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- 2021-11-10 发布
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2019年湖南省邵阳市邵阳县中考数学模拟试卷(5月份)
一、选择题.(单选题,本大题有10个小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)(﹣5)2的平方根是( )
A.﹣5 B.±5 C.5 D.25
2.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的有( )
①abc>0;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③2a+b=0; ④当x>0时,y随x的增大而减小.
[来源:Z#xx#k.Com]
A.①② B.②③ C.①④ D.②④
3.(3分)不等式的整数解的个数是( )
A.1 个 B.3 个 C.2 个 D.4 个
4.(3分)如图:AD∥BC,AB=AC,∠ABC=52°,则∠DAC的度数为( )
A.52° B.62° C.64° D.42°
5.(3分)如果两组数据x1,x2、……xn;y1,y2……yn的平均数分别为和,那么新的一组数据2x1+y1,2x2+y2……2xn+yn的平均数是( )
A.2 B.2 C.2+ D.
6.(3分)抛物线y=2x2﹣4x+c经过点(2,﹣3),则C的值为( )[来源:学。科。网]
A.﹣1 B.2 C.﹣3 D.﹣2
7.(3分)如图:将▱ABCD的对角线的交点与直角坐标系的原点重合,且点B(,﹣1)和C(2,1)所分别对应的D点和A点的坐标是( )
A.(﹣,1)和(﹣2,﹣1) B.(2,﹣1)和(﹣,﹣1)
C.(﹣2,1)和(,1) D.(﹣1,﹣2)和(﹣1,)
8.(3分)已知⊙O的直径AB=8cm,点C在⊙O上,且∠BOC=60°,则AC的长为( )
A.4cm B.4cm C.5cm D.2.5cm
9.(3分)已知:α为锐角,且=1,则tanα的值等于( )
A.﹣1 B.2 C.3 D.2.5
10.(3分)在平面直角坐标系中,若点P(m﹣2,m+1)在第二象限,则m的取值范围是( )
A.m<﹣1 B.m>2 C.﹣1<m<2 D.m>﹣1
二、填空题(本大题有8个小题,每小题3分,共24分)
11.(3分)多项式x4﹣7x2+12在实数范围内因式分解为 .
12.(3分)单项式3xm+2ny8与﹣2x2y3m+4n的和仍是单项式,则m+n= .
13.(3分)已知1+3=41+3+5=91+3+5+7=161+3+5+7+9=25,则1+3+5+7+9+…+(2n+1)= (其中n为自然数)
14.(3分)如图:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D点,若AC=2,tan∠BCD=,则AB= .
15.(3分)如图:点A在反比例函数y=的图象上,作AB⊥x轴,垂足为点B,若△AOB的面积为4,则k的值为 .
16.(3分)抛物线y=2x2+1向右平移2个单位长度,得到新的抛物线的表达式为 .
17.(3分)一个扇形的圆心角是120°.它的半径是3cm.则扇形的弧长为 cm.
18.(3分)从编号分别为1到100的100张卡片中任取一张,所得编号是6的倍数的概率为 .
三、解答题(本大题有8个小题,第19-25题每小题8分,第26题10分,共66分)[来源:学科网ZXXK]
19.(8分)先化简再求值:(﹣)÷,其中x=2.
20.(8分)已知:如图,▱ABCD中,AF=CE,EF与对角线BD相交点O,求证:OB=OD.
21.(8分)某公司计划购买A,B两种型号的机器人搬运材料.已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料,且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同.
(1)求A,B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料;
(2)该公司计划采购A,B两种型号的机器人共20台,要求每小时搬运材料不得少于2800kg,则至少购进A型机器人多少台?
22.(8分)某工厂对一批灯泡的质量进行随机抽查,见表:
抽取灯泡数a
40
100
150
500
1000
1500
优等品数b
36
92
145
474
950
1427
优等品频率ba
(1)计算表中的优等品的频率(精确到0.001);
(2)根据抽查的灯泡优等品的频率,估计这批灯泡优等品的概率(精确到0.01).
23.(8分)建造一个面积为130m2的长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,墙长为a米,另三边用竹篱笆围成,如果篱笆总长为33米.
(1)求养鸡场的长与宽各为多少米?
(2)若10≤a<18,题中的解的情况如何?
24.(8分)如图,已知AB是⊙O的直径,过O点作OP⊥AB,交弦AC于点D,交⊙O于点E,且使∠PCA=∠ABC.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若∠P=60°,PC=2,求PE的长.
25.(8分)一艘航母在海上由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70°方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后达到B处,测得小岛C位于它的北偏东37°方向,如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.
(参考数据:sin70°≈0.94;cos70°≈0.34;tan70°≈2.75;sin37°≈0.6;cos37°≈0.80;tan37°≈0.75)
26.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,与y轴交于C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(﹣1,4).
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)过点D作直线DE∥y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合),PA、PB与直线DE分别交于点F、G,当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
2019年湖南省邵阳市邵阳县中考数学模拟试卷(5月份)
参考答案与试题解析
一、选择题.(单选题,本大题有10个小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)(﹣5)2的平方根是( )
A.﹣5 B.±5 C.5 D.25
【分析】根据平方根的定义进行计算即可得解.
【解答】解:∵(﹣5)2=(±5)2,
∴(﹣5)2的平方根是±5.
故选:B.
【点评】本题主要考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
2.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的有( )
①abc>0;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③2a+b=0; ④当x>0时,y随x的增大而减小.
A.①② B.②③ C.①④ D.②④[来源:学+科+网]
【分析】由函数图象可得抛物线开口向下,得到a<0,又对称轴在y轴右侧,可得b>0,根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴,得到c>0,进而得到abc<0,结论①错误;由抛物线与x轴的交点为(3,0)及对称轴为x=1,利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为(﹣1,0),进而得到方程ax2+bx+c=0的两根分别为﹣1和3,结论②正确;由抛物线的对称轴为x=1,利用对称轴公式得到2a+b=0,结论③正确;由抛物线的对称轴为直线x=1,得到对称轴右边y随x的增大而减小,对称轴左边y随x的增大而增大,故x大于0小于1时,y随x的增大而增大,结论④错误.
【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,
∵对称轴在y轴右侧,∴﹣>0,∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴,∴c>0,
∴abc<0,故①错误;
∵抛物线与x轴的一个交点为(3,0),又对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣1,0),
∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1,x2=3,故②正确;
∵对称轴为直线x=1,∴﹣=1,即2a+b=0,故③正确;
∵由函数图象可得:当0<x<1时,y随x的增大而增大;
当x>1时,y随x的增大而减小,故④错误;
故选:B.
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系,以及抛物线与x轴的交点,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),a的符号由抛物线的开口方向决定,c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定,b的符号由a及对称轴的位置决定,抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定,当抛物线开口向上时,对称轴左边y随x的增大而减小,对称轴右边y随x的增大而增大;当抛物线开口向下时,对称轴左边y随x的增大而增大,对称轴右边y随x的增大而减小.此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标.
3.(3分)不等式的整数解的个数是( )
A.1 个 B.3 个 C.2 个 D.4 个
【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,求出不等式组的整数解,即可得出答案.
【解答】解:,
解不等式①得:x>﹣0.5,
解不等式②得:x≤2,
则不等式组的解集为﹣0.5<x≤2,
∴不等式组的整数解为0,1,2,共3个.
故选:B.
【点评】本题考查了解一元一次不等式组,不等式组的整数解的应用,解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集.
4.(3分)如图:AD∥BC,AB=AC,∠ABC=52°,则∠DAC的度数为( )
A.52° B.62° C.64° D.42°
【分析】根据等腰三角形的性质可求出底角∠ACB的度数,然后根据两直线平行,内错角相等解答.
【解答】解:∵AB=AC,∠ABC=52°,
∴∠ACB=52°,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=52°.
故选:A.
【点评】考查了平行线的性质,运用了等腰三角形的性质、平行线的性质.
5.(3分)如果两组数据x1,x2、……xn;y1,y2……yn的平均数分别为和,那么新的一组数据2x1+y1,2x2+y2……2xn+yn的平均数是( )
A.2 B.2 C.2+ D.
【分析】均数的计算方法是求出所有数据的和,然后除以数据的总个数.
【解答】解:由已知,(x1+x2+…+xn)=n,
(y1+y2+…+yn)=n,
新的一组数据2x1+y1,2x2+y2……2xn+yn的平均数为
(2x1+y1,2x2+y2……2xn+yn)÷n
=[2(x1+x2+…+xn)+(y1+y2+…+yn)]÷n
=()÷n
=2+
故选:C.
【点评】本题考查平均数的计算,可以先把它们都加起来,再除
以数据的个数,平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.
6.(3分)抛物线y=2x2﹣4x+c经过点(2,﹣3),则C的值为( )
A.﹣1 B.2 C.﹣3 D.﹣2
【分析】将经过的点的坐标代入抛物线求解即可.
【解答】解:∵抛物线y=2x2﹣4x+c经过点(2,﹣3),
∴2×22﹣4×2+c=﹣3,
解得c=﹣3,
故选:C.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键.
7.(3分)如图:将▱ABCD的对角线的交点与直角坐标系的原点重合,且点B(,﹣1)和C(2,1)所分别对应的D点和A点的坐标是( )
A.(﹣,1)和(﹣2,﹣1) B.(2,﹣1)和(﹣,﹣1)
C.(﹣2,1)和(,1) D.(﹣1,﹣2)和(﹣1,)
【分析】由四边形ABCD对角线的交点与直角坐标系的原点重合,即可得出B、C与D、A分别关于原点对称,进而可求解.
【解答】解:∵B、C与D、A分别关于原点对称,点B与点C的坐标分别是(,﹣1),C(2,1),
∴可得D点的坐标为(﹣,1);点A的坐标为(﹣2,﹣1).
故选:A.
【点评】此题主要考查坐标与图形的结合问题,即对称问题,熟练掌握平行四边形的性质及对称的而性质,能够求解一些简单的问题.
8.(3分)已知⊙O的直径AB=8cm,点C在⊙O上,且∠BOC=60°,则AC的长为( )
A.4cm B.4cm C.5cm D.2.5cm
【分析】先证明△OBC是等边三角形,得∠ABC=60°,再解直角三角形得AC.
【解答】解:∵OB=OC,∠BOC=60°,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC=ABsin60°=8×=4.
故选:B.
【点评】本题是考查圆的基本性质的一个题,主要考查了圆周角定理,勾股定理,等边三角形的性质与判定,解直角三角形,关键是证明∠ABC=60°.
9.(3分)已知:α为锐角,且=1,则tanα的值等于( )
A.﹣1 B.2 C.3 D.2.5
【分析】根据同角三角函数关系tanα=进行解答.
【解答】解:由=1,得=1.
所以=1.
解得tanα=2.5.
故选:D.
【点评】考查了同角三角函数关系,熟练运用同角的同角三角函数关系式进行求解.
10.(3分)在平面直角坐标系中,若点P(m﹣2,m+1)在第二象限,则m的取值范围是( )
A.m<﹣1 B.m>2 C.﹣1<m<2 D.m>﹣1
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数,纵坐标是正数列出不等式组求解即可.
【解答】解:∵点P(m﹣2,m+1)在第二象限,
∴,
解得﹣1<m<2.
故选:C.
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).
二、填空题(本大题有8个小题,每小题3分,共24分)
11.(3分)多项式x4﹣7x2+12在实数范围内因式分解为 (x+2)(x﹣2)(x+)(x﹣) .
【分析】原式利用十字相乘法,以及平方差公式分解即可.
【解答】解:原式=(x2﹣4)(x2﹣3)=(x+2)(x﹣2)(x+)(x﹣),
故答案为:(x+2)(x﹣2)(x+)(x﹣)
【点评】此题考查了实数范围内分解因式,以及因式分解﹣十字相乘法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
12.(3分)单项式3xm+2ny8与﹣2x2y3m+4n的和仍是单项式,则m+n= 3 .
【分析】直接利用合并同类项法则得出关于m,n的方程组进而得出答案.
【解答】解:∵单项式3xm+2ny8与﹣2x2y3m+4n的和仍是单项式,
∴,
解得:,
则m+n=3.
故答案为:3.
【点评】此题主要考查了合并同类项,正确求出m,n的值是解题关键.
13.(3分)已知1+3=41+3+5=91+3+5+7=161+3+5+7+9=25,则1+3+5+7+9+…+(2n+1)= (n+1)2 (其中n为自然数)
【分析】
观察题中已知:是从1开始的奇数求和,结果为自然数的平方,若算式的最后一个为2n+1,结果恰是(n+1)2,由此可以求解.
【解答】解:∵1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52
…
∴1+3+5+7+9+…+(2n﹣1)+(2n+1)=(n+1)2.
故答案为:(n+1)2.
【点评】此题主要考查数的规律探索与运用,观察已知找到存在的规律,并准确应用是解题的关键.
14.(3分)如图:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D点,若AC=2,tan∠BCD=,则AB= 3 .
【分析】由等角的余角相等可得出∠A=∠BCD,在Rt△ABC中,由tanA=可求出BC的长,再利用勾股定理可求出AB的长.
【解答】解:∵CD⊥AB,
∴∠B+∠BCD=90°;
∵∠ACB=90°,
∴∠B+∠A=90,
∴∠A=∠BCD.
在Rt△ABC中,tanA=,[来源:学&科&网Z&X&X&K]
∴BC=AC•tanA=,
∴AB==3.
故答案为:3.
【点评】本题考查了解直角三角形、三角形内角和定理以及勾股定理,利用tanA=求出BC的长是解题的关键.
15.(3分)如图:点A在反比例函数y=的图象上,作AB⊥x轴,垂足为点B,若△AOB的面积为4,则k的值为 8 .
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S=|k|.
【解答】解:∵点A是反比例函数y=图象上一点,作AB⊥x轴,垂足为点B,
∴S△AOB=|k|=4;
又∵函数图象位于一、三象限,
∴k=8,
故答案为:8.
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得三角形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.
16.(3分)抛物线y=2x2+1向右平移2个单位长度,得到新的抛物线的表达式为 y=2(x﹣2)2+1 .
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点,根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式.
【解答】解:∵y=2x2+1,
∴抛物线y=2x2+,1的顶点坐标是(0,1),
∴将抛物线y=2x2+1向右平移2个单位长度后的顶点坐标是(2,1),
则平移后新抛物线的解析式为:y=2(x﹣2)2+1.
故答案是:y=2(x﹣2)2+1.
【点评】主要考查了函数图象的平移,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.
17.(3分)一个扇形的圆心角是120°.它的半径是3cm.则扇形的弧长为 2π cm.
【分析】根据弧长公式可得结论.
【解答】解:根据题意,扇形的弧长为=2π,
故答案为:2π
【点评】本题主要考查弧长的计算,熟练掌握弧长公式是解题的关键.
18.(3分)从编号分别为1到100的100张卡片中任取一张,所得编号是6的倍数的概率为 .
【分析】根据概率公式计算可得.
【解答】解:从编号分别为1到100的100张卡片中任取一张,所得编号是6的倍数的概率为=,
故答案为:.
【点评】本题主要考查概率公式,解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数.
三、解答题(本大题有8个小题,第19-25题每小题8分,第26题10分,共66分)
19.(8分)先化简再求值:(﹣)÷,其中x=2.
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解:(﹣)÷
=
=
=
=﹣,
当x=2时,原式=﹣=﹣.
【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.
20.(8分)已知:如图,▱ABCD中,AF=CE,EF与对角线BD相交点O,求证:OB=OD.
【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC,AD∥BC,由“AAS”可证△DOF≌△BOE,即可得OB=DO.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC,AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∵AF=CE,AD=BC
∴DF=BE,且∠DOF=∠BOE,∠ADB=∠DBC
∴△DOF≌△BOE(AAS)
∴OB=OD
【点评】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,证明△DOF≌△BOE是本题的关键.
21.(8分)某公司计划购买A,B两种型号的机器人搬运材料.已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料,且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同.
(1)求A,B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料;
(2)该公司计划采购A,B两种型号的机器人共20台,要求每小时搬运材料不得少于2800kg,则至少购进A型机器人多少台?
【分析】(1)设B型机器人每小时搬运x千克材料,则A型机器人每小时搬运(x+30)千克材料,根据A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同建立方程求出其解就可以得出结论.
(2)设购进A型机器人a台,根据每小时搬运材料不得少于2800kg列出不等式并解答.
【解答】解:(1)设B型机器人每小时搬运x千克材料,则A型机器人每小时搬运(x+30)千克材料,
根据题意,得=,
解得x=120.
经检验,x=120是所列方程的解.
当x=120时,x+30=150.
答:A型机器人每小时搬运150千克材料,B型机器人每小时搬运120千克材料;
(2)设购进A型机器人a台,则购进B型机器人(20﹣a)台,
根据题意,得150a+120(20﹣a)≥2800,
解得a≥.[来源:学,科,网]
∵a是整数,
∴a≥14.
答:至少购进A型机器人14台.
【点评】本题考查了分式方程的运用,一元一次不等式的运用,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的数量关系.
22.(8分)某工厂对一批灯泡的质量进行随机抽查,见表:
抽取灯泡数a
40
100
150
500
1000
1500
优等品数b
36
92
145
474
950
1427
优等品频率ba
(1)计算表中的优等品的频率(精确到0.001);
(2)根据抽查的灯泡优等品的频率,估计这批灯泡优等品的概率(精确到0.01).
【分析】(1)根据优等品的频数除以数据的总个数即可求得优等品的频率;[来源:Zxxk.Com]
(2)根据表格中的数据可以得到优等品的概率;[来源:学科网ZXXK]
【解答】解:(1)表中优等品的频率从左到右依次是:0.900 0.920 0.967 0.948 0.950 0.951.
(2)根据求出的优等品的频率,可以知道,随着抽取的灯泡数的增多,优等品的频率逐渐稳定在0.95左右,由此可以估计这批灯泡优等品的概率是0.95
【点评】本题考查利用频率估计概率,解答本题的关键是明确概率的定义,利用概率的知识解答.
23.(8分)建造一个面积为130m2的长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,墙长为a米,另三边用竹篱笆围成,如果篱笆总长为33米.
(1)求养鸡场的长与宽各为多少米?
(2)若10≤a<18,题中的解的情况如何?
【分析】(1)设养鸡场的宽为x米,则长为(33﹣2x)米,利用厂房的面积公式结合养鸡场的面积为130m2,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论;
(2)由(1)的结论结合10≤a<18,可得出长方形的长为13米宽为10米.
【解答】解:(1)设养鸡场的宽为x米,则长为(33﹣2x)米,
依题意,得:(33﹣2x)x=130,
解得:x1=6.5,x2=10,
∴33﹣2x=20或13.
答:养鸡场的长为20米宽为6.5米或长为13米宽为10米.
(2)∵10≤a<18,
∴33﹣2x=13,
∴养鸡场的长为13米宽为10米.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.[来源:学§科§网Z§X§X§K]
24.(8分)如图,已知AB是⊙O的直径,过O点作OP⊥AB,交弦AC于点D,交⊙O于点E,且使∠PCA=∠ABC.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若∠P=60°,PC=2,求PE的长.
【分析】(1)连接OC,由AB是⊙O的直径,得到∠ACB=90°,求得∠BCO+∠ACO=90°,根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BCO,等量代换得到∠BCO=∠ACP,求得∠OCP=90°,于是得到结论;
(2)解直角三角形即可得到结论.
【解答】解:(1)连接OC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BCO+∠ACO=90°,
∵OC=OB,
∴∠B=∠BCO,
∵∠PCA=∠ABC,
∴∠BCO=∠ACP,
∴∠ACP+∠OCA=90°,
∴∠OCP=90°,
∴PC是⊙O的切线;
(2)∵∠P=60°,PC=2,∠PCO=90°,
∴OC=2,OP=2PC=4,
∴PE=OP﹣OE=OP﹣OC=4﹣2.
【点评】本题考查了切线的判定,等腰三角形的性质,解直角三角形,正确作出辅助线是解题的关键.
25.(8分)一艘航母在海上由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70°方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后达到B处,测得小岛C位于它的北偏东37°方向,如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.
(参考数据:sin70°≈0.94;cos70°≈0.34;tan70°≈2.75;sin37°≈0.6;cos37°≈0.80;tan37°≈0.75)
【分析】根据题意得:∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80海里,在直角三角形ACD中,由三角函数得出CD=27.2海里,在直角三角形BCD中,得出BD,即可得出答案.
【解答】解:由题意知∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80海里.
在Rt△ACD中,cos∠ACD=.
∴≈0.34,
∴CD=27.2(海里)
在Rt△BCD中,tan∠BCD=.
∴≈0.75,
∴BD=20.4(海里).
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,三角函数的应用;求出CD的长度是解决问题的关键.
26.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,与y轴交于C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(﹣1,4).
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)过点D作直线DE∥y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合),PA、PB与直线DE分别交于点F、G,当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
【分析】(1)根据OA,OB的长,可得答案;
(2)根据待定系数法,可得函数解析式;
(3)根据相似三角形的判定与性质,可得EG,EF的长,根据整式的加减,可得答案.
【解答】解:(1)由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,得
A点坐标(﹣3,0),B点坐标(1,0);
(2)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1),
把C点坐标代入函数解析式,得
a(0+3)(0﹣1)=3,
解得a=﹣1,
抛物线的解析式为y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3;
(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值),理由如下:
过点P作PQ∥y轴交x轴于Q,如图.
设P(t,﹣t2﹣2t+3),
则PQ=﹣t2﹣2t+3,AQ=3+t,QB=1﹣t,
∵PQ∥EF,
∴△AEF∽△AQP,
∴=,
∴EF===×(﹣t2﹣2t+3)=2(1﹣t);
又∵PQ∥EG,
∴△BEG∽△BQP,
∴=,
∴EG===2(t+3),
∴EF+EG=2(1﹣t)+2(t+3)=8.
【点评】本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是利用点的坐标表示方法;解(2)的关键是利用待定系数法;解(3)的关键是利用相似三角形的性质得出EG,EF的长,又利用了整式的加减.
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