2019年江苏南京中考数学试题（解析版） 15页

‎{来源}2019年南京市中考数学试卷 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年南京市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共6小题，每小题2分，合计12分．‎ ‎{题目}1．(2019年江苏南京)2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元，用科学记数法表示13000是( )‎ A．0.13×105 B．1.3×104 C．13×103 D．130×102‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了科学记数法．13000＝1.3×10000＝1.3×104．因此本题选B．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．(2019年江苏南京)计算(a2b)3的结果是( )‎ A．a2b3 B．a5b3 C．a6b D．a6b3‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了幂的运算．(a2b)3＝(a2)3b3＝a6b3．因此本题选D．‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-14-1]整式的乘法}‎ ‎{考点:幂的乘方}‎ ‎{考点:积的乘方}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．(2019年江苏南京)面积为4的正方形的边长是( )‎ A．4的平方根 B．4的算术平方根 C．4开平方的结果 D．4的立方根 ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了算术平方根的意义．面积为4的正方形的边长＝＝2．因此本题选B．‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-6-1]平方根}‎ ‎{考点:算术平方根的应用}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4．(2019年江苏南京)实数a，b，c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是( )‎ b a c ‎0‎ a b c ‎0‎ a b c ‎0‎ b a c ‎0‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了实数的大小比较、不等式的性质．∵a＞b，∴表示数a的点在表示数b的点的右边．∵a＞b且ac＜bc，∴c＜0，即表示数c的点在原点的左边．因此本题选A．‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-9-1]不等式}‎ ‎{考点:数轴表示数}‎ ‎{考点:实数的大小比较}‎ ‎{考点:不等式的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．(2019年江苏南京)下列整数中，与10－最接近的是( )‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了实数的估算．‎ ‎∵9＜13＜16，∴3＜＜4，－4＜－＜－3，10－4＜10－＜10－3，即6＜10－＜7．这说明10－在6与7之间．‎ ‎∵3.52＜13，∴3.5＜，10－＜6.5．这说明10－靠近6．‎ ‎∴与10－最接近的整数是6．‎ 因此本题选C．‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-6-3]实数}‎ ‎{考点:无理数的估值}‎ ‎{考点:有理数部分与无理数部分}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}6．(2019年江苏南京)如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是( )‎ A．①④ B．②③ C．②④ D．③④‎ C A B B′‎ C′‎ A′‎ 第6题图 ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了图形变换及相互间的关系．‎ 连接AA′，在AA′上任取一点A1．‎ ‎(1)如图1(1)，分别取AA1和A1A′的中点O1，O2，将△ABC绕点O1旋转180°得△A1B1C1，将△A1B1C1绕点O2旋转180°得△A′B′C′；‎ ‎(2)如图1(2)，分别作AA1和A1A′的垂直平分线l1，l2，△ABC关于l1对称的三角形是△A2B2C2，△A2B2C2关于l2对称的三角形是△A′B′C′．‎ 结论①②不正确．‎ 故选D．‎ C A B B′‎ C′‎ A′‎ 图1(1)‎ C1‎ B1‎ A1‎ O1‎ O2‎ C A B B′‎ C′‎ A′‎ 图1(2)‎ l1‎ l2‎ C2‎ B2‎ A2‎ 因此本题选D．‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-23-2-1]中心对称}‎ ‎{考点:平移的性质}‎ ‎{考点:轴对称的性质}‎ ‎{考点:旋转的性质}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，合计20分．‎ ‎{题目}7．(2019年江苏南京)－2的相反数是______；的倒数是______．‎ ‎{答案}2，2‎ ‎{解析}本题考查了相反数、倒数的概念．a的相反数是－a，的倒数是．因此本题答案是2，2．‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-1-2-3]相反数}‎ ‎{章节:[1-1-4-2]有理数的除法}‎ ‎{考点:相反数的定义}‎ ‎{考点:倒数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}8．(2019年江苏南京)计算－的结果是______．‎ ‎{答案}0‎ ‎{解析}本题考查了二次根式的计算．原式＝2－2＝0．因此本题答案是0．‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-16-3]二次根式的加减}‎ ‎{考点:二次根式的加减法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}9．(2019年江苏南京)分解因式(a－b)2＋4ab的结果是______．‎ ‎{答案}(a＋b)2‎ ‎{解析}本题考查了乘法公式和因式分解．原式＝a2－2ab＋b2＋4ab＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2．因此本题答案是(a＋b)2．‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:完全平方公式}‎ ‎{考点:因式分解－完全平方式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}10．(2019年江苏南京)已知2＋是关于x的方程x2－4x＋m＝0的一个根，则m＝______．‎ ‎{答案}1‎ ‎{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系或者根的定义．‎ 设原方程的另一根为x1，则由根与系数的关系得 ‎(2＋)＋x1＝4，(2＋)x1＝m．‎ 解得x1＝2－，m＝1．‎ 因此本题答案是1．‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-21-1]一元二次方程}‎ ‎{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系}‎ ‎{考点:一元二次方程的定义}‎ ‎{考点:根与系数关系}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}11．(2019年江苏南京)结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵______，∴a∥b．‎ a b c ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 第11题图 ‎{答案}∠1＋∠3＝180°‎ ‎{解析}本题考查了平行线的判定．图中∠2、∠3、∠4分别是∠1的同位角、同旁内角和内错角．因此同旁内角互补应表示为∠1＋∠3＝180°．因此本题答案是∠1＋∠3＝180°．‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-5-2-2] 平行线的判定}‎ ‎{考点:同旁内角互补两直线平行}‎ ‎{考点:几何说理}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}12．(2019年江苏南京)无盖圆柱杯子的展开图如图所示，将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有______cm．‎ ‎9cm ‎12cm 第12题图 ‎{答案}5‎ ‎{解析}本题考查了勾股定理的应用．‎ 当筷子倾斜放置时，∵以9和12为直角边的直角三角形，则其斜边＝＝15，20－15＝5，∴木筷露在杯子外面的部分至少有5cm．‎ 因此本题答案是5．‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-17-1]勾股定理}‎ ‎{考点:几何体的展开图}‎ ‎{考点:勾股定理的应用}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}13．(2019年江苏南京)为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查，整理样本数据，得到下表：‎ 视力 ‎4.7以下 ‎4.7‎ ‎4.8‎ ‎4.9‎ ‎4.9以上 人数 ‎102‎ ‎98‎ ‎80‎ ‎93‎ ‎127‎ 根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是______．‎ ‎{答案}7200‎ ‎{解析}本题考查了利用样本估计总体的思想．‎ 视力不低于4.8的人数＝80＋93＋127＝300．‎ 由样本估计总体的思想，可知求所结果＝×12000＝7200(人)．‎ 因此本题答案是7200．‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-10-1]统计调查}‎ ‎{考点:抽样调查}‎ ‎{考点:用样本估计总体}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}14．(2019年江苏南京)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C，D在⊙O上，若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝______°．‎ P D O C A B 第14题图 ‎{答案}219‎ ‎{解析}本题考查了圆周角定理的推论、切线长定理．‎ 连接AB，则∠DAB＋∠C＝180°．‎ 由切线长定理可知PA＝PB，∴∠PAB＝×(180°－∠P)＝39°．‎ ‎∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°．‎ 因此本题答案是219．‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{考点:圆内接四边形的性质}‎ ‎{考点:切线长定理}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}15．(2019年江苏南京)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长为______．‎ M N D C A B 第15题图 ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了垂直平分线的性质和相似三角形．‎ ‎∵DN垂直平分BC，∴DB＝DC．∴∠B＝∠DCB．‎ ‎∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB，‎ ‎∴∠ACD＝∠B．‎ 又∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．‎ ‎∴＝，即AC2＝AD·AB．‎ ‎∴AD＝2，BD＝3，∴AB＝5．‎ ‎∴AC＝．‎ 因此本题答案是．‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{考点:垂直平分线的性质}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}16．(2019年江苏南京)在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是______．‎ ‎{答案}4＜BC≤‎ ‎{解析}本题考查了三角函数、轨迹等知识．‎ ‎∠A＝∠B时，△ABC是等边三角形，此时BC＝AB＝AC＝4．‎ ‎∵∠A＞∠B，∴BC＞4．‎ 如图2，作△ABC的外接圆O，则当BC是直径BC′时，BC的值最大．此时BC′＝＝．‎ 综上所述，BC的长的取值范围是4＜BC≤．‎ 因此本题答案是4＜BC≤．‎ C′‎ O C A B 图2‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-24-2-1]点和圆的位置关系}‎ ‎{考点:等边对等角}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{考点:点与圆的位置关系}‎ ‎{考点:几何填空压轴}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共11小题，合计88分．‎ ‎{题目}17．(2019年江苏南京)计算：(x＋y)(x2－xy＋y2)．‎ ‎{解析}本题考查了整式的乘法．运用多项式乘多项式的法则进行计算．‎ ‎{答案}解：(x＋y)(x2－xy＋y2)‎ ‎＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3‎ ‎＝x3＋y3．‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-14-1]整式的乘法}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:多项式乘以多项式}‎ ‎{题目}18．(2019年江苏南京)解方程：－1＝．‎ ‎{解析}本题考查了解分式方程．(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根．‎ ‎{答案}解：方程两边乘(x－1)(x＋1)，得 x(x＋1)－(x－1)(x＋1)＝3．‎ 解得x＝2．‎ 检验：当x＝2时，(x－1)(x＋1)≠0．‎ 所以，原分式方程的解为x＝2．‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}‎ ‎{考点:解含两个分式的分式方程}‎ ‎{考点:分式方程的检验}‎ ‎{题目}19．(2019年江苏南京)如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F，求证：△ADF≌△CEF．‎ F D E C A B 第19题图 ‎{解析}本题考查了．先证四边形DBCE是平行四边形，再用“角边角”或“角角边”证△ADF与△CEF全等．‎ ‎{答案}证明：∵DE∥BC，CE∥AB，‎ ‎∴四边形DBCE是平行四边形．‎ ‎∴BD＝CE．‎ ‎∵D是AB的中点，‎ ‎∴AD＝DB．‎ ‎∴AD＝CE．‎ ‎∵CE∥AB，‎ ‎∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E．‎ ‎∴△ADF≌△CEF．‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-18-1-2]平行四边形的判定}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎ ‎{考点:两组对边分别平行的四边形是平行四边形}‎ ‎{题目}20．(2019年江苏南京)下图是某市连续5天的天气情况．‎ ‎(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；‎ ‎(2)根据上图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．‎ ‎{解析}本题考查了方差的应用、数据的分析．‎ ‎{答案}解：(1)这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是 ‎＝(23＋25＋23＋25＋24)＝24，＝(21＋22＋15＋15＋17)＝18．‎ 方差分别是 ‎＝[(23－24)2＋(25－24)2＋(23－24)2＋(25－24)2＋(24－24)2]＝0.8，‎ ‎＝[(21－18)2＋(22－18)2＋(15－18)2＋(15－18)2＋(17－18)2]＝8.8．‎ 由＜可知，这5天的日最低气温的波动较大．‎ ‎(2)本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，①25日、26日、27日、28日、29日的天气现象依次是大雨、中雨、晴、晴、多云，日温差依次是2℃、3℃、8℃、10℃、7℃，可以看出雨天的日温差较小．②25日、26日、27日的天气现象依次是大雨、中雨、晴，空气质量依次是良、优、优，说明下雨后空气质量改善了．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-20-2-1]方差}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:方差的实际应用}‎ ‎{考点:用样本估计总体}‎ ‎{题目}21．(2019年江苏南京)某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择参加活动．‎ ‎(1)甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？‎ ‎(2)乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是______．‎ ‎{解析}本题考查了用列举法求概率．‎ ‎{答案}解：(1)甲同学随机选择两天，所有可能出现的结果共有6种，即(星期一，星期二)、(星期一，星期三)、(星期一，星期四)、(星期二，星期三)、(星期二，星期四)、(星期三，星期四)，这些结果出现的可能性相等，所有结果中，满足有一天是星期二(记为事件A)的结果有3种，即(星期一，星期二)、(星期二，星期三)、(星期二，星期四)，所以P(A)＝＝．‎ ‎(2)．‎ ‎[解析]‎ 乙同学随机选择连续的两天，所有可能出现的结果共有3种，即(星期一，星期二)、(星期二，星期三)、(星期三，星期四)，这些结果出现的可能性相等，所有结果中，满足有一天是星期二(记为事件B)的结果有2种，即(星期一，星期二)、(星期二，星期三)，所以P(B)＝．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{题目}22．(2019年江苏南京)如图，⊙O的弦AB，CD的延长线相交于点P，且AB＝CD，求证：PA＝PC．‎ O 第22题图 P D C A B ‎{解析}本题考查了“三组量”之间的关系或垂径定理等知识．‎ ‎{答案}证法1：如图3(1)，连接AC．‎ ‎∵AB＝CD，‎ ‎∴＝．‎ ‎∴＋＝＋，即＝．‎ ‎∴∠C＝∠A．‎ ‎∴PA＝PC．‎ O 图3(1)‎ P D C A B O 图3(2)‎ P D C A B M N 证法2：如图3(2)，过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M，N．连接OA，OC，OP．‎ ‎∵OM⊥AB，ON⊥CD，‎ ‎∴AM＝AB，CN＝＝CD．‎ ‎∵AB＝CD，‎ ‎∴AM＝CN．‎ 在Rt△OAM和Rt△OCN中，∠OMA＝ONC＝90°，‎ 根据勾股定理，得OM＝，ON＝．‎ 又OA＝OC，AM＝CN，‎ ‎∴OM＝ON．‎ 又OP＝OP，‎ ‎∴Rt△OPM≌Rt△OPN．‎ ‎∴PM＝PN．‎ ‎∴PM＋AM＝PN＋CN，即PA＝PC．‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径}‎ ‎{章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:全等三角形的判定HL}‎ ‎{考点:垂径定理}‎ ‎{考点:圆心角、弧、弦的关系}‎ ‎{题目}23．(2019年江苏南京)已知一次函数y1＝kx＋2(k为常数，k≠0)和y2＝x－3．‎ ‎(1)当k＝－2时，若y1＞y2，求x的取值范围．‎ ‎(2)当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．‎ ‎{解析}本题考查了一次函数与不等式的关系、数形结合思想等．‎ ‎{答案}解：(1)当k＝－2时，y1＝－2x＋2．‎ 根据题意，得－2x＋2＞x－3．‎ 解得x＜．‎ ‎(2)－4≤k≤1且k≠0．‎ ‎[解析]如图4，直线y2＝x－3上横坐标是1的点D的纵坐标是－2．‎ ‎①当直线y1＝kx＋2经过点D(1，－2)时，k＝－4．此时符合题意；‎ ‎②当直线y1＝kx＋2与直线y2＝x－3平行时，k＝1．此时符合题意；‎ ‎③当直线y1＝kx＋2与直线y2＝x－3的交点P在射线DC上时，符合题意，此时k的取值范围是－4＜k＜1且k≠0．‎ 综上所述，k的取值范围是－4≤k≤1且k≠0．‎ x O y D A B y2‎ y1‎ y1‎ y1‎ C ‎1‎ 图4‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:一次函数的图象}‎ ‎{考点:一次函数的性质}‎ ‎{考点:两直线相交或平行问题}‎ ‎{考点:一次函数与一元一次不等式}‎ ‎{题目}24．(2019年江苏南京)如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A，B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．‎ ‎(参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．)‎ F D E C A B ‎22°‎ ‎27°‎ ‎45°‎ 第24题图 ‎ ‎ ‎{解析}本题考查了三角函数的实际应用．‎ ‎{答案}解：如图5，延长AB交CD于点H，则AH⊥CD．‎ 在Rt△ACH中，∠ACH＝27°，∵tan27°＝，‎ ‎∴AH＝CH·tan27°．‎ 在Rt△BCH中，∠BCH＝22°，∵tan22°＝，‎ ‎∴BH＝CH·tan22°．‎ ‎∵AB＝AH－BH，∴CH·tan27°－CH·tan22°＝33．‎ 解得CH≈300．‎ ‎∴AH＝CH·tan27°≈153．‎ 在Rt△ADH中，∠D＝45°，∵tan45°＝，‎ ‎∴HD＝AH＝153．‎ ‎∴EF＝CD－CE－FD＝CH＋HD－CE－FD ‎＝300＋150－80－50‎ ‎＝323．‎ 答：隧道EF的长度约为323m．‎ F D E C A B ‎22°‎ ‎27°‎ ‎45°‎ 图5‎ H ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-28-2-2]非特殊角}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用－仰角}‎ ‎{题目}25．(2019年江苏南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后和扩充区域都铺设地砖．铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？‎ 原广场 扩充区域 第25题图 ‎{解析}本题考查了一元二次方程的应用．‎ ‎{答案}解：设扩充后广场的长为3xm，则宽为2xm．‎ 根据题意，得3x·2x·100＋30(3x·2x－50×40)＝642000．‎ 解得x1＝30，x2＝－30(不合题意，舍去)．‎ 所以3x＝90，2x＝60．‎ 答：扩充后广场的长和宽应分别为90m和60m．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用—面积问题}‎ ‎{题目}26．(2019年江苏南京)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形 DEFG，使点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上．‎ C A B 图①‎ 小明的作法 ‎1．如图②，在边AC上取一 点D，过点D作DG∥AB交 BC于点G．‎ ‎2．以点D为圆心，DG长为 半径画弧，交AB于点E．‎ ‎3．在EB上截取EF＝ED，‎ 连接FG，则四边形DEFG 为所求作的菱形．‎ C A B G F D E 图②‎ 第26题图 ‎(1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形．‎ ‎(2)小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．‎ ‎{解析}本题考查了菱形的判定、相似三角形、分类讨论思想等．‎ 第(2)问，思考点D在CA边上由点C向点D移动时，以点D为圆心，DG长为半径画弧，弧与AB边是否有交点、有几个交点；当DG增大时，还要考虑点F是否在AB边上．‎ ‎{答案}证明：(1)∵DG＝DE，DE＝EF，‎ ‎∴DG＝EF．‎ ‎∵DG∥EF，‎ ‎∴四边形DEFG是平行四边形．‎ 又DE＝EF，‎ ‎∴□DEFG是菱形．‎ ‎(2)当0≤CD＜或＜CD≤3时，菱形的个数为0；当CD＝或＜CD≤时，菱形的个数为1；当＜CD≤时，菱形的个数为2．‎ ‎[解析]AB＝＝5，AB边上的高CM＝＝．‎ 设DG＝x，则由△CDG∽△CAB可知CD＝x．‎ ‎①如图6(1)，当DE⊥AB时，由相似三角形的性质，得 ‎＝，即＝．‎ 解得x＝．此时CD＝．‎ ‎②如图6(2)，当DG＝DE2＝DA＝x时，由△CDG∽△CAB，得 ‎＝，即＝．‎ 解得x＝．此时CD＝．‎ B C A G F D E 图6(1)‎ M N ‎ B C A(E1)‎ G D F1‎ F2‎ E2‎ 图6(2)‎ ‎B(F)‎ C A G D E 图6(3)‎ ‎③如图6(3)，当点F与点B重合时，DG＝DE＝EB＝x．‎ 由△ADE∽△ACB，得 ‎＝，即＝．‎ 解得x＝．此时CD＝．‎ 综上所述，当0≤CD＜或＜CD≤3时，菱形的个数为0；当CD＝或＜CD≤时，菱形的个数为1；当＜CD≤时，菱形的个数为2．‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{考点:线段尺规作图}‎ ‎{考点:菱形的判定}‎ ‎{考点:由平行判定相似}‎ ‎{题目}27．(2019年江苏南京)[概念认识]‎ 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(x1，y1和B(x2，y2)，用以下方式定义两点间的距离：d(A，B)＝｜x1－x2｜＋｜y1－y2｜．‎ ‎[数学理解]‎ ‎(1)①已知点A(－2，1)，则d(O，A)＝______；‎ ‎②函数y＝－2x＋4(0≤x≤2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O，B)＝3，则点B的坐标是______．‎ ‎－1‎ ‎1‎ O ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ x y ‎2‎ ‎1‎ ‎－1‎ ‎3‎ ‎－1‎ ‎1‎ O ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ x y ‎2‎ ‎1‎ ‎－1‎ ‎3‎ 图①‎ ‎－1‎ ‎1‎ O ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ x y ‎2‎ ‎1‎ ‎－1‎ ‎3‎ 图②‎ 图③‎ 第27题图 ‎(2)函数y＝(x≥0)的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d(O，C)＝3．‎ ‎(3)函数y＝x2－5x＋7(x≥0)的图象如图③所示，D是图象上一点，求d(O，D)的最小值及对应的点D的坐标．‎ ‎[问题解决]‎ ‎(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？(要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由)‎ 景观湖 图④‎ 第27题图 M N ‎{解析}本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质；一元二次方程根的判别式；转化思想；数学应用意识等．‎ ‎{答案}解：(1)①3；②(1，2)．‎ ‎[解析]①d(O，A)＝｜－2－0｜＋｜1－0｜＝2＋1＝3；‎ ‎②设点B的坐标为(t，－2t＋4)(0≤t≤2)，则｜t－0｜＋｜－2t＋4－0｜＝3，即｜t｜＋2｜t－2｜＝3．∵0≤t≤2，∴t－2＜0．∴t＋2(2－t)＝3．解得t＝1．此时－2t＋4＝2．∴点B的坐标为(1，2)．‎ ‎(2)假设函数y＝(x＞0)的图象上存在点C(x，y)，使d(O，C)＝3．‎ 根据题意，得｜x－0｜＋｜－0｜＝3．‎ 因为x＞0，所以＞0，｜x－0｜＋｜－0｜＝x＋．‎ 所以x＋＝3．‎ 方程两边乘x，得x2＋4＝3x．‎ 整理，得x2－3x＋4＝0．‎ 因为a＝1，b＝－3，c＝4，b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝－7＜0，‎ 所以方程x2－3x＋4＝0无实数根．‎ 所以函数y＝(x＞0)的图象上不存在点C，使d(O，C)＝3．‎ ‎(3)设D(x，y)．‎ 根据题意，得d(O，D)＝｜x－0｜＋｜x2－5x＋7－0｜＝｜x｜＋｜x2－5x＋7｜．‎ 因为x2－5x＋7＝(x－)2＋，又x≥0，‎ 所以d(O，D)＝x＋x2－5x＋7＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3．‎ 所以当x＝2时，d(O，D)有最小值3，此时点D的坐标是(2，1)．‎ ‎(4)如图5，以M为原点，MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．将函数y＝－x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止．设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H．修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．‎ 理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．因为∠EFH＝45°，所以EH＝FH，d(O，E)＝OH＋EH＝OF．同理d(O，P)＝OG．因为OG≥OF，所以d(O，P)≥d(O，E)．因此，上述方案修建的道路最短．‎ 景观湖 O(M)‎ x y l1‎ l2‎ P G H F E N 图7‎ ‎{分值}11‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{类别:新定义}‎ ‎{考点:平面直角坐标系}‎ ‎{考点:根的判别式}‎ ‎{考点:一次函数的图象}‎ ‎{考点:反比例函数的图象}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{考点:几何综合}‎