DF； （2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同； （3）根据△AEC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC ≌△ABE′得到 BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据 Rt △ABC 中的，AB=AC 得到∠E′BD=90°，所以 E′B2+BD2=E′D2，证△AE′D≌ △AED，利用 DE=DE′得到 DE2=BD2+EC2； 解答：解：（1）∵AB=CD， ∴把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，可使 AB 与 AD 重合． ∴∠BAE=∠DAG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠EAF=∠FAG， ∵∠ADC=∠B=90°， ∴∠FDG=180°，点 F、D、G 共线， 在△AFG 和△AEF 中 ， ∴△AFG≌△AEF（SAS）， ∴EF=FG， 即：EF=BE+DF． （2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF； ∵AB=AD， ∴把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，可使 AB 与 AD 重合， ∴∠BAE=∠DAG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠EAF=∠FAG， ∵∠ADC+∠B=180°， ∴∠FDG=180°，点 F、D、G 共线， 在△AFG 和△AEF 中 ， ∴△AFG≌△AEF（SAS）， ∴EF=FG， 即：EF=BE+DF． （3）猜想：DE2=BD2+EC2， 证明：根据△AEC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABE′， ∴△AEC≌△ABE′， ∴BE′=EC，AE′=AE， ∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB， 在 Rt△ABC 中， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABC+∠ABE′=90°， 即∠E′BD=90°， ∴E′B2+BD2=E′D2， 又∵∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠EAC=45°， ∴∠E′AB+∠BAD=45°， 即∠E′AD=45°， 在△AE′D 和△AED 中， ∴△AE′D≌△AED（SAS）， ∴DE=DE′， ∴DE2=BD2+EC2． 点评：此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道 综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫． 25．（12 分）（2013•达州）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 交 x 轴于点 A（5，0）， 交 y 轴于点 B，AO 是⊙M 的直径，其半圆交 AB 于点 C，且 AC=3．取 BO 的中点 D，连 接 CD、MD 和 OC． （1）求证：CD 是⊙M 的切线； （2）二次函数的图象经过点 D、M、A，其对称轴上有一动点 P，连接 PD、PM，求△PDM 的周长最小时点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当△PDM 的周长最小时，抛物线上是否存在点 Q，使 S△QAM= S △PDM？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）连接 CM，可以得出 CM=OM，就有∠MOC=∠MCO，由 OA 为直径，就有∠ ACO=90°，D 为 OB 的中点，就有 CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90° 就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论； （2）根据条件可以得出△ACO∽△AOB 而求出 ，从而求出 AB，在 Rt△AOB 中由勾股定理就可以求出 OB 的值，根据 D 是 OB 的中点就可以求出 D 的坐标，由待 定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接 AD 交对 称轴于 P，先求出 AD 的解析式就可以求出 P 的坐标； （3）根据 S△PDM=S△ADM﹣S△APM 而求出其值就可以表示出 S△QAM 的大小，设 Q 的 坐标为 m，根据三角形的面积公式就可以求出横坐标而得出结论． 解答：（1）证明：连接 CM， ∵AO 是直径，M 是圆心， ∴CM=OM，∠ACO=90°， ∴∠MOC=∠MCO． ∵D 为 OB 的中点， ∴CD=OD， ∴∠DOC=∠DCO． ∵∠DOC+∠MOC=90°， ∴∠DCO+∠MCO=90°， 即∠MCD=90°， ∴CD 是⊙M 的切线； （2）解：∵∠ACO=∠AOB=90°，∠OAB=∠OAB， ∴△ACO∽△AOB， ∴ ， ∴ ， ∴AB= ． 在 Rt△AOB 中，由勾股定理，得 BO= ， ∵D 为 OB 的中点， ∴OD= OB= ， ∴D（0， ）． ∵OM=AM= OA= ， ∴M（ ，0）．设抛物线的解析式为 y=a（x﹣ ）（x﹣5），由题意，得 =a（0﹣ ）（0﹣5）， 解得：a= ， ∴抛物线的解析式为：y= （x﹣ ）（x﹣5）， = （x﹣ ）2﹣ ． 连接 AD 交对称轴于 P，设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，由题意，得 ， 解得： ， ∴直线 AD 的解析式为：y=﹣ x+ ， 当 x= 时， y= ， ∴P（ ， ）； （3）解：存在． ∵S△PDM=S△ADM﹣S△APM， ∴S△PDM= × × ﹣ × × ， = ， ∴S△QAM= = ． 设 Q 的坐标为 m，由题意，得 ， ∴|m|= ， ∴m=± ， 当 m= 时， = （x﹣ ）2﹣ ． x1= ，x2= ， 当 m=﹣ 时， ﹣ = （x﹣ ）2﹣ ． x= ． ∴Q（ ， ），（ ， ），（ ，﹣ ）． 点评：本题考查圆周角定理的运用，勾股定理的运用，圆的切线的判定定理的运用，待定系 数法求函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用，三角形的面积公式的运用，轴 对称性质的运用，解答时求出抛物线的解析式是解答本题的关键．