九年级上册青岛版数学课件2-1锐角三角比 38页

2.1锐角三角比 1.认识锐角的正弦、余弦、正切. 2.理解直角三角形的边角关系. 3.学会运用直角三角形中两边之比求sin A,cos A,tan A 的值,并用锐角三角比进行相关计算. 学习目标 生活中的梯子 梯子是我们日常生活中常见的物体. 情境导入 你会比较两个梯子哪个更陡吗？ 你有哪些办法？ w如图,我们知道：当Rt△ABC中的一个 锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随 之确定.此时,其他边之间的比值也确定 吗? w结论: 在Rt△ABC中,如果锐 角A确定时,那么∠A的 对边与斜边的比,邻边 与斜边的比也随之确定. 想一想 A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ 斜 边 w在Rt△ABC中,锐角A对边与斜边的比叫 作∠A的正弦,记作sin A,即 . w在Rt△ABC中,锐角A邻边与斜边的比叫 作∠A的余弦,记作cos A,即 . 感悟新知 A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ 斜 边 cos A= ∠A的邻边 斜边 sin A=∠A的对边 斜边 正弦、余弦的定义 w结论:梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关: wsin A越大,梯子越陡;cos A越小,梯子越陡. 如图,梯子的倾斜 程度与sin A和cos A有关吗? A C2 C1 B2 B1 例 如图，在Rt△ABC，∠B=90°，AC=200，sin A=0.6. 求BC的长. w老师期望: 请你求出cos A, tan A, sin C, cos C和tan C 的值.你敢应战吗? 200 A C B ┌ ?怎样 解答 例题探究 ┐ A B C . 13 12cos A例2 如图，在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=10, 求AB, sin B. . 6 65 12 1310   AB . 13 12 6 65 10sin  AB ACB 老师期望: 注意到这里cos A=sin B,其中有没有什么内在 的关系? . 13 1210cos:  ABAB ACA解 ∵ 如图，小明想通过测量AC1及B1C1，算出他们的比， 来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量 AC2及B2C2，算出他们的比，也能说明梯子的倾斜 程度.你同意小亮的看法吗？ A C2 C1 B2 B1 正切 C2 (1)直角三角形A B1C1和直角 三角形A B2C2有什么关系? (2) 和 有什么关系? 1 11 AC CB (3)如果改变B2在梯子上的位 置呢?由此你能得出什么结论? 由感性到理性 2 22 AC CB 2 C1 A B2 B1 (1)Rt△ A B1C1和Rt△ A B2C2有什么关系? 相似 (2) ? 2 22 1 11 有什么关系和 AC CB AC CB A C2 C1 B2 B1 . 2 22 1 11 AC CB AC CB  ∵∠A=∠A ，∠AC1B1=∠AC2B2， ∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2. A C2 C1 B2 B1 在直角三角形中，若一个锐角确定, 那么这个角对边与邻边的比值也是确定 的. 归 纳 1.sin A, cos A, tan A是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sin A, cos A, tan A是一个完整的符号,表示∠A的 正切,习惯省去“∠”号； 3.sin A, cos A, tan A是一个比值. 注意比的顺序, 且 sin A, cos A, tan A均﹥0,无单位. 4.sin A, cos A, tan A的大小只与∠A的大小有关,而 与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角比相等；两锐角的三角比相等, 则这两个锐角相等. 知识梳理 A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ∠A的对边 ∠A的邻边 tan A ∠A的正切 在Rt△ABC中,如果锐角A确定, 那么∠A的对边与邻边的比随之 确定,这个比叫作 ∠A的正切. 记作:tan A. 读？ 思考 梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？ （1）tan A是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角（注意构造直角三角形）. （2）tan A是一个完整的符号，它表示 ∠A的正切，记号里习惯省去角的符号 “∠”. 注意： （3）tan A是一个比值（直角边之比，注 意比的顺序）；且tan A ﹥0，无单位. （4）tan A的大小只与∠A的大小有关，而 与直角三角形的大小无关. 议一议： 梯子的倾斜程度与tan B有什么关系？ tan B的值越大，梯子越陡，∠B越大. ?怎样解答 A B C (1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾 斜角较大的物体，就说它放得更“陡”． (2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程 度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放 置得越“陡”． 例１ 如图表示两个自动扶梯，哪一个 自动扶梯比较陡？ 乙 甲 13 m 5 m 6 m 8 m 解：甲梯中， tan α= . 乙梯中， tan β＝ . 因为tan β＞tan α，所以乙梯更陡. 12 5 513 5 22      的邻边 的对边   4 3 8 6    的邻边 的对边   例2 在△ABC中，∠C=90°，BC=12 cm， AB=20 cm，求tan A和tan B的值. 20 12 ? 怎样 解答 A B C tan A= tan B= . 解：在△ABC中，∠C＝90°， 所以AC= =16(cm), 2222 1220 BCAB 直角三角形中求锐角正切值的方法： (1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解； (2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利 用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义 求解． 例（桂林中考）如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝ ________． 根据题意得∠BCD＝∠CAB， 所以tan ∠BCD＝tan ∠CAB＝ 解析： 6 3 . 8 4 BC AC = = 3 4 答案： 直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑利 用中间量进行转化，可以是相等的角作为中间量，还 可以利用相似，得到相等的比作为中间量． 1.判断对错: (1)如图1， tan A= 　.　（ 　 ） (2)如图1， tan B = .　（　 ） 图1 错 错 ? 怎样 解答 AC BC BC AC A B C 随堂练习 (４)如图2，tan B=　.　　　 （ ）　　　　　　 图2 (３)如图2，tan A=0.7 m.　　（ 　）错 对 ? 怎样 解答 7 10 A B C10 m 7 m 2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边 同时扩大100倍，tan A的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 C 3.如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC, 你能根据图中所给数据求出tan C吗？ tan C= 4 3 B A C D 4 1.5 4. 在等腰△ABC中，AB=AC=13， BC=10，求tan B. tan B=12/5 13 13 10 D 5 12 B A C 5.如图，∠C=90°，CD⊥AB，则 tan B= . CD BD AC BC AD CD A B C D 6.如图:在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6. 求: sin B,cos B,tan B. w本题没有直角三角形，你怎么办？ w老师提示:过点A作AD⊥BC于D. 55 6 A B C ┌ D . 5 4sin A7.在Rt△ABC中,∠C=90°, BC=20, 求:△ABC的周长. ┐ A B C w提示:分别求出AB,AC. w8.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时 扩大100倍,sin A的值（ ） wA.扩大100倍 B.缩小100倍 wC.不变 D.不能确定 w9.已知∠A,∠B为锐角 w(1)若∠A=∠B,则sin A sin B; w(2)若sin A=sin B,则∠A ∠B. A B C ┌ C = = w10.如图, ∠C=90°，CD⊥AB. sin B= —— = —— = —— . w11.在上图中,若BD=6,CD=12.求cos A的值. w老师提示: 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得？ ┍ ┌ A C BD ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CD BC AC AB AD AC w12.如图,根据图示数据求∠A的三角比. w老师提示: 求锐角三角比时,勾股定理的运用是很重要的. ┌ A C B 3 4 .5AB , 5 3sin  AB BCA , 5 4cos  AB ACA . 4 3tan  AC BCA ∵在Rt△ABC中，∵AC=4，BC=3，