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  • 2021-11-10 发布

2019年江苏南京中考数学试题(解析版)

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‎{来源}2019年南京市中考数学试卷 ‎{适用范围:3. 九年级}‎ ‎{标题}2019年南京市中考数学试卷 考试时间:120分钟 满分:120分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题:本大题共6小题,每小题2分,合计12分.‎ ‎{题目}1.(2019年江苏南京)2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元,用科学记数法表示13000是( )‎ A.0.13×105 B.1.3×104 C.13×103 D.130×102‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了科学记数法.13000=1.3×10000=1.3×104.因此本题选B.‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2.(2019年江苏南京)计算(a2b)3的结果是( )‎ A.a2b3 B.a5b3 C.a6b D.a6b3‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了幂的运算.(a2b)3=(a2)3b3=a6b3.因此本题选D.‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-14-1]整式的乘法}‎ ‎{考点:幂的乘方}‎ ‎{考点:积的乘方}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3.(2019年江苏南京)面积为4的正方形的边长是( )‎ A.4的平方根 B.4的算术平方根 C.4开平方的结果 D.4的立方根 ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了算术平方根的意义.面积为4的正方形的边长==2.因此本题选B.‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-6-1]平方根}‎ ‎{考点:算术平方根的应用}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4.(2019年江苏南京)实数a,b,c满足a>b且ac<bc,它们在数轴上的对应点的位置可以是( )‎ b a c ‎0‎ a b c ‎0‎ a b c ‎0‎ b a c ‎0‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了实数的大小比较、不等式的性质.∵a>b,∴表示数a的点在表示数b的点的右边.∵a>b且ac<bc,∴c<0,即表示数c的点在原点的左边.因此本题选A.‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-9-1]不等式}‎ ‎{考点:数轴表示数}‎ ‎{考点:实数的大小比较}‎ ‎{考点:不等式的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5.(2019年江苏南京)下列整数中,与10-最接近的是( )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了实数的估算.‎ ‎∵9<13<16,∴3<<4,-4<-<-3,10-4<10-<10-3,即6<10-<7.这说明10-在6与7之间.‎ ‎∵3.52<13,∴3.5<,10-<6.5.这说明10-靠近6.‎ ‎∴与10-最接近的整数是6.‎ 因此本题选C.‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-6-3]实数}‎ ‎{考点:无理数的估值}‎ ‎{考点:有理数部分与无理数部分}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}6.(2019年江苏南京)如图,△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的,△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到?下列结论:①1次旋转;②1次旋转和1次轴对称;③2次旋转;④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是( )‎ A.①④ B.②③ C.②④ D.③④‎ C A B B′‎ C′‎ A′‎ 第6题图 ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了图形变换及相互间的关系.‎ 连接AA′,在AA′上任取一点A1.‎ ‎(1)如图1(1),分别取AA1和A1A′的中点O1,O2,将△ABC绕点O1旋转180°得△A1B1C1,将△A1B1C1绕点O2旋转180°得△A′B′C′;‎ ‎(2)如图1(2),分别作AA1和A1A′的垂直平分线l1,l2,△ABC关于l1对称的三角形是△A2B2C2,△A2B2C2关于l2对称的三角形是△A′B′C′.‎ 结论①②不正确.‎ 故选D.‎ C A B B′‎ C′‎ A′‎ 图1(1)‎ C1‎ B1‎ A1‎ O1‎ O2‎ C A B B′‎ C′‎ A′‎ 图1(2)‎ l1‎ l2‎ C2‎ B2‎ A2‎ 因此本题选D.‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-23-2-1]中心对称}‎ ‎{考点:平移的性质}‎ ‎{考点:轴对称的性质}‎ ‎{考点:旋转的性质}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题:本大题共10小题,每小题2分,合计20分.‎ ‎{题目}7.(2019年江苏南京)-2的相反数是______;的倒数是______.‎ ‎{答案}2,2‎ ‎{解析}本题考查了相反数、倒数的概念.a的相反数是-a,的倒数是.因此本题答案是2,2.‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-1-2-3]相反数}‎ ‎{章节:[1-1-4-2]有理数的除法}‎ ‎{考点:相反数的定义}‎ ‎{考点:倒数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}8.(2019年江苏南京)计算-的结果是______.‎ ‎{答案}0‎ ‎{解析}本题考查了二次根式的计算.原式=2-2=0.因此本题答案是0.‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-16-3]二次根式的加减}‎ ‎{考点:二次根式的加减法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}9.(2019年江苏南京)分解因式(a-b)2+4ab的结果是______.‎ ‎{答案}(a+b)2‎ ‎{解析}本题考查了乘法公式和因式分解.原式=a2-2ab+b2+4ab=a2+2ab+b2=(a+b)2.因此本题答案是(a+b)2.‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:完全平方公式}‎ ‎{考点:因式分解-完全平方式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}10.(2019年江苏南京)已知2+是关于x的方程x2-4x+m=0的一个根,则m=______.‎ ‎{答案}1‎ ‎{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系或者根的定义.‎ 设原方程的另一根为x1,则由根与系数的关系得 ‎(2+)+x1=4,(2+)x1=m.‎ 解得x1=2-,m=1.‎ 因此本题答案是1.‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-21-1]一元二次方程}‎ ‎{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系}‎ ‎{考点:一元二次方程的定义}‎ ‎{考点:根与系数关系}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}11.(2019年江苏南京)结合下图,用符号语言表达定理“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式:∵______,∴a∥b.‎ a b c ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 第11题图 ‎{答案}∠1+∠3=180°‎ ‎{解析}本题考查了平行线的判定.图中∠2、∠3、∠4分别是∠1的同位角、同旁内角和内错角.因此同旁内角互补应表示为∠1+∠3=180°.因此本题答案是∠1+∠3=180°.‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-5-2-2] 平行线的判定}‎ ‎{考点:同旁内角互补两直线平行}‎ ‎{考点:几何说理}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}12.(2019年江苏南京)无盖圆柱杯子的展开图如图所示,将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有______cm.‎ ‎9cm ‎12cm 第12题图 ‎{答案}5‎ ‎{解析}本题考查了勾股定理的应用.‎ 当筷子倾斜放置时,∵以9和12为直角边的直角三角形,则其斜边==15,20-15=5,∴木筷露在杯子外面的部分至少有5cm.‎ 因此本题答案是5.‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-17-1]勾股定理}‎ ‎{考点:几何体的展开图}‎ ‎{考点:勾股定理的应用}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}13.(2019年江苏南京)为了了解某区初中学生的视力情况,随机抽取了该区500名初中学生进行调查,整理样本数据,得到下表:‎ 视力 ‎4.7以下 ‎4.7‎ ‎4.8‎ ‎4.9‎ ‎4.9以上 人数 ‎102‎ ‎98‎ ‎80‎ ‎93‎ ‎127‎ 根据抽样调查结果,估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是______.‎ ‎{答案}7200‎ ‎{解析}本题考查了利用样本估计总体的思想.‎ 视力不低于4.8的人数=80+93+127=300.‎ 由样本估计总体的思想,可知求所结果=×12000=7200(人).‎ 因此本题答案是7200.‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-10-1]统计调查}‎ ‎{考点:抽样调查}‎ ‎{考点:用样本估计总体}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}14.(2019年江苏南京)如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,点C,D在⊙O上,若∠P=102°,则∠A+∠C=______°.‎ P D O C A B 第14题图 ‎{答案}219‎ ‎{解析}本题考查了圆周角定理的推论、切线长定理.‎ 连接AB,则∠DAB+∠C=180°.‎ 由切线长定理可知PA=PB,∴∠PAB=×(180°-∠P)=39°.‎ ‎∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°.‎ 因此本题答案是219.‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{考点:圆内接四边形的性质}‎ ‎{考点:切线长定理}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}15.(2019年江苏南京)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长为______.‎ M N D C A B 第15题图 ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了垂直平分线的性质和相似三角形.‎ ‎∵DN垂直平分BC,∴DB=DC.∴∠B=∠DCB.‎ ‎∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB,‎ ‎∴∠ACD=∠B.‎ 又∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC.‎ ‎∴=,即AC2=AD·AB.‎ ‎∴AD=2,BD=3,∴AB=5.‎ ‎∴AC=.‎ 因此本题答案是.‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{考点:垂直平分线的性质}‎ ‎{考点:相似三角形的判定(两角相等)}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}16.(2019年江苏南京)在△ABC中,AB=4,∠C=60°,∠A>∠B,则BC的长的取值范围是______.‎ ‎{答案}4<BC≤‎ ‎{解析}本题考查了三角函数、轨迹等知识.‎ ‎∠A=∠B时,△ABC是等边三角形,此时BC=AB=AC=4.‎ ‎∵∠A>∠B,∴BC>4.‎ 如图2,作△ABC的外接圆O,则当BC是直径BC′时,BC的值最大.此时BC′==.‎ 综上所述,BC的长的取值范围是4<BC≤.‎ 因此本题答案是4<BC≤.‎ C′‎ O C A B 图2‎ ‎{分值}2‎ ‎{章节:[1-24-2-1]点和圆的位置关系}‎ ‎{考点:等边对等角}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{考点:点与圆的位置关系}‎ ‎{考点:几何填空压轴}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题:本大题共11小题,合计88分.‎ ‎{题目}17.(2019年江苏南京)计算:(x+y)(x2-xy+y2).‎ ‎{解析}本题考查了整式的乘法.运用多项式乘多项式的法则进行计算.‎ ‎{答案}解:(x+y)(x2-xy+y2)‎ ‎=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3‎ ‎=x3+y3.‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-14-1]整式的乘法}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:多项式乘以多项式}‎ ‎{题目}18.(2019年江苏南京)解方程:-1=.‎ ‎{解析}本题考查了解分式方程.(1)去分母;(2)解整式方程;(3)验根.‎ ‎{答案}解:方程两边乘(x-1)(x+1),得 x(x+1)-(x-1)(x+1)=3.‎ 解得x=2.‎ 检验:当x=2时,(x-1)(x+1)≠0.‎ 所以,原分式方程的解为x=2.‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}‎ ‎{考点:解含两个分式的分式方程}‎ ‎{考点:分式方程的检验}‎ ‎{题目}19.(2019年江苏南京)如图,D是△ABC的边AB的中点,DE∥BC,CE∥AB,AC与DE相交于点F,求证:△ADF≌△CEF.‎ F D E C A B 第19题图 ‎{解析}本题考查了.先证四边形DBCE是平行四边形,再用“角边角”或“角角边”证△ADF与△CEF全等.‎ ‎{答案}证明:∵DE∥BC,CE∥AB,‎ ‎∴四边形DBCE是平行四边形.‎ ‎∴BD=CE.‎ ‎∵D是AB的中点,‎ ‎∴AD=DB.‎ ‎∴AD=CE.‎ ‎∵CE∥AB,‎ ‎∴∠A=∠ECF,∠ADF=∠E.‎ ‎∴△ADF≌△CEF.‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-18-1-2]平行四边形的判定}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎ ‎{考点:两组对边分别平行的四边形是平行四边形}‎ ‎{题目}20.(2019年江苏南京)下图是某市连续5天的天气情况.‎ ‎(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大;‎ ‎(2)根据上图提供的信息,请再写出两个不同类型的结论.‎ ‎{解析}本题考查了方差的应用、数据的分析.‎ ‎{答案}解:(1)这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是 ‎=(23+25+23+25+24)=24,=(21+22+15+15+17)=18.‎ 方差分别是 ‎=[(23-24)2+(25-24)2+(23-24)2+(25-24)2+(24-24)2]=0.8,‎ ‎=[(21-18)2+(22-18)2+(15-18)2+(15-18)2+(17-18)2]=8.8.‎ 由<可知,这5天的日最低气温的波动较大.‎ ‎(2)本题答案不唯一,下列解法供参考.例如,①25日、26日、27日、28日、29日的天气现象依次是大雨、中雨、晴、晴、多云,日温差依次是2℃、3℃、8℃、10℃、7℃,可以看出雨天的日温差较小.②25日、26日、27日的天气现象依次是大雨、中雨、晴,空气质量依次是良、优、优,说明下雨后空气质量改善了.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-20-2-1]方差}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:方差的实际应用}‎ ‎{考点:用样本估计总体}‎ ‎{题目}21.(2019年江苏南京)某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动,要求每位学生选择参加活动.‎ ‎(1)甲同学随机选择两天,其中有一天是星期二的概率是多少?‎ ‎(2)乙同学随机选择连续的两天,其中有一天是星期二的概率是______.‎ ‎{解析}本题考查了用列举法求概率.‎ ‎{答案}解:(1)甲同学随机选择两天,所有可能出现的结果共有6种,即(星期一,星期二)、(星期一,星期三)、(星期一,星期四)、(星期二,星期三)、(星期二,星期四)、(星期三,星期四),这些结果出现的可能性相等,所有结果中,满足有一天是星期二(记为事件A)的结果有3种,即(星期一,星期二)、(星期二,星期三)、(星期二,星期四),所以P(A)==.‎ ‎(2).‎ ‎[解析]‎ 乙同学随机选择连续的两天,所有可能出现的结果共有3种,即(星期一,星期二)、(星期二,星期三)、(星期三,星期四),这些结果出现的可能性相等,所有结果中,满足有一天是星期二(记为事件B)的结果有2种,即(星期一,星期二)、(星期二,星期三),所以P(B)=.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{题目}22.(2019年江苏南京)如图,⊙O的弦AB,CD的延长线相交于点P,且AB=CD,求证:PA=PC.‎ O 第22题图 P D C A B ‎{解析}本题考查了“三组量”之间的关系或垂径定理等知识.‎ ‎{答案}证法1:如图3(1),连接AC.‎ ‎∵AB=CD,‎ ‎∴=.‎ ‎∴+=+,即=.‎ ‎∴∠C=∠A.‎ ‎∴PA=PC.‎ O 图3(1)‎ P D C A B O 图3(2)‎ P D C A B M N 证法2:如图3(2),过点O分别作OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分别为M,N.连接OA,OC,OP.‎ ‎∵OM⊥AB,ON⊥CD,‎ ‎∴AM=AB,CN==CD.‎ ‎∵AB=CD,‎ ‎∴AM=CN.‎ 在Rt△OAM和Rt△OCN中,∠OMA=ONC=90°,‎ 根据勾股定理,得OM=,ON=.‎ 又OA=OC,AM=CN,‎ ‎∴OM=ON.‎ 又OP=OP,‎ ‎∴Rt△OPM≌Rt△OPN.‎ ‎∴PM=PN.‎ ‎∴PM+AM=PN+CN,即PA=PC.‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径}‎ ‎{章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:全等三角形的判定HL}‎ ‎{考点:垂径定理}‎ ‎{考点:圆心角、弧、弦的关系}‎ ‎{题目}23.(2019年江苏南京)已知一次函数y1=kx+2(k为常数,k≠0)和y2=x-3.‎ ‎(1)当k=-2时,若y1>y2,求x的取值范围.‎ ‎(2)当x<1时,y1>y2.结合图象,直接写出k的取值范围.‎ ‎{解析}本题考查了一次函数与不等式的关系、数形结合思想等.‎ ‎{答案}解:(1)当k=-2时,y1=-2x+2.‎ 根据题意,得-2x+2>x-3.‎ 解得x<.‎ ‎(2)-4≤k≤1且k≠0.‎ ‎[解析]如图4,直线y2=x-3上横坐标是1的点D的纵坐标是-2.‎ ‎①当直线y1=kx+2经过点D(1,-2)时,k=-4.此时符合题意;‎ ‎②当直线y1=kx+2与直线y2=x-3平行时,k=1.此时符合题意;‎ ‎③当直线y1=kx+2与直线y2=x-3的交点P在射线DC上时,符合题意,此时k的取值范围是-4<k<1且k≠0.‎ 综上所述,k的取值范围是-4≤k≤1且k≠0.‎ x O y D A B y2‎ y1‎ y1‎ y1‎ C ‎1‎ 图4‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:一次函数的图象}‎ ‎{考点:一次函数的性质}‎ ‎{考点:两直线相交或平行问题}‎ ‎{考点:一次函数与一元一次不等式}‎ ‎{题目}24.(2019年江苏南京)如图,山顶有一塔AB,塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80m的C处测得A,B的仰角分别为27°、22°,从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°.求隧道EF的长度.‎ ‎(参考数据:tan22°≈0.40,tan27°≈0.51.)‎ F D E C A B ‎22°‎ ‎27°‎ ‎45°‎ 第24题图 ‎ ‎ ‎{解析}本题考查了三角函数的实际应用.‎ ‎{答案}解:如图5,延长AB交CD于点H,则AH⊥CD.‎ 在Rt△ACH中,∠ACH=27°,∵tan27°=,‎ ‎∴AH=CH·tan27°.‎ 在Rt△BCH中,∠BCH=22°,∵tan22°=,‎ ‎∴BH=CH·tan22°.‎ ‎∵AB=AH-BH,∴CH·tan27°-CH·tan22°=33.‎ 解得CH≈300.‎ ‎∴AH=CH·tan27°≈153.‎ 在Rt△ADH中,∠D=45°,∵tan45°=,‎ ‎∴HD=AH=153.‎ ‎∴EF=CD-CE-FD=CH+HD-CE-FD ‎=300+150-80-50‎ ‎=323.‎ 答:隧道EF的长度约为323m.‎ F D E C A B ‎22°‎ ‎27°‎ ‎45°‎ 图5‎ H ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-28-2-2]非特殊角}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用-仰角}‎ ‎{题目}25.(2019年江苏南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长50m,宽40m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后和扩充区域都铺设地砖.铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?‎ 原广场 扩充区域 第25题图 ‎{解析}本题考查了一元二次方程的应用.‎ ‎{答案}解:设扩充后广场的长为3xm,则宽为2xm.‎ 根据题意,得3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000.‎ 解得x1=30,x2=-30(不合题意,舍去).‎ 所以3x=90,2x=60.‎ 答:扩充后广场的长和宽应分别为90m和60m.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用—面积问题}‎ ‎{题目}26.(2019年江苏南京)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.求作菱形 DEFG,使点D在边AC上,点E,F在边AB上,点G在边BC上.‎ C A B 图①‎ 小明的作法 ‎1.如图②,在边AC上取一 点D,过点D作DG∥AB交 BC于点G.‎ ‎2.以点D为圆心,DG长为 半径画弧,交AB于点E.‎ ‎3.在EB上截取EF=ED,‎ 连接FG,则四边形DEFG 为所求作的菱形.‎ C A B G F D E 图②‎ 第26题图 ‎(1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形.‎ ‎(2)小明进一步探索,发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索,直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.‎ ‎{解析}本题考查了菱形的判定、相似三角形、分类讨论思想等.‎ 第(2)问,思考点D在CA边上由点C向点D移动时,以点D为圆心,DG长为半径画弧,弧与AB边是否有交点、有几个交点;当DG增大时,还要考虑点F是否在AB边上.‎ ‎{答案}证明:(1)∵DG=DE,DE=EF,‎ ‎∴DG=EF.‎ ‎∵DG∥EF,‎ ‎∴四边形DEFG是平行四边形.‎ 又DE=EF,‎ ‎∴□DEFG是菱形.‎ ‎(2)当0≤CD<或<CD≤3时,菱形的个数为0;当CD=或<CD≤时,菱形的个数为1;当<CD≤时,菱形的个数为2.‎ ‎[解析]AB==5,AB边上的高CM==.‎ 设DG=x,则由△CDG∽△CAB可知CD=x.‎ ‎①如图6(1),当DE⊥AB时,由相似三角形的性质,得 ‎=,即=.‎ 解得x=.此时CD=.‎ ‎②如图6(2),当DG=DE2=DA=x时,由△CDG∽△CAB,得 ‎=,即=.‎ 解得x=.此时CD=.‎ B C A G F D E 图6(1)‎ M N ‎ B C A(E1)‎ G D F1‎ F2‎ E2‎ 图6(2)‎ ‎B(F)‎ C A G D E 图6(3)‎ ‎③如图6(3),当点F与点B重合时,DG=DE=EB=x.‎ 由△ADE∽△ACB,得 ‎=,即=.‎ 解得x=.此时CD=.‎ 综上所述,当0≤CD<或<CD≤3时,菱形的个数为0;当CD=或<CD≤时,菱形的个数为1;当<CD≤时,菱形的个数为2.‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{考点:线段尺规作图}‎ ‎{考点:菱形的判定}‎ ‎{考点:由平行判定相似}‎ ‎{题目}27.(2019年江苏南京)[概念认识]‎ 城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直线行走到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两点A(x1,y1和B(x2,y2),用以下方式定义两点间的距离:d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.‎ ‎[数学理解]‎ ‎(1)①已知点A(-2,1),则d(O,A)=______;‎ ‎②函数y=-2x+4(0≤x≤2)的图象如图①所示,B是图象上一点,d(O,B)=3,则点B的坐标是______.‎ ‎-1‎ ‎1‎ O ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ x y ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎3‎ ‎-1‎ ‎1‎ O ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ x y ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎3‎ 图①‎ ‎-1‎ ‎1‎ O ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ x y ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎3‎ 图②‎ 图③‎ 第27题图 ‎(2)函数y=(x≥0)的图象如图②所示.求证:该函数的图象上不存在点C,使d(O,C)=3.‎ ‎(3)函数y=x2-5x+7(x≥0)的图象如图③所示,D是图象上一点,求d(O,D)的最小值及对应的点D的坐标.‎ ‎[问题解决]‎ ‎(4)某市要修建一条通往景观湖的道路,如图④,道路以M为起点,先沿MN方向到某处,再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边,如何修建能使道路最短?(要求:建立适当的平面直角坐标系,画出示意图并简要说明理由)‎ 景观湖 图④‎ 第27题图 M N ‎{解析}本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质;一元二次方程根的判别式;转化思想;数学应用意识等.‎ ‎{答案}解:(1)①3;②(1,2).‎ ‎[解析]①d(O,A)=|-2-0|+|1-0|=2+1=3;‎ ‎②设点B的坐标为(t,-2t+4)(0≤t≤2),则|t-0|+|-2t+4-0|=3,即|t|+2|t-2|=3.∵0≤t≤2,∴t-2<0.∴t+2(2-t)=3.解得t=1.此时-2t+4=2.∴点B的坐标为(1,2).‎ ‎(2)假设函数y=(x>0)的图象上存在点C(x,y),使d(O,C)=3.‎ 根据题意,得|x-0|+|-0|=3.‎ 因为x>0,所以>0,|x-0|+|-0|=x+.‎ 所以x+=3.‎ 方程两边乘x,得x2+4=3x.‎ 整理,得x2-3x+4=0.‎ 因为a=1,b=-3,c=4,b2-4ac=(-3)2-4×1×4=-7<0,‎ 所以方程x2-3x+4=0无实数根.‎ 所以函数y=(x>0)的图象上不存在点C,使d(O,C)=3.‎ ‎(3)设D(x,y).‎ 根据题意,得d(O,D)=|x-0|+|x2-5x+7-0|=|x|+|x2-5x+7|.‎ 因为x2-5x+7=(x-)2+,又x≥0,‎ 所以d(O,D)=x+x2-5x+7=x2-4x+7=(x-2)2+3.‎ 所以当x=2时,d(O,D)有最小值3,此时点D的坐标是(2,1).‎ ‎(4)如图5,以M为原点,MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.将函数y=-x的图象沿y轴正方向平移,直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止.设交点为E,过点E作EH⊥MN,垂足为H.修建方案是:先沿MN方向修建到H处,再沿HE方向修建到E处.‎ 理由:设过点E的直线l1与x轴相交于点F.在景观湖边界所在曲线上任取一点P,过点P作直线l2∥l1,l2与x轴相交于点G.因为∠EFH=45°,所以EH=FH,d(O,E)=OH+EH=OF.同理d(O,P)=OG.因为OG≥OF,所以d(O,P)≥d(O,E).因此,上述方案修建的道路最短.‎ 景观湖 O(M)‎ x y l1‎ l2‎ P G H F E N 图7‎ ‎{分值}11‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{类别:新定义}‎ ‎{考点:平面直角坐标系}‎ ‎{考点:根的判别式}‎ ‎{考点:一次函数的图象}‎ ‎{考点:反比例函数的图象}‎ ‎{考点:二次函数y=ax2+bx+c的性质}‎ ‎{考点:几何综合}‎