2021年中考数学专题复习 专题45 待定系数法（学生版） 8页

专题 45 待定系数法 1.待定系数法的含义 一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。 然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数， 或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 2. 待定系数法的应用 (1)分解因式 待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若 干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原 式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。在初中竞赛 中经常出现。 a.确定所求问题含待定系数的解析式。 b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。 c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 (2)求函数解析式 初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设 y=kx， y=k/x，y=kx+b 的形式(其中 k、b 为待定系数，且 k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成 y=ax2+bx+c(a、b、c 为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h 为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2 为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出 h、k、a、c、b、x1、x2 等待定系数．一般步骤如下： a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数； b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。 c.解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式。 (3)解方程 例如：已知一元二次方程的两根为 x1、x2，求二次项系数为 1 的一元二次方程时，可设该方程为 x2+mx+n=0， 则有(x－x1)(x－x2)=0，即 x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得 m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为： x2－(x1+x2)x+x1x2=0． (4)分式展开 首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未 知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。也可以用代值法求系数。 【例题 1】(2020•上海)已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( ) A．y B．y C．y D．y 【对点练习】(2020 乌鲁木齐模拟)如图，在直角坐标系 xOy 中，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴， = ．∠AOB 的角平分线与 OA 的垂直平分线交于点 C，与 AB 交于点 D，反比例函数 y= 的图象过点 C．当以 CD 为边的正 方形的面积为 时，k 的值是( ) A． 2 B． 3 C． 5 D． 7 【例题 2】(2020•遂宁)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为(0，2)，点 B 的坐标为(1，0)，连 结 AB，以 AB 为边在第一象限内作正方形 ABCD，直线 BD 交双曲线 y═ (k≠0)于 D、E 两点，连结 CE，交 x 轴于点 F． (1)求双曲线 y (k≠0)和直线 DE 的解析式． (2)求△DEC 的面积． 【对点练习】(2019 湖北黄冈)如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(﹣2，2)，B(﹣2，0)，C(0，2)， D(2，0)四点，动点 M 以每秒 个单位长度的速度沿 B→C→D 运动(M 不与点 B、点 D 重合)，设运动时间为 t(秒)． (1)求经过 A、C、D 三点的抛物线的解析式； (2)点 P 在(1)中的抛物线上，当 M 为 BC 的中点时，若△PAM≌△PBM，求点 P 的坐标； (3)当 M 在 CD 上运动时，如图②．过点 M 作 MF⊥x 轴，垂足为 F，ME⊥AB，垂足为 E．设矩形 MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值； (4)点 Q 为 x 轴上一点，直线 AQ 与直线 BC 交于点 H，与 y 轴交于点 K．是否存在点 Q，使得△HOK 为等腰三 角形？若存在，直接写出符合条件的所有 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． 一、选择题 1.(2020•乐山)直线 y＝kx+b 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式 kx+b≤2 的解集是( ) A．x≤﹣2 B．x≤﹣4 C．x≥﹣2 D．x≥﹣4 2．(2019 桂林)如图，四边形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(﹣4，0)，B(﹣2，﹣1)，C(3，0)，D(0，3)，当过 点 B 的直线 l 将四边形 ABCD 分成面积相等的两部分时，直线 l 所表示的函数表达式为( ) A．y＝ x+ B．y＝ x+ C．y＝x+1 D．y＝ x+ 3．明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该 绿化组完成的绿化面积 S(单位：m2)与工作时间 t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作 效率前每小时完成的绿化面积是( ) A．300m2 B．150m2 C．330m2 D．450m2 4. 已知关于 x 的分式方程 ＝1 的解是非正数，则 a 的取值范围是( ) A.a≤－1 B.a≤－1，且 a≠－2 C.a≤1，且 a≠－2 D.a≤1 5.(2019•浙江绍兴)若三点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一直线上，则 a 的值等于( ) A．﹣1 B．0 C．3 D．4 二、填空题 6.(2020 年浙江金华模拟)如图，在平面直角坐标系中，菱形 OBCD 的边 OB 在 x 轴正半轴上，反比例函数 ky (x 0)x   的图象经过该菱形对角线的交点 A，且与边 BC 交于点 F. 若点 D 的坐标为(6，8)，则点 F 的坐 标是 7.若一个二次函数的二次项系数为－1，且图象的顶点坐标为(0,－3).则这个二次函数的表达式为________． 三、解答题 8．(2020•苏州)某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润 y(元)与销售量 x(kg)之间函数关系的图象如 图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题： (1)截止到 6 月 9 日，该商店销售这种水果一共获利多少元？ (2)求图象中线段 BC 所在直线对应的函数表达式． 日期 销售记录 6 月 1 日 库存 600kg，成本价 8 元/kg，售价 10 元/kg(除了促销降价，其他时间售价 保持不变)． 6 月 9 日 从 6 月 1 日至今，一共售出 200kg． 6 月 10、11 日 这两天以成本价促销，之后售价恢复到 10 元/kg． 6 月 12 日 补充进货 200kg，成本价 8.5 元/kg． 6 月 30 日 800kg 水果全部售完，一共获利 1200 元． 9．(2020•陕西)某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的 温室中生长，长到大约 20cm 时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60 天内，这种瓜苗 生长的高度 y(cm)与生长时间 x(天)之间的关系大致如图所示． (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)当这种瓜苗长到大约 80cm 时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始 开花结果？ 10．(2020•河北)表格中的两组对应值满足一次函数 y＝kx+b，现画出了它的图象为直线 1，如图．而某同 学为观察 k，b 对图象的影响，将上面函数中的 k 与 b 交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线 l'． x ﹣1 0 y ﹣2 1 (1)求直线 1 的解析式； (2)请在图上画出直线 l'(不要求列表计算)，并求直线 l'被直线 l 和 y 轴所截线段的长； (3)设直线 y＝a 与直线 1，l′及 y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出 a 的值． 11.已知： ，求 A、B、C 的值。 12．〔2020 上海模拟〕某工厂生产一种产品，当生产数量至少为 10 吨，但不超过 50 吨时，每吨的成本 y〔万 元/吨〕与生产数量 x〔吨〕的函数关系式如下图、 〔1〕求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； 〔2〕当生产这种产品的总成本为 280 万元时，求该产品的生产数量。 〔注：总成本=每吨的成本×生产数量〕 13．(2019 辽宁抚顺)如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与直线 y＝mx+n 交于 B(0，4)，C(3，1)两点．直线 y＝mx+n 与 x 轴交于点 A，P 为直线 AB 上方的抛物线上一点，连接 PB，PO． (1)求抛物线的解析式 (2)如图 1，连接 PC，OC，△OPC 和△OPB 面积之比为 1：2，求点 P 的坐标； (3)如图 2，PB 交抛物线对称轴于 M，PO 交 AB 于 N，连接 MN，PA，当 MN∥PA 时，直接写出点 P 的坐标． 14．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2﹣2mx+m﹣1(m＞0)与 x 轴的交点为 A，B． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当 m=1 时，求线段 AB 上整点的个数； ②若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界)恰有 6 个整点，结合函数的图象， 求 m 的取值范围．