沪科版九年级数学上册期中测试题（含答案） 13页

沪科版九年级数学上册期中测试题（含答案）‎ ‎(考试时间：120分钟　　　满分：150分)‎ 姓名：______　　　班级：______　　　分数：______‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)‎ 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．‎ ‎1．二次函数y＝－2(x＋1)2＋5的顶点坐标是 (　D　)‎ A．－1 B．5‎ C．(1，5) D．(－1，5)‎ ‎2．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是 (　A　)‎ A．y＝a(1＋x)2 B．y＝a(1－x)2‎ C．y＝(1－x)2＋a D．y＝x2＋a ‎3．若△ABC∽△DEF，相似比为9 ∶4，则△ABC与△DEF对应中线的比为 (　A　)‎ A．9 ∶4 B．4 ∶9 C．81 ∶16 D．3 ∶2‎ ‎4．在同一时刻，身高1.6 m的小强，‎ 13‎ 在太阳光线下影长是1.2 m，旗杆的影长是6 m，则旗杆高为 (　C　)‎ A．4.5 m B．6 m C．8 m D．9 m ‎5．已知点A(－3，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝的图象上，则 (　D　)‎ A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1‎ C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3‎ ‎6．下面四组图形中，必是相似三角形的为 (　D　)‎ A．两个直角三角形 B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形 C．有一个角为40°的两个等腰三角形 D．有一个角为100°的两个等腰三角形 ‎7．在平面直角坐标系中，点P(1，－2)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P对应点的坐标为 (　B　)‎ A．(2，－4) B．(2，－4)或(－2，4)‎ C. D.或 ‎8．抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝ax＋c(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是 (　D　)‎ 13‎ ‎ ‎ ‎9．已知：正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点M(a，1)，MN⊥x轴于点N(如图)，若△OMN的面积等于2，则 (　A　)‎ A．k1＝，k2＝4 B．k1＝4，k2＝ C．k1＝，k2＝－4 D．k1＝－，k2＝4‎ ‎ ‎ ‎　 　 第9题图 第10题图 第13题图 ‎10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①a b c＞0；②2a＋b＝0；③m为任意实数，则a＋b＞am2＋b m；④a－b＋c＞0；⑤若ax＋bx1＝ax＋bx2，且x1≠x2，则x1＋x2＝2.其中正确的有 (　C　)‎ A．①②③ B．②④‎ C．②⑤ D．②③⑤‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)‎ 13‎ ‎11．若y＝(m－1)xm2＋2m－1是二次函数，则m的值是－3 .‎ ‎12．反比例函数y＝图象上的一点到x轴距离为2，到y轴距离为3，且当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的值是 －6 .‎ ‎13．★如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝3相交于点A，B，与y轴交于点C(0，－1)，若∠ACB为直角，则当ax2＋c＜0时，自变量x的取值范围是 －2＜x＜2 .‎ ‎14．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D为AC上一点，其中DC＝AC，在AB上取一点E得△ADE，若△ABC与△ADE相似，则DE＝ 6或8 .‎ 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)‎ ‎15．已知：a ∶b ∶c＝2 ∶3 ∶5，求代数式的值．‎ 解：∵a ∶b ∶c＝2 ∶3 ∶5，‎ ‎∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k(k≠0)，‎ 则＝＝1.‎ ‎16.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(1，5)，B(－1，9)，C(0，8)．求这个二次函数的表达式，开口方向，‎ 13‎ 对称轴和顶点坐标．‎ 解：由题意得，解得 ‎∴二次函数表达式为y＝－x2－2x＋8，‎ ‎∵y＝－x2－2x＋8＝－(x＋1)2＋9，‎ ‎∴这个二次函数的抛物线开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1，9)．‎ 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)‎ ‎17．在如图所示的网格中，已知△ABC和点M(1，2)．‎ ‎(1)以点M为位似中心把三角形放大，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；‎ ‎(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．‎ ‎ ‎ 解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．‎ ‎(2)△A′B′C′的各顶点坐标分别为 A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．‎ 13‎ ‎18．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(k Pa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．‎ ‎(1)求这个函数的表达式；‎ ‎(2)当气球内的气压大于150 k Pa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气体的体积应至少是多少？‎ ‎ ‎ 解：(1)设p＝，将A(0.5，120)代入求出k＝60，∴p＝.‎ ‎(2)当p＞150 kPa时，气球将爆炸，‎ ‎∴p≤150，即p＝≤150，‎ 解得V≥＝0.4.‎ 故为了安全起见，气体的体积应不小于0.4 m3.‎ 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)‎ 13‎ ‎19．某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E，C，A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝7 m(测量示意图如图所示)．请根据相关测量信息，求河宽AB的长．‎ ‎ ‎ 解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，‎ ‎∴∠ABC＝∠ADE.‎ 又∵∠BAC＝∠DAE，‎ ‎∴△ABC∽△ADE，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ 解得AB＝14 m，‎ 经检验：AB＝14是分式方程的解．‎ 13‎ 答：河宽AB的长为14米．‎ ‎20．如图，一次函数y1＝k x＋b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A(m，3)，B(－3，n)两点．‎ ‎(1)求一次函数的表达式；‎ ‎(2)观察函数图象，直接写出关于x的不等式＞k x＋b的解集．‎ ‎ ‎ 解：(1)∵A(m，3)，B(－3，n)两点在反比例函数y2＝的图象上，‎ ‎∴m＝2，n＝－2.‎ ‎∴A(2，3)，B(－3，－2)．‎ 根据题意得解得 ‎∴一次函数的表达式是y1＝x＋1.‎ ‎(2)根据图象得0＜x＜2或x＜－3.‎ 六、(本题满分12分)‎ 13‎ ‎21．已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2＝BE·BC.‎ ‎(1)求证：∠BDE＝∠C；‎ ‎(2)求证：AD2＝AE·AB.‎ ‎ ‎ 证明：(1)∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD＝∠CBD，∵BD2＝BE·BC，‎ ‎∴＝，∴△EBD∽△DBC，‎ ‎∴∠BDE＝∠C.‎ ‎(2)∵∠BDE＝∠C，‎ ‎∠DBC＋∠C＝∠BDE＋∠ADE，∴∠DBC＝∠ADE，‎ ‎∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADE，∴△ADE∽△ABD，‎ ‎∴＝，即AD2＝AE·AB.‎ 七、(本题满分12分)‎ ‎22．某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，‎ 13‎ 售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天(1≤x≤30且x为整数)的销量为y件．‎ ‎(1)直接写出y与x的函数关系式；‎ ‎(2)在这30天内，哪一天的利润是6 300元？‎ ‎(3)设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．‎ 解：(1)由题意可知y＝5x＋30.‎ ‎(2)根据题意可得(130－x－60－4)(5x＋30)＝6 300，‎ 即x2－60x＋864＝0，‎ 解得x＝24或36(舍)，‎ ‎∴在这30天内，第24天的利润是6 300元．‎ ‎(3)根据题意可得 w＝(130－x－60－4)(5x＋30)‎ ‎＝－5x2＋300x＋1 980‎ ‎＝－5(x－30)2＋6 480，‎ ‎∵a＝－5＜0，‎ 13‎ ‎∴函数有最大值，‎ ‎∴当x＝30时，w有最大值为6 480元，‎ ‎∴第30天的利润最大，最大利润是6 480元．‎ 八、(本题满分14分)‎ ‎23．如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B，D，P，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．‎ ‎(1)求证：AB·CD＝PB·PD；‎ ‎(2)如图乙也是一个“三垂图”，上述结论还成立吗？请说明理由；‎ ‎(3)已知抛物线交x轴于A(－1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点(0，－3)，顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A，B，P的点，设AQ与y轴相交于D，且∠QAP＝90°，利用上述结论求Q点坐标．‎ ‎ ‎ ‎(1)证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，‎ 13‎ ‎∴∠A＋∠APB＝90°，∵AP⊥PC，∴∠APB＋∠CPD＝90°，‎ ‎∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC，∴＝，∴AB·CD＝PB·PD.‎ ‎(2)解：AB·CD＝PB·PD仍然成立．‎ 理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠CDP＝90°，‎ ‎∴∠A＋∠APB＝90°，∵AP⊥PC，∴∠APB＋∠CPD＝90°，‎ ‎∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC，∴＝，‎ ‎∴AB·CD＝PB·PD.‎ ‎(3)解：设抛物线表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ ‎∵抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，‎ ‎∴解得∴y＝x2－2x－3，‎ ‎∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点P的坐标为(1，－4)，‎ 过点P作PC⊥x轴于C，∵AQ与y轴相交于D，‎ ‎∴AO＝1，AC＝1＋1＝2，PC＝4，由(2)得，AO·AC＝OD·PC，‎ 13‎ ‎∴1×2＝OD·4，解得OD＝，∴点D的坐标为，‎ 设直线AD的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，则 解得∴y＝x＋，‎ 联立解得(与A重合，舍去)‎ ‎∴点Q的坐标为.‎ 13‎