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- 2021-11-10 发布
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湖南省怀化市 2020 年中考数学真题
一、选择题(每小题的四个选项中只有一项是正确的,请将正确选项的代号填涂在答题卡的
相应位置上)
1.下列数中,是无理数的是( )
A. 3 B. 0 C.
1
3
D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式求解即可.
【详解】解:-3,0,
1
3
是有理数, 7 是无理数.
故选:D.
【点睛】本题考查了无理数的知识,解答本题的关键是掌握无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无
限不循环小数,③含有π的数.
2.下列运算正确的是( )
A. 2 3 5a a a B. 6 2 4a a a C. 3 3 3(2 ) 6ab a b D. 2 3 6a a a
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方与同底数幂的乘法法则计算各项,进而可得
答案.
【详解】解:A、 2a 与 3a 不是同类项,不能合并,所以本选项计算错误,不符合题意;
B、 6 2 4a a a ,所以本选项计算正确,符合题意;
C、 3 3 3 3 32 8 6ab a b a b ,所以本选项计算错误,不符合题意;
D、 2 3 5 6a a a a ,所以本选项计算错误,不符合题意.
故选:B.
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法和乘法以及积的乘方等运算法则,属于基本题型,熟练
掌握上述基础知识是关键.
3.《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著.其中 2016年光明日报出版社
出版的《红楼梦》有 350万字,则“350万”用科学记数法表示为( )
A. 63.5 10 B. 70.35 10 C. 23.5 10 D. 4350 10
【答案】A
【解析】
【分析】
科学记数法的形式是: 10 na ,其中1 a <10, n为整数.所以 3.5a , n取决于原数小数点的移动
位数与移动方向,n是小数点的移动位数,往左移动,n为正整数,往右移动,n为负整数。本题小数点往
左移动到3的后面,所以 6.n
【详解】解:350万 4 2 4 6350 10 3.5 10 10 3.5 10 .
故选 .A
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数,关键是在理解科学记数法的基础上确定
好 ,a n的值,同时掌握小数点移动对一个数的影响.
4. 若一个多边形的内角和为 1080°,则这个多边形的边数为【 】
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
多边形内角和定理.
【分析】设这个多边形的边数为 n,由 n边形的内角和等于 180°(n﹣2),即可得方程 180(n﹣2)=1080,
解此方程即可求得答案:n=8.故选 C.
5.如图,已知直线 a,b被直线 c所截,且 / /a b,若 40 ,则 的度数为( )
A. 140 B. 50 C. 60 D. 40
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据对顶角相等可得∠1的度数,再根据平行线的性质可得 的度数.
【详解】解:∵ =40°,
∴∠1= =40°,
∵a∥b,
∴ =∠1=40°,
故选:D.
【点睛】此题主要考查了对顶角相等和平行线的性质,关键是掌握两直线平行,同位角相等.
6.小明到某公司应聘,他想了解自己入职后的工资情况,他需要关注该公司所有员工工资的( )
A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,结合该公司所有员工工资的情况,从统计量的角度分析可得答案.
【详解】解:根据题意,小明到某公司应聘,了解这家公司的员工的工资情况,就要全面的了解中间员工
的工资水平, 故最应该关注的数据是中位数,
故选:B.
【点睛】本题考查的是平均数,众数,中位数,方差的含义,以及在实际情境中统计意义,掌握以上知识
是解题的关键.
7.在 Rt ABC 中, 90B , AD平分 BAC ,交 BC于点D,DE AC ,垂足为点 E,若 3BD ,
则DE的长为( )
A. 3 B.
3
2
C. 2 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
证明△ABD≌△AED即可得出 DE的长.
【详解】∵DE⊥AC,
∴∠AED=∠B=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠EAD,
又∵AD=AD,
∴△ABD≌△AED,
∴DE=BE=3,
故选:A.
【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质,角平分线的性质,掌握全等三角形的判定定理是解题关键.
8.已知一元二次方程 2 4 0x kx 有两个相等的实数根,则 k的值为( )
A. 4k B. 4k C. 4k D. 2k
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得方程的判别式△=0,进而可得关于 k的方程,解方程即得答案.
【详解】解:由题意,得: 2 16 0k ,解得: 4k .
故选:C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式,属于基础题型,熟知一元二次方程的根的判别式与方程
根的个数的关系是解题关键.
9.在矩形 ABCD中, AC、 BD相交于点O,若 AOB 的面积为 2,则矩形 ABCD的面积为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得到 OA=OB=OC=OD,推出 2ADO BCO CDO ABOS S S S ,即可求出矩形 ABCD 的
面积.
【详解】∵四边形 ABCD是矩形,对角线 AC、 BD相交于点O,
∴AC=BD,且 OA=OB=OC=OD,
∴ 2ADO BCO CDO ABOS S S S ,
∴矩形 ABCD的面积为 4 8ABOS ,
故选:C.
【点睛】此题考查矩形的性质:矩形的对角线相等,且互相平分,由此可以将矩形的;面积四等分,由此
可以解决问题,熟记矩形的性质定理是解题的关键.
10.在同一平面直角坐标系中,一次函数 1 1y k x b 与反比例函数 2
2 ( 0)ky x
x
的图像如图所示、则当
1 2y y 时,自变量 x的取值范围为( )
A. 1x B. 3x C. 0 1x D. 1 3x
【答案】D
【解析】
【分析】
观察图像得到两个交点的横坐标,再观察一次函数函数图像在反比例函数图像上方的区段,从而可得答案.
【详解】解:由图像可得:两个交点的横坐标分别是:1,3,
所以:当 1 2y y 时,
1 3x ,
故选 D.
【点睛】本题考查的是利用一次函数图像与反比例函数图像解不等式,掌握数型结合的方法是解题的关键.
二、填空题(请将答案直接填写在答题卡的相应位置上)
11.代数式
1
1x
有意义,则 x的取值范围是__.
【答案】x>1
【解析】
【分析】
根据被开方式大于零列式解答即可.
【详解】解:由题意得:x﹣1>0,
解得:x>1,
故答案为 x>1.
【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围,代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考
虑:①当代数式是整式时,字母可取全体实数;②当代数式是分式时,考虑分式的分母不能为 0;③当代数
式是二次根式时,被开方数为非负数.
12.若因式分解: 3x x __________.
【答案】 1 1x x x
【解析】
【分析】
应用提取公因式法,公因式 x,再运用平方差公式,即可得解.
【详解】解: 3 2 1 1 1x x x x x x x
【点睛】此题主要考查运用提公因式进行因式分解,平方差公式的运用,熟练掌握即可解题.
13.某校招聘教师,其中一名教师的笔试成绩是 80分,面试成绩是 60分,综合成绩笔试占 60%,面试占 40%,
则该教师的综合成绩为_________分.
【答案】72
【解析】
【分析】
根据综合成绩笔试占 60%,面试占 40%,即综合成绩等于笔试成绩乘以 60%,加上面试成绩乘以 40%,即
可求解.
【详解】解:根据题意知,该名老师的综合成绩为80 60% 60 40%=72 (分)
故答案为:72.
【点睛】本题考查加权平均数及其计算,是中考的常考知识点,熟练掌握其计算方法是解题的关键.
14.如图,在 ABC 和 ADC 中, AB AD , BC DC , 130B ,则 D ________º.
【答案】130
【解析】
【分析】
证明△ABC≌△ADC即可.
【详解】∵ AB AD ,BC DC ,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠D=∠B=130°,
故答案为:130.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,掌握判定定理是解题关键.
15.如图是一个几何体的三视图,根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是________(结果保留 ).
【答案】24π cm²
【解析】
【分析】
根据三视图确定该几何体是圆柱体,再计算圆柱体的侧面积.
【详解】解:先由三视图确定该几何体是圆柱体,底面半径是 4÷2=2cm,高是 6cm,
圆柱的侧面展开图是一个长方形,长方形的长是圆柱的底面周长,长方形的宽是圆柱的高,
且底面周长为:2π×2=4π(cm),
∴这个圆柱的侧面积是 4π×6=24π(cm²).
故答案为:24π cm².
【点睛】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积,关键是根据三视图确定该几何体是圆
柱体.
16.如图, 1 1OB A△ , 1 2 2A B A△ , 2 3 3A B A△ ,…, 1n n nA B A△ ,都是一边在 x轴上的等边三角形,点 1B ,
2B , 3B ,…, nB 都在反比例函数
3 ( 0)y x
x
的图象上,点 1A, 2A , 3A ,…, nA ,都在 x轴上,则 nA
的坐标为________.
【答案】 2 ,0n
【解析】
【分析】
如图,过点 B1作 B1C⊥x轴于点 C,过点 B2作 B2D⊥x轴于点 D,过点 B3作 B3E⊥x轴于点 E,先在△OCB1
中,表示出 OC和 B1C的长度,表示出 B1的坐标,代入反比例函数,求出 OC的长度和 OA1的长度,表示
出 A1的坐标,同理可求得 A2、A3的坐标,即可发现一般规律.
【详解】如图,过点 B1作 B1C⊥x轴于点 C,过点 B2作 B2D⊥x轴于点 D,过点 B3作 B3E⊥x轴于点 E,
∵△OA1B1为等边三角形,
∴∠B1OC=60°,
∴ 1
1
B Ctan B OC= = 3
OC
∠ ,B1C= 3 OC,
设 OC的长度为 x,则 B1的坐标为( , 3x x),代入函数关系式可得: 23 3x ,
解得,x=1或 x=-1(舍去),
∴OA1=2OC=2,
∴A1(2,0)
设 A1D的长度为 y,同理,B2D为 3 y,B2的坐标表示为 2 , 3y y ,
代入函数关系式可得 2 3 3y y ,
解得:y= 2 1 或 y= 2 1 (舍去)
∴A1D= 2 1 ,A1A2= 2 2 2 ,OA2= 2 2 2 2 2 2
∴A2(2 2,0)
设 A2E的长度为 z,同理,B3E为 3 z,B3的坐标表示为 2 2 , 3z z ,
代入函数关系式可得 2 2 3 3z z ,
解得:z= 3 2 或 z= 3 2 (舍去)
∴A2E= 3 2 ,A2A3=2 3 2 2 ,OA3= 2 2 2 3 2 2 2 3
∴A3(2 3,0),
综上可得:An(2 n,0),
故答案为: 2 ,0n .
【点睛】本题考查图形类规律探索、反比例函数的性质、等边三角形的性质、求解一元二次方程和解直角
三角形,灵活运用各类知识求出 A1、A2、A3的坐标是解题的关键.
三、解答题
17.计算: 28 2 2cos45 | 2 2 |
【答案】
9 .
4
【解析】
【分析】
按照公式
1 ( 0)p
pa a
a
、特殊角的三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号进行运算,最后计算加减
即可.
【详解】解:原式=
2
1 22 2+ 2 2 2
2 2
12 2+ 2 2 2
4
1 2
4
9
4
.
故答案为
9 .
4
【点睛】本题主要考查实数的运算,解题的关键是掌握零指数幂、负指数幂公式、熟记特殊锐角三角函数
值及二次根式与绝对值的性质等.
18.先化简,再求值: 2
1 1 2
1 1 1
x
x x x
,然后从 1 ,0,1中选择适当的数代入求值.
【答案】
2
2x+
,1.
【解析】
【分析】
根据分式的运算法则进行运算求解,最后代入 0x 求值即可.
【详解】原式
1 1 2
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x
x x x x x x
1 1 ( 1)( 1)
( 1)( 1) 2
x x x x
x x x
2 ( 1)( 1)
( 1)( 1) 2
x x
x x x
2
2x
.
∵x+1≠0且 x-1≠0且 x+2≠0,
∴x≠-1且 x≠1且 x≠-2,
当 0x 时,分母不为 0,代入:
原式
2 =1
0 2
.
【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算,注意运算顺序为:先算乘除,再算加减,有括号先算括号内
的;另外本题选择合适的数时要注意选择的数不能使分母为 0.
19.为了丰富学生们的课余生活,学校准备开展第二课堂,有四类课程可供选择,分别是“A.书画类、B.文
艺类、C.社会实践类、D.体育类”.现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查,并根据调查结果
绘制了两幅不完整的统计图,请你根据图表信息回答下列问题:
(1)本次被抽查的学生共有_____________名,扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数为
___________度;
(2)请你将条形统计图补全;
(3)若该校七年级共有 600名学生,请根据上述调查结果估计该校学生选择“C.社会实践类”的学生共有
多少名?
(4)本次调查中抽中了七(1)班王芳和小颖两名学生,请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目
的概率.
【答案】(1)50,72;(2)见解析;(3)96名;(4)
1
4
.
【解析】
【分析】
(1)用条形统计图中 D类的人数除以扇形统计图中 D类所占百分比即可求出被抽查的总人数,用条形统
计图中 A类的人数除以总人数再乘以 360°即可求出扇形统计图中 A类所占扇形的圆心角的度数;
(2)用总人数减去其它三类人数即得 B类人数,进而可补全条形统计图;
(3)用 C类人数除以总人数再乘以 600即可求出结果;
(4)先利用列表法求出所有等可能的结果数,再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数,然后
根据概率公式计算即可.
【详解】解:(1)本次被抽查的学生共有:20÷40%=50名,扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的
度数为
10 360 72
50
;
故答案为:50,72;
(2)B类人数是:50-10-8-20=12名,补全条形统计图如图所示:
(3)
8 600 96
50
名,
答:估计该校学生选择“C.社会实践类”的学生共有 96名;
(4)所有可能的情况如下表所示:
由表格可得:共有 16种等可能的结果,其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有 4种,
∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率
4 1
16 4
.
【点睛】本题是统计与概率类综合题,主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体和求两次
事件的概率等知识,属于常考题型,正确理解题意、熟练掌握上述基本知识是解题的关键.
20.如图,某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度,在距离古树 A点处测得古树顶端 D的仰角为 30°,然后
向古树底端 C步行 20米到达点 B处,测得古树顶端 D的仰角为 45°,且点 A、B、C在同一直线上求古树
CD的高度.(已知: 2 1.414, 3 1.732 ,结果保留整数)
【答案】27米
【解析】
【分析】
设 CB=CD=x,根据 tan30°=
CD
CA
即可得出答案.
【详解】解:由题意可知,AB=20,∠DAB=30°,∠C=90°,∠DBC=45°,
∵△BCD是等腰直角三角形,
∴设 CB=CD=x,
tan30°=
20
CD CD x
CA AB CB x
= 3
3
,
解得 x=10 3 +10≈10×1.732+10=27.32≈27,
∴CD=27,
答:CD的高度为 27米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用,等腰三角形的性质,构造直角三角形是解题关键.
21.定义:对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.
(1)下面四边形是垂等四边形的是____________(填序号)
①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形
(2)图形判定:如图 1,在四边形 ABCD中, AD∥ BC, AC BD ,过点 D作 BD垂线交 BC的延长
线于点 E,且 45DBC ,证明:四边形 ABCD是垂等四边形.
(3)由菱形面积公式易知性质:垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用:在图 2中,面积为
24的垂等四边形 ABCD内接于⊙O中, 60BCD .求⊙O的半径.
【答案】(1)④;(2)证明过程见解析;③4
【解析】
【分析】
(1)根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可;
(2)根据已知条件可证明四边形 ACED是平行四边形,即可得到 AC=DE,再根据等腰直角三角形的性质
即可得到结果;
(3)过点 O作OE BD ,根据面积公式可求得 BD的长,根据垂径定理即可得到答案.
【详解】(1)①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等,故不是;②矩形对角线相等但不垂直;③
菱形的对角线互相垂直但不相等;④正方形的对角线互相垂直且相等,故正方形是垂等四边形;
(2)∵ AC BD , ED BD ,
∴AC∥DE,
又∵ AD∥ BC,
∴四边形 ADEC是平行四边形,
∴AC=DE,
又∵ 45DBC ,
∴△BDE是等腰直角三角形,
∴BD=DE,
∴BD=AC,
∴四边形 ABCD是垂等四边形.
(3)如图,过点 O作OE BD ,
∵四边形 ABCD是垂等四边形,
∴AC=BD,
又∵垂等四边形的面积是 24,,根据垂等四边形的面积计算方法得:
4 3AC BD ,
又∵ 60BCD ,
∴ 60DOE ,
设半径为 r,根据垂径定理可得:
在△ODE中,OD=r,DE= 2 3,
∴
2 3
4
sin 60 3
2
DE
r
,
∴ O 的半径为 4.
【点睛】本题主要考查了四边形性质与圆的垂径定理应用,准确理解新定义的垂等四边形的性质是解题的
关键.
22.某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共 20台,已知甲型平板电脑进价 1600元,售价 2000元;
乙型平板电脑进价为 2500元,售价 3000元.
(1)设该商店购进甲型平板电脑 x台,请写出全部售出后该商店获利 y与 x之间函数表达式.
(2)若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过 39200元,全部售出所获利润不低于 8500元,请设计出
所有采购方案,并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润.
【答案】(1)y=-100x+10000;(2)共有四种采购方案:①甲型电脑 12台,乙型电脑 8台,②甲型电脑 13
台,乙型电脑 7台,③甲型电脑 14台,乙型电脑 6台,④甲型电脑 15台,乙型电脑 5台,采购甲型电脑 12
台,乙型电脑 8台时商店获得最大利润,最大利润是 8800元.
【解析】
【分析】
(1)根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可;
(2)根据题意列不等式组,求出解集,根据解集即可得到四种采购方案,由(1)的函数关系式得到当 x取最
小值时,y有最大值,将 x=12代入函数解析式求出结果即可.
【详解】(1)由题意得:y=(2000-1600)x+(3000-2500)(20-x)=-100x+10000,
∴全部售出后该商店获利 y与 x之间函数表达式为 y=-100x+10000;
(2)由题意得:
1600 2500(20 ) 39200
400 500(20 ) 8500
x x
x x
,
解得12 15x ,
∵x为正整数,
∴x=12、13、14、15,
共有四种采购方案:
①甲型电脑 12台,乙型电脑 8台,
②甲型电脑 13台,乙型电脑 7台,
③甲型电脑 14台,乙型电脑 6台,
④甲型电脑 15台,乙型电脑 5台,
∵y=-100x+10000,且-100<0,
∴y随 x的增大而减小,
∴当 x取最小值时,y有最大值,
即 x=12时,y最大值= 100 12 10000 8800 ,
∴采购甲型电脑 12台,乙型电脑 8台时商店获得最大利润,最大利润是 8800元.
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用,不等式组的应用,方案问题的解决方法,正确理解题意,根据
题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键.
23.如图,在⊙O中,AB为直径,点 C为圆上一点,延长 AB到点 D,使 CD=CA,且 30D .
(1)求证:CD是⊙O的切线.
(2)分别过 A、B两点作直线 CD的垂线,垂足分别为 E、F两点,过 C点作 AB的垂线,垂足为点 G.求
证: 2CG AE BF .
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)连接 OC,∠CAD=∠D=30°,由 OC=OA,进而得到∠OCA=∠CAD=30°,由三角形外角定理得到
∠COD=∠A+∠OCA=60°,在△OCD 中由内角和定理可知∠OCD=90°即可证明;
(2)证明 AC是∠EAG的角平分线,CB是∠FCG的角平分线,得到 CE=CG,CF=CG,再证明△AEC∽△CFB,
对应线段成比例即可求解.
【详解】解:(1)连接 OC,如下图所示:
∵CA=CD,且∠D=30°,
∴ ∠CAD=∠D=30°,
∵ OA=OC,
∴ ∠CAD=∠ACO=30°,
∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°,
∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°,
∴ OC⊥CD,
∴ CD是⊙O的切线.
(2)连接 BC,如下图所示:
∵∠COB=60°,且 OC=OB,
∴△OCB为等边三角形,∠CBG=60°,
又 CG⊥AD,∴∠CGB=90°,
∴∠GCB=∠CGB-∠CBG=30°,
又∠GCD=60°,
∴CB是∠GCD的角平分线,且 BF⊥CD,BG⊥CG,
∴BF=BG,
又 BC=BC,
∴△BCG≌△BCF,
∴CF=CG.
∵∠D=30°,AE⊥ED,∠E=90°,
∴∠EAD=60°,
又∠CAD=30°,
∴AC是∠EAG的角平分线,且 CE⊥AE,CG⊥AB
∴CE=CG,
∵∠E=∠BFC=90°,∠EAC=30°=∠BCF,
∴△AEC∽△CFB,
∴
AE CE
CF BF
,即 AE BF CF CE,
又 , CE CG CF CG ,
∴ 2 AE BF CG .
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质等,属于中考常考题
型,熟练掌握切线性质、角平分线性质是解决此题的关键.
24.如图所示,抛物线 2 2 3y x x 与 x轴相交于 A、B两点,与 y轴相交于点 C,点M为抛物线的顶点.
(1)求点 C及顶点M的坐标.
(2)若点 N是第四象限内抛物线上的一个动点,连接 BN CN、 求 BCN△ 面积的最大值及此时点 N的坐
标.
(3)若点 D是抛物线对称轴上的动点,点 G是抛物线上的动点,是否存在以点 B、C、D、G为顶点的四
边形是平行四边形.若存在,求出点 G的坐标;若不存在,试说明理由.
(4)直线 CM交 x轴于点 E,若点 P是线段 EM上的一个动点,是否存在以点 P、E、O为顶点的三角形与
ABC 相似.若存在,求出点 P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (0,-3),(1,-4);(2)
27
8
,(
3 15,
2 4
);(3) G点坐标存在,为(2,-3)或(4,5)或(-2,1);(4) P点坐
标存在,为
3 9( , )
4 4
或 ( 1, 2) .
【解析】
【分析】
(1)令抛物线解析式中 x=0即可求出 C点坐标,由公式
24( , )
2 4
b ac b
a a
即可求出顶点M坐标;
(2)如下图所示,过 N点作 x轴的垂线交直线 BC于 Q点,设 N( 2, 2 3 n n n ),求出 BC解析式,进而得
到 Q点坐标,最后根据 = BCN NQC NQBS S S 即可求解;
(3)设 D点坐标为(1,t),G点坐标为( 2, 2 3m m m ),然后分成①DG是对角线;②DB是对角线;③DC是
对角线时三种情况进行讨论即可求解;
(4)连接 AC,由 CE=CB可知∠B=∠E,求出MC的解析式,设 P(x,-x-3),然后根据△PEO相似△ABC,分
成
EO EP
BA BC
和
EO EP
BC BA
讨论即可求解.
【详解】解:(1)令 2 2 3y x x 中 x=0,此时 y=-3,故 C点坐标为(0,-3),
又二次函数的顶点坐标为
24( , )
2 4
b ac b
a a
,代入数据解得M点坐标为 (1, 4) ,
故答案为:C点坐标为(0,-3), M点坐标为(1,-4);
(2) 过 N点作 x轴的垂线交直线 BC于 Q点,连接 BN,CN,如下图所示:
令 2 2 3y x x 中 y=0,解得 B(3,0),A(-1,0),
设直线 BC的解析式为: y ax b ,代入 C(0,-3),B(3,0),
∴
3
0 3
b
a b
,解得
1
3
a
b
,即直线 BC的解析式为: 3y x ,
设 N点坐标为( 2, 2 3 n n n ),故 Q点坐标为 ( , 3)n n ,其中0 3n ,
则
1 1= = ( ) ( )
2 2 BCN NQC NQB Q C B QS S S QN x x QN x x
1= ( + )
2
Q C B QQN x x x x
1= ( )
2
B CQN x x ,其中 , ,Q C Bx x x 分别表示 Q,C,B三点的横坐标,
且 2 2( 3) ( 2 3) 3 QN n n n n n , 3 B Cx x ,
故
2 2 21 3 9 3 3 27= ( 3 ) 3 ( )
2 2 2 2 2 8 BCNS n n n n n ,其中0 3n ,
当
3
2
n 时, BCNS 有最大值为
27
8
,
此时 N的坐标为(
3 15,
2 4
),
故答案为: BCNS 有最大值为
27
8
,N的坐标为(
3 15,
2 4
);
(3) 设 D点坐标为(1,t),G点坐标为( 2, 2 3m m m ),且 B(3,0),C(0,-3)
分类讨论:
情况①:当 DG为对角线时,则另一对角线是 BC,由中点坐标公式可知:
线段 DG的中点坐标为 ( , )
2 2
D G D Gx x y y
,即
21 2 3( , )
2 2
m t m m
,
线段 BC的中点坐标为 ( , )
2 2
B C B Cx x y y
,即
3 0 0 3( , )
2 2
,
此时 DG的中点与 BC的中点为同一个点,
故 2
1+ 3
2 2
2 3 3
2 2
m
t m m
,解得
2
0
m
t ,
检验此时四边形 DCGB为平行四边形,此时 G坐标为(2,-3);
情况②:当 DB为对角线时,则另一对角线是 GC,由中点坐标公式可知:
线段 DB的中点坐标为 ( , )
2 2
D B D Bx x y y
,即
1 3 0( , )
2 2
t
,
线段 GC的中点坐标为 ( , )
2 2
G C G Cx x y y
,即
20 2 3 3( , )
2 2
m m m
,
此时 DB的中点与 GC的中点为同一个点,
故 2
1+3 0
2 2
0 2 3 3
2 2
m
t m m
,解得
4
2
m
t ,
检验此时四边形 DCBG为平行四边形,此时 G坐标为(4,5);
情况③:当 DC为对角线时,则另一对角线是 GB,由中点坐标公式可知:
线段 DC的中点坐标为 ( , )
2 2
D C D Cx x y y
,即
1 0 3( , )
2 2
t
,
线段 GB的中点坐标为 ( , )
2 2
G B G Bx x y y
,即
23 2 3 0( , )
2 2
m m m
,
此时 DB的中点与 GC的中点为同一个点,
故 2
1+0 3
2 2
3 2 3 0
2 2
m
t m m
,解得
2
8
m
t ,
检验此时四边形 DGCB为平行四边形,此时 G坐标为(-2,1);
综上所述,G点坐标存在,为(2,-3)或(4,5)或(-2,1);
(4) 连接 AC,OP,如下图所示,
设MC的解析式为:y=kx+m,代入 C(0,-3),M(1,-4)
即
3
4
m
k m,解得
1
3
k
m
∴MC的解析式为: 3y x ,令 0y ,求得 E点坐标为(-3,0),
∴OE=OB=3,且 OC=OC,
∴CE=CB,即∠B=∠E,
设 P(x,-x-3),又∵P点在线段 EC上,∴-3
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