• 1.64 MB
  • 2021-11-10 发布

2020年山东省枣庄市中考数学试卷

  • 24页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
2020 年山东省枣庄市中考数学试卷 一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正 确的选项选出来.每小题选对得 3 分,选错、不选或选出的答案超过一个均计零分. 1.(3 分) 1 2  的绝对值是 ( ) A. 1 2  B. 2 C. 1 2 D.2 2.(3 分)一副直角三角板如图放置,点 C 在 FD 的延长线上, / /AB CF , 90F ACB     , 则 DBC 的度数为 ( ) A.10 B.15 C.18 D.30 3.(3 分)计算 2 1( )3 6    的结果为 ( ) A. 1 2  B. 1 2 C. 5 6  D. 5 6 4.(3 分)实数 a , b 在数轴上对应点的位置如图所示,下列判断正确的是 ( ) A.| | 1a  B. 0ab  C. 0a b  D.1 1a  5.(3 分)不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的 1 个红球和 2 个白球,搅匀后从中摸 出一个球,放回搅匀,再摸出一个球,两次都摸出白球的概率是 ( ) A. 4 9 B. 2 9 C. 2 3 D. 1 3 6.(3 分)如图,在 ABC 中,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ,交 BC 于点 E ,连接 AE .若 6BC  , 5AC  ,则 ACE 的周长为 ( ) A.8 B.11 C.16 D.17 7.(3 分)图(1)是一个长为 2a ,宽为 2 ( )b a b 的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴) 剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形, 则中间空余的部分的面积是 ( ) A. ab B. 2( )a b C. 2( )a b D. 2 2a b 8.(3 分)如图的四个三角形中,不能由 ABC 经过旋转或平移得到的是 ( ) A. B. C. D. 9.(3 分)对于实数 a 、b ,定义一种新运算“ ”为: 2 1a b a b   ,这里等式 右边是实数运算.例如: 2 1 11 3 1 3 8    .则方程 2( 2) 14x x    的解 是 ( ) A. 4x  B. 5x  C. 6x  D. 7x  10.(3 分)如图,平面直角坐标系中,点 B 在第一象限,点 A 在 x 轴的正半轴上, AOB 30B    , 2OA  .将 AOB 绕点 O 逆时针旋转90 ,点 B 的对应点 B 的坐标是 ( ) A. ( 3 , 3) B. ( 3, 3) C. ( 3 , 2 3) D. ( 1,2 3)  11.(3 分)如图,在矩形纸片 ABCD 中, 3AB  ,点 E 在边 BC 上,将 ABE 沿直线 AE 折 叠,点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处,若 EAC ECA   ,则 AC 的长是 ( ) A.3 3 B.4 C.5 D.6 12.(3 分)如图,已知抛物线 2y ax bx c   的对称轴为直线 1x  .给出下列结论: ① 0ac  ; ② 2 4 0b ac  ; ③ 2 0a b  ; ④ 0a b c   . 其中,正确的结论有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题:本大题共 6 小题,满分 24 分.只填写最后结果,每小题填对得 4 分. 13.(4 分)若 3a b  , 2 2 7a b  ,则 ab  . 14.(4 分)已知关于 x 的一元二次方程 2 2( 1) 2 1 0a x x a     有一个根为 0x  ,则 a  . 15.(4 分)如图,AB 是 O 的直径,PA 切 O 于点 A ,线段 PO 交 O 于点 C .连接 BC , 若 36P  ,则 B  . 16.(4 分)人字梯为现代家庭常用的工具(如图).若 AB ,AC 的长都为 2m ,当 50   时, 人字梯顶端离地面的高度 AD 是 m .(结果精确到 0.1m ,参考依据: sin50 0.77  , cos50 0.64  , tan50 1.19)  17.(4 分)如图, E ,F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点, 8AC  , 2AE CF  , 则四边形 BEDF 的周长是 . 18.(4 分)各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形, 它的面积 S 可用公式 1 1(2S a b a   是多边形内的格点数,b 是多边形边界上的格点数)计 算,这个公式称为“皮克 ( )Pick 定理”.如图给出了一个格点五边形,则该五边形的面积 S  . 三、解答题:本大题共 7 小题,满分 60 分.解答时,要写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. 19.(8 分)解不等式组 4( 1) 7 13, 84 ,3 x x xx      „ 并求它的所有整数解的和. 20.(8 分)欧拉 (Euler ,1707 年 ~1783 年)为世界著名的数学家、自然科学家,他在数学、 物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究,发现多面体的顶点数 ( )V Vertex 、棱数 ( )E Edge 、面数 (F Flat )surface 之间存在一定的数量关系,给出了著名的 欧拉公式. (1)观察下列多面体,并把下表补充完整: 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 棱数 E 6 12 面数 F 4 5 8 (2)分析表中的数据,你能发现V 、 E 、 F 之间有什么关系吗?请写出关系式: . 21.(8 分)2020 年,新型冠状病毒肆虐全球,疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼,学 习和身体健康状况都有一定的影响.为了解学生身体健康状况,某校对学生进行立定跳远水 平测试.随机抽取 50 名学生进行测试,并把测试成绩(单位: )m 绘制成不完整的频数分布 表和频数分布直方图. 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 1.2 1.6x „ a 1.6 2.0x „ 12 2.0 2.4x „ b 2.4 2.8x „ 10 请根据图表中所提供的信息,完成下列问题: (1)表中 a  , b  ; (2)样本成绩的中位数落在 范围内; (3)请把频数分布直方图补充完整; (4)该校共有 1200 名学生,估计该学校学生立定跳远成绩在 2.4 2.8x „ 范围内的有多少 人? 22.(8 分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 1 52y x  和 2y x  的图象相交于点 A , 反比例函数 ky x  的图象经过点 A . (1)求反比例函数的表达式; (2)设一次函数 1 52y x  的图象与反比例函数 ky x  的图象的另一个交点为 B ,连接 OB , 求 ABO 的面积. 23.(8 分)如图,在 ABC 中, AB AC ,以 AB 为直径的 O 分别交 AC 、 BC 于点 D 、 E ,点 F 在 AC 的延长线上,且 2BAC CBF   . (1)求证: BF 是 O 的切线; (2)若 O 的直径为 4, 6CF  ,求 tan CBF . 24.(10 分)在 ABC 中, 90ACB   ,CD是中线, AC BC ,一个以点 D 为顶点的 45 角绕点 D 旋转,使角的两边分别与 AC 、BC 的延长线相交,交点分别为点 E 、 F , DF 与 AC 交于点 M , DE 与 BC 交于点 N . (1)如图 1,若 CE CF ,求证: DE DF ; (2)如图 2,在 EDF 绕点 D 旋转的过程中,试证明 2CD CE CF  恒成立; (3)若 2CD  , 2CF  ,求 DN 的长. 25.(10 分)如图,抛物线 2 4y ax bx   交 x 轴于 ( 3,0)A  , (4,0)B 两点,与 y 轴交于点 C , AC , BC . M 为线段OB 上的一个动点,过点 M 作 PM x 轴,交抛物线于点 P ,交 BC 于点 Q . (1)求抛物线的表达式; (2)过点 P 作 PN BC ,垂足为点 N .设 M 点的坐标为 ( ,0)M m ,请用含 m 的代数式表 示线段 PN 的长,并求出当 m 为何值时 PN 有最大值,最大值是多少? (3)试探究点 M 在运动过程中,是否存在这样的点 Q ,使得以 A , C , Q 为顶点的三角 形是等腰三角形.若存在,请求出此时点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 2020 年山东省枣庄市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正 确的选项选出来.每小题选对得 3 分,选错、不选或选出的答案超过一个均计零分. 1.(3 分) 1 2  的绝对值是 ( ) A. 1 2  B. 2 C. 1 2 D.2 【解答】解: 1 2  的绝对值为 1 2 . 故选: C . 2.(3 分)一副直角三角板如图放置,点 C 在 FD 的延长线上, / /AB CF , 90F ACB     , 则 DBC 的度数为 ( ) A.10 B.15 C.18 D.30 【解答】解:由题意可得: 45EDF  , 30ABC   , / /AB CF , 45ABD EDF     , 45 30 15DBC      . 故选: B . 3.(3 分)计算 2 1( )3 6    的结果为 ( ) A. 1 2  B. 1 2 C. 5 6  D. 5 6 【解答】解: 2 1 2 1 1( )3 6 3 6 2         . 故选: A . 4.(3 分)实数 a , b 在数轴上对应点的位置如图所示,下列判断正确的是 ( ) A.| | 1a  B. 0ab  C. 0a b  D.1 1a  【解答】解: A 、| | 1a  ,故本选项错误; B 、 0a  , 0b  , 0ab  ,故本选项错误; C 、 0a b  ,故本选项错误; D 、 0a  , 1 1a   ,故本选项正确; 故选: D . 5.(3 分)不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的 1 个红球和 2 个白球,搅匀后从中摸 出一个球,放回搅匀,再摸出一个球,两次都摸出白球的概率是 ( ) A. 4 9 B. 2 9 C. 2 3 D. 1 3 【解答】解:用列表法表示所有可能出现的情况如下: 共有 9 种可能出现的结果,其中两次都是白球的有 4 种,   4 9P 两次都是白球 , 故选: A . 6.(3 分)如图,在 ABC 中,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ,交 BC 于点 E ,连接 AE .若 6BC  , 5AC  ,则 ACE 的周长为 ( ) A.8 B.11 C.16 D.17 【解答】解: DE 垂直平分 AB , AE BE  , ACE 的周长 AC CE AE   AC CE BE   AC BC  5 6  11 . 故选: B . 7.(3 分)图(1)是一个长为 2a ,宽为 2 ( )b a b 的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴) 剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形, 则中间空余的部分的面积是 ( ) A. ab B. 2( )a b C. 2( )a b D. 2 2a b 【解答】解:中间部分的四边形是正方形,边长是 2a b b a b    , 则面积是 2( )a b . 故选: C . 8.(3 分)如图的四个三角形中,不能由 ABC 经过旋转或平移得到的是 ( ) A. B. C. D. 【解答】解:由题意,选项 A , C , D 可以通过平移,旋转得到,选项 B 可以通过翻折, 平移,旋转得到. 故选: B . 9.(3 分)对于实数 a 、b ,定义一种新运算“ ”为: 2 1a b a b   ,这里等式 右边是实数运算.例如: 2 1 11 3 1 3 8    .则方程 2( 2) 14x x    的解 是 ( ) A. 4x  B. 5x  C. 6x  D. 7x  【解答】解:根据题意,得 1 2 14 4x x    , 去分母得:1 2 ( 4)x   , 解得: 5x  , 经检验 5x  是分式方程的解. 故选: B . 10.(3 分)如图,平面直角坐标系中,点 B 在第一象限,点 A 在 x 轴的正半轴上, AOB 30B    , 2OA  .将 AOB 绕点 O 逆时针旋转90 ,点 B 的对应点 B 的坐标是 ( ) A. ( 3 , 3) B. ( 3, 3) C. ( 3 , 2 3) D. ( 1,2 3)  【解答】解:如图,过点 B 作 B H y  轴于 H . 在 Rt △ A B H  中, 2A B   , 60B A H    , cos60 1A H A B       , sin60 3B H A B      , 2 1 3OH    , ( 3B   , 3) , 故选: A . 11.(3 分)如图,在矩形纸片 ABCD 中, 3AB  ,点 E 在边 BC 上,将 ABE 沿直线 AE 折 叠,点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处,若 EAC ECA   ,则 AC 的长是 ( ) A.3 3 B.4 C.5 D.6 【解答】解:将 ABE 沿直线 AE 折叠,点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处, AF AB  , 90AFE B     , EF AC  , EAC ECA   , AE CE  , AF CF  , 2 6AC AB   , 故选: D . 12.(3 分)如图,已知抛物线 2y ax bx c   的对称轴为直线 1x  .给出下列结论: ① 0ac  ; ② 2 4 0b ac  ; ③ 2 0a b  ; ④ 0a b c   . 其中,正确的结论有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解答】解:抛物线开口向下, 0a  ,对称轴为 12 bx a    ,因此 0b  ,与 y 轴交于正半 轴,因此 0c  , 于是有: 0ac  ,因此①正确; 由 12 bx a    ,得 2 0a b  ,因此③不正确, 抛物线与 x 轴有两个不同交点,因此 2 4 0b ac  ,②正确, 由对称轴 1x  ,抛物线与 x 轴的一个交点为 (3,0) ,对称性可知另一个交点为 ( 1,0) ,因此 0a b c   ,故④正确, 综上所述,正确的结论有①②④, 故选: C . 二、填空题:本大题共 6 小题,满分 24 分.只填写最后结果,每小题填对得 4 分. 13.(4 分)若 3a b  , 2 2 7a b  ,则 ab  1 . 【解答】解: 2 2( ) 3 9a b   , 2 2 2( ) 2 9a b a b ab     . 2 2 7a b  , 2 2ab  , 1ab  , 故答案为:1. 14.(4 分)已知关于 x 的一元二次方程 2 2( 1) 2 1 0a x x a     有一个根为 0x  ,则 a  1 . 【解答】解:把 0x  代入 2 2( 1) 2 1 0a x x a     得 2 1 0a   ,解得 1a   , 1 0a   , 1a   . 故答案为 1 . 15.(4 分)如图,AB 是 O 的直径,PA 切 O 于点 A ,线段 PO 交 O 于点 C .连接 BC , 若 36P  ,则 B  27 . 【解答】解: PA 切 O 于点 A , 90OAP   , 36P   , 54AOP   , 1 272B AOP    . 故答案为: 27. 16.(4 分)人字梯为现代家庭常用的工具(如图).若 AB ,AC 的长都为 2m ,当 50   时, 人字梯顶端离地面的高度 AD 是 1.5 m .(结果精确到 0.1m ,参考依据:sin50 0.77  , cos50 0.64  , tan50 1.19)  【解答】解: 2AB AC m  , AD BC , 90ADC   , sin50 2 0.77 1.5( )AD AC m      , 故答案为 1.5. 17.(4 分)如图, E ,F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点, 8AC  , 2AE CF  , 则四边形 BEDF 的周长是 8 5 . 【解答】解:如图,连接 BD 交 AC 于点 O , 四边形 ABCD 为正方形, BD AC  , OD OB OA OC   , 2AE CF  , OA AE OC CF    ,即 OE OF , 四边形 BEDF 为平行四边形,且 BD EF , 四边形 BEDF 为菱形, DE DF BE BF    , 8AC BD  , 8 4 22OE OF    , 由勾股定理得: 2 2 2 24 2 2 5DE OD OE     , 四边形 BEDF 的周长 4 4 2 5 8 5DE    , 故答案为:8 5 . 18.(4 分)各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形, 它的面积 S 可用公式 1 1(2S a b a   是多边形内的格点数,b 是多边形边界上的格点数)计 算,这个公式称为“皮克 ( )Pick 定理”.如图给出了一个格点五边形,则该五边形的面积 S  6 . 【解答】解: a 表示多边形内部的格点数,b 表示多边形边界上的格点数, S 表示多边形 的面积, 4a  , 6b  , 该五边形的面积 14 6 1 62S      , 故答案为:6. 三、解答题:本大题共 7 小题,满分 60 分.解答时,要写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. 19.(8 分)解不等式组 4( 1) 7 13, 84 ,3 x x xx      „ 并求它的所有整数解的和. 【解答】解:  4 1 7 13 84 3 x x xx      ① ② „ , 由①得, 3x … , 由②得, 2x  , 所以,不等式组的解集是 3 2x „ , 所以,它的整数解为: 3 , 2 , 1 ,0,1, 所以,所有整数解的和为 5 . 20.(8 分)欧拉 (Euler ,1707 年 ~1783 年)为世界著名的数学家、自然科学家,他在数学、 物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究,发现多面体的顶点数 ( )V Vertex 、棱数 ( )E Edge 、面数 (F Flat )surface 之间存在一定的数量关系,给出了著名的 欧拉公式. (1)观察下列多面体,并把下表补充完整: 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 6 棱数 E 6 12 面数 F 4 5 8 (2)分析表中的数据,你能发现V 、 E 、 F 之间有什么关系吗?请写出关系式: . 【解答】解:(1)填表如下: 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 6 棱数 E 6 9 12 12 面数 F 4 5 6 8 (2) 4 4 6 2   , 6 5 9 2   , 8 6 12 2   , 6 8 12 2   ,  , 2V F E    . 即V 、 E 、 F 之间的关系式为: 2V F E   . 故答案为:6,9,12,6, 2V F E   . 21.(8 分)2020 年,新型冠状病毒肆虐全球,疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼,学 习和身体健康状况都有一定的影响.为了解学生身体健康状况,某校对学生进行立定跳远水 平测试.随机抽取 50 名学生进行测试,并把测试成绩(单位: )m 绘制成不完整的频数分布 表和频数分布直方图. 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 1.2 1.6x „ a 1.6 2.0x „ 12 2.0 2.4x „ b 2.4 2.8x „ 10 请根据图表中所提供的信息,完成下列问题: (1)表中 a  8 , b  ; (2)样本成绩的中位数落在 范围内; (3)请把频数分布直方图补充完整; (4)该校共有 1200 名学生,估计该学校学生立定跳远成绩在 2.4 2.8x „ 范围内的有多少 人? 【解答】解:(1)由统计图得, 8a  , 50 8 12 10 20b      , 故答案为:8,20; (2)由中位数的意义可得,50 个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在 2.0 2.4x „ 组 内, 故答案为: 2.0 2.4x „ ; (3)补全频数分布直方图如图所示: (4) 101200 24050   (人 ) , 答:该校 1200 名学生中立定跳远成绩在 2.4 2.8x „ 范围内的有 240 人. 22.(8 分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 1 52y x  和 2y x  的图象相交于点 A , 反比例函数 ky x  的图象经过点 A . (1)求反比例函数的表达式; (2)设一次函数 1 52y x  的图象与反比例函数 ky x  的图象的另一个交点为 B ,连接 OB , 求 ABO 的面积. 【解答】解:(1)联立 1 52y x  ①和 2y x  并解得: 2 4 x y     ,故点 ( 2.4)A  , 将点 A 的坐标代入反比例函数表达式得: 4 2 k  ,解得: 8k   , 故反比例函数表达式为: 8y x   ②; (2)联立①②并解得: 2x   或 8 , 当 8x   时, 1 5 12y x   ,故点 ( 8,1)B  , 设 1 52y x  交 x 轴于点 ( 10,0)C  ,过点 A 、 B 分别作 x 轴的垂线交于点 M 、 N , 则 1 1 1 14 10 10 1 152 2 2 2AOB AOC BOCS S S OC AM OC BN               . 23.(8 分)如图,在 ABC 中, AB AC ,以 AB 为直径的 O 分别交 AC 、 BC 于点 D 、 E ,点 F 在 AC 的延长线上,且 2BAC CBF   . (1)求证: BF 是 O 的切线; (2)若 O 的直径为 4, 6CF  ,求 tan CBF . 【解答】(1)证明:连接 AE , AB 是 O 的直径, 90AEB  , 1 2 90     . AB AC , 2 1 CAB    . 2BAC CBF   , 1 CBF   2 90CBF     即 90ABF   AB 是 O 的直径, 直线 BF 是 O 的切线; (2)解:过 C 作 CH BF 于 H , AB AC , O 的直径为 4, 4AC  , 6CF  , 90ABF   , 2 2 2 210 4 2 21BF AF AB      , CHF ABF   , F F   , CHF ABF ∽ ,  CH CF AB AF  ,  6 4 4 6 CH   , 12 5CH  , 2 2 2 212 6 216 ( )5 5HF CF CH      , 6 21 4 212 21 5 5BH BF HF      , 12 215tan 74 21 5 CHCBF BH      . 24.(10 分)在 ABC 中, 90ACB   ,CD是中线, AC BC ,一个以点 D 为顶点的 45 角绕点 D 旋转,使角的两边分别与 AC 、BC 的延长线相交,交点分别为点 E 、 F , DF 与 AC 交于点 M , DE 与 BC 交于点 N . (1)如图 1,若 CE CF ,求证: DE DF ; (2)如图 2,在 EDF 绕点 D 旋转的过程中,试证明 2CD CE CF  恒成立; (3)若 2CD  , 2CF  ,求 DN 的长. 【解答】(1)证明: 90ACB   , AC BC , CD是中线, 45ACD BCD    , 90ACF BCE    , 135DCF DCE     , 在 DCF 和 DCE 中, CF CE DCF DCE DC DC       , ( )DCF DCE SAS   DE DF  ; (2)证明: 135DCF   , 45F CDF     , 45FDE   , 45CDE CDF     , F CDE   , DCF DCE   , F CDE   , FCD DCE ∽ ,  CF CD CD CE  , 2CD CE CF   ; (3)解:过点 D 作 DG BC 于G , 45DCB   , 2 22GC GD CD    , 由(2)可知, 2CD CE CF  , 2 2 2CDCE CF    , ECN DGN   , ENC DNG   , ENC DNG ∽ ,  CN CE NG DG  ,即 2 2 2 2 NG NG   , 解得, 2 3NG  , 由勾股定理得, 2 2 2 5 3DN DG NG   . 25.(10 分)如图,抛物线 2 4y ax bx   交 x 轴于 ( 3,0)A  , (4,0)B 两点,与 y 轴交于点 C , AC , BC . M 为线段OB 上的一个动点,过点 M 作 PM x 轴,交抛物线于点 P ,交 BC 于点 Q . (1)求抛物线的表达式; (2)过点 P 作 PN BC ,垂足为点 N .设 M 点的坐标为 ( ,0)M m ,请用含 m 的代数式表 示线段 PN 的长,并求出当 m 为何值时 PN 有最大值,最大值是多少? (3)试探究点 M 在运动过程中,是否存在这样的点 Q ,使得以 A , C , Q 为顶点的三角 形是等腰三角形.若存在,请求出此时点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】解:(1)将点 A 、 B 的坐标代入抛物线表达式得 9 3 4 0 16 4 4 0 a b a b        ,解得 1 3 1 3 a b      , 故抛物线的表达式为: 21 1 43 3y x x    ; (2)由抛物线的表达式知,点 (0,4)C , 由点 B 、 C 的坐标得,直线 BC 的表达式为: 4y x   ; 设点 ( ,0)M m ,则点 21 1( , 4)3 3P m m m   ,点 ( , 4)Q m m  , 2 21 1 1 44 43 3 3 3PQ m m m m m          , OB OC ,故 45ABC OCB    , 45PQN BQM     , 2 22 1 4 2 2 2sin 45 ( ) ( 2)2 3 3 6 3PN PQ m m m          , 2 06   ,故当 2m  时, PN 有最大值为 2 2 3 ; (3)存在,理由: 点 A 、 C 的坐标分别为 ( 3,0) 、 (0,4) ,则 5AC  , ①当 AC CQ 时,过点 Q 作 QE y 轴于点 E , 则 2 2 2CQ CE EQ  ,即 2 2[4 ( 4)] 25m m     , 解得: 5 2 2m   (舍去负值), 故点 5 2( 2Q , 8 5 2 )2  ; ②当 AC AQ 时,则 5AQ AC  , 在 Rt AMQ 中,由勾股定理得: 2 2[ ( 3)] ( 4) 25m m      ,解得: 1m  或 0(舍去 0) , 故点 (1,3)Q ; ③当 CQ AQ 时,则 2 2 22 [ ( 3)] ( 4)m m m      ,解得: 25 2m  (舍去); 综上,点 Q 的坐标为 (1,3) 或 5 2( 2 , 8 5 2 )2  .