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  • 2021-11-10 发布

中考九年级数学学练测93弧长及扇形的面积

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弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积 1 . [2017· 泰州 ] 扇形的半径为 3 cm ,弧长为 2 π cm ,则该扇形的面积为 _______cm 2 . 2 . [2017· 温州 ] 已知扇形的面积为 3 π ,圆心角为 120° ,则它的半径为 ______ . 小题热身 3 π 3 3 . [2017· 无锡 ] 已知圆锥的底面半径为 3 cm ,母线长为 5 cm ,则它的侧面展开图的面积等于 _______cm 2 . 图 31 - 1 15 π 5 . [2016· 盐城 ] 如图 31 - 2 ,正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆,则 B , E 两点间的距离为 _____ . 图 31 - 2 8 一、必知 4 知识点 1 .正多边形和圆 正多边形:各边相等,各内角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的外接圆:经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的 __________ . 圆内接正多边形:这个正多边形叫做圆内接正多边形. 正多边形的对称性:正多边形是轴对称图形. 考点管理 外接圆 【 智慧锦囊 】 正多边形的有关计算: 2 .圆的周长与弧长公式 圆的周长:若圆的半径是 R ,则圆的周长 C = ______ . 弧长公式:若一条弧所对的圆心角是 n ° ,半径是 R ,则弧 长 l = __________ . 3 .扇形的面积公式 (1) 对于半径是 R ,圆心角是 n ° 的扇形的面积是 S = ________ ①; (2) 对于弧长是 l ,半径是 R 的扇形的面积是 S = ________②. 说明:当已知半径 R 和圆心角的度数求扇形的面积时,选用公式 ① ;当已知半径 R 和弧长求扇形的面积时,应选用公式 ②. π R 4 .圆锥的侧面积和全面积 圆锥侧面展开图:沿着圆锥的母线,把圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的 ________ 长. 圆锥侧面积与全面积:如图 31 - 3 ,若圆锥 的底面半径为 r ,母线长为 l ,则它的侧面 积 S 侧 = _______ ;全面积 S 全 = __________ . 图 31 - 3 【 智慧锦囊 】 圆锥的基本特征: (1) 圆锥的母线长都相等; (2) 圆锥的侧面展开图是半径等于母线长,弧长等于圆锥底面周长的扇形. 母线 π rl π r 2 + π rl 二、必会 2 方法 1 .三招教你求阴影部分的面积 思路: (1) 将所求阴影部分的面积转化为已学过的易求图形的面积和差; (2) 适当作辅助线,将所求阴影部分面积割补为学过易求图形的面积. 方法: (1) 作差法; (2) 割补法; (3) 等积变形法. 2 .解圆锥 ( 柱 ) 题的 “ 四字诀 ”—— 展,围,转,剖 展:把一个圆锥 ( 柱 ) 的侧面沿着它的一条母线剪开后展在一个平面上; 围:将扇形围成圆锥侧面或矩形卷成圆柱的侧面; 转:圆锥 ( 柱 ) 可以看成是由一个直角三角形 ( 矩形 ) 旋转得到的; 剖:对圆锥 ( 柱 ) 沿着它的轴将其一分为二,所得到的截面一般是等腰三角形 ( 矩形 ) ,这个等腰三角形的腰长等于圆锥的母线长,底边长等于圆锥的底面直径 ( 矩形的一边长等于圆柱的母线长,另一边长等于圆柱的底面直径 ) . 正多边形的性质 [2017· 达州 ] 以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是 (     ) A 例 1 答图 1 . [2017· 滨州 ] 若正方形的外接圆半径为 2 ,则其内切圆半径为 (     ) 变式跟进 1 答图 A A . 3 B . 4 C . 5 D . 6 C 图 31 - 4 变式跟进 2 答图 3 . [2016· 威海 ] 如图 31 - 5 ,正方形 ABCD 内接于 ⊙ O ,其边长 为 4 ,则 ⊙ O 的内接正三角形 △ EFG 的边长为 ________ . 图 31 - 5 变式跟进 3 答图 弧长计算 图 31 - 6 20 π 1 . [2016· 兰州 ] 如图 31 - 7 ,用一个半径为 5 cm 的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点 P 旋转了 108° ,假设绳索 ( 粗细不计 ) 与滑轮之间没有滑动,则重物上升了 (     ) A . π cm B . 2π cm C . 3π cm D . 5π cm 图 31 - 7 C 2 . [2017· 菏泽 ] 一个扇形的圆心角为 100° ,面积为 15π cm 2 , 则此扇形的半径长为 _______cm. 3 .已知扇形的圆心角为 120° ,弧长为 2π ,则它的半径为 _____ . 3 扇形的面积计算   [2017· 丽水 ] 如图 31 - 8 ,点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 的三等分点, AC = 2 ,则图中阴影部分的面积是 (     ) 图 31 - 8 A 例 3 答图 图 31 - 9 (48 π + 32)cm 2 变 式跟进 1 答图 2 . [2016· 宁波 ] 如图 31 - 10 ,半圆 O 的直径 AB = 2 ,弦 CD ∥ AB ,∠ COD = 90° ,则图中阴影部分的面积为 ____ . 图 31 - 10 3 .如图 31 - 11 ,在 △ ABC 中, AB = AC ,以 AB 为直径的 ⊙ O 分别与 BC , AC 交于点 D , E ,过点 D 作 ⊙ O 的切线 DF ,交 AC 于点 F . (1) 求证: DF ⊥ AC ; (2) 若 ⊙ O 的半径为 4 ,∠ CDF = 22.5° ,求阴影部分的面积. 图 31 - 11 解 : (1) 证明:如答图,连结 OD . ∵ OB = OD ,∴∠ ABC = ∠ ODB . ∵ AB = AC ,∴∠ ABC = ∠ ACB . ∴∠ ODB = ∠ ACB .∴ OD ∥ AC . ∵ DF 是 ⊙ O 的切线, ∴ DF ⊥ OD ,∴ DF ⊥ AC ; (2) 如答图,连结 OE . ∵ DF ⊥ AC ,∠ CDF = 22.5° , ∴∠ ABC = ∠ ACB = 67.5° , ∴∠ BAC = 45°. ∵ OA = OE ,∴∠ AOE = 90°. 变式跟进 3 答图 ∵⊙ O 的半径为 4 ,∴ S 扇形 AOE = 4π , S △ AOE = 8. ∴ S 阴影 = S 扇形 AOE - S △ AOE = 4π - 8. 【 点悟 】  求不规则图形的面积,常转化为易解决问题的基本图形,然后求出各图形的面积,通过面积的和差求出结果. 圆锥 ( 柱 ) 侧面展开图和全面积的计算 [2017· 杭州 ] 如图 31 - 12 ,在 Rt △ ABC 中, ∠ ABC = 90° , AB = 2 , BC = 1. 把 △ ABC 分 别绕直线 AB 和 BC 旋转一周,所得几何体的 底面圆的周长分别记做 l 1 , l 2 ,侧面积分别 记做 S 1 , S 2 ,则 (     ) A . l 1 ∶ l 2 = 1∶2 , S 1 ∶ S 2 = 1∶2 B . l 1 ∶ l 2 = 1∶4 , S 1 ∶ S 2 = 1∶2 C . l 1 ∶ l 2 = 1∶2 , S 1 ∶ S 2 = 1∶4 D . l 1 ∶ l 2 = 1∶4 , S 1 ∶ S 2 = 1∶4 图 31 - 12 A 1 . [2017· 南充 ] 如图 31 - 13 ,在 Rt △ ABC 中, AC = 5 cm , BC = 12 cm ,∠ ACB = 90° ,把 Rt △ ABC 绕 BC 所在的直线旋转一周得到一个几何体,则这个几何体的侧面积为 (     ) A . 60π cm 2 B . 65π cm 2 C . 120π cm 2 D . 130π cm 2 图 31 - 13 B 2 . [2016· 宁波 ] 如图 31 - 14 ,圆锥的底面半径 r 为 6 cm ,高 h 为 8 cm ,则圆锥的侧面积为 (     ) A . 30π cm 2 B . 48π cm 2 C . 60π cm 2 D . 80π cm 2 图 31 - 14 C 3 . [2017· 绵阳 ]“ 赶陀螺 ” 是一项深受人们喜爱的运动.如图 31 - 15 所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径 AB = 8 cm ,圆柱体部分的高 BC = 6 cm ,圆锥体部分的高 CD = 3 cm ,则这个陀螺的表面积是 (     ) A . 68π cm 2 B . 74π cm 2 C . 84π cm 2 D . 100π cm 2 图 31 - 15 C 【 解析 】 圆锥的表面积加上圆柱的侧面积及底面圆的面积即可求得其表面积. ∵ 底面圆的直径为 8 cm ,锥高为 3 cm ,∴圆锥的母线长为 5 cm ,∴表面积= π×4×5 + 8π×6 + 16π = 84π(cm 2 ) ,故选 C. 平面图形的滚动问题   [2017· 达州 ] 如图 31 - 16 ,将矩形 ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至 ① 位置,继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至 ② 位置,以此类推,这样连续旋转 2 017 次.若 AB = 4 , AD = 3 ,则顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为 (     ) A . 2 017π B . 2 034π C . 3 024π D . 3 026π 图 31 - 16 D 图 31 - 17 A 2 . [2016· 烟台 ] 如图 31 - 18 , C 为半圆内一点, O 为圆心,直径 AB 长为 2 cm , ∠ BOC = 60° ,∠ BCO = 90° ,将 △ BOC 绕圆心 O 逆时针旋转至△ B ′ OC ′ ,点 C ′ 在 OA 上,则边 BC 扫过区域 ( 图中阴影 部分 ) 的面积为 ______cm 2 . 图 31 - 18 图 31 - 19 4 .如图 31 - 20 ,半径为 5 的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线 b ,然后把半圆沿直线 b 进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线 b 重合为止,则圆心 O 运动路径的长度等于 ______ . 图 31 - 20 5 π 变式跟进 4 答图 必明 2 易错点 2 . (1) 圆锥有无数条母线,圆锥的母线长不等于圆锥的高; (2) 圆锥的母线长为侧面展开后所得扇形的半径,注意与圆锥底面半径区分开. “圆锥底面圆半径 ” 不同于 “ 展开图扇形的半径 ” 已知圆锥的侧面展开图的圆心角是 180° ,底面积为 15 cm 2 , 则圆锥的侧面积为 ________ . 【 错因 】 把圆锥底面圆的半径当成展开图的扇形半径,混淆了 对应关系. 【 点悟 】  圆锥的侧面积等于展开后扇形的面积,扇形的半径 为圆锥的母线长,弧长为圆锥的底面圆的周长.