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- 2021-11-10 发布
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专题 11 一元二次方程及其应用
1.一元二次方程的定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2的方程,叫
做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式:ax2
+bx+c=0(a≠0)。其中 ax2
是二次项,a是二次项系数;bx 是一次项,b 是
一次项系数;c是常数项。
3.一元二次方程的根:使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解
也叫做一元二次方程的根。
4.一元二次方程的解法
(1)直接开方法:适用形式:x2
=p、(x+n)2
=p 或(mx+n)2
=p。
(2)配方法:套用公式 a2
+2ab+b2
=(a+b)2
;a2
-2ab+b2
=(a-b)2
,配方法解一元二次方程的一般步骤是:
①将已知方程化为一般形式;
②化二次项系数为 1;
③常数项移到右边;
④方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2=q 的形式,如果 q
≥0,方程的根是 x=-p±√q;如果 q<0,方程无实根.
(3)公式法:
当 b2
-4ac≥0 时,方程 ax2
+bx+c=0 的实数根可写为:
a
acbbx
2
42
的形式,这个式子叫做一元二次
方程 ax2
+bx+c=0 的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
其中:b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式,通常用字母Δ表示,即Δ=b2-4ac。
①Δ=b2
-4ac>0 时,方程有两个不相等的实数根。
a
acbbx
2
42
1
,
a
acbbx
2
42
2
②Δ=b2
-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根。
a
bxx
221
③Δ=b2-4ac<0 时,方程无实数根。
定义:b2
-4ac 叫做一元二次方程 ax2
+bx+c=0 的根的判别式,通常用字母Δ表示,即Δ=b2
-4ac。
(4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一
元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。
5.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤
第 1 步:审题。认真读题,分析题中各个量之间的关系;
第 2 步:设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数;
第 3 步:列方程。根据题中各个量的关系列出方程;
第 4 步:解方程。根据方程的类型采用相应的解法;
第 5 步:检验。检验所求得的根是否满足题意。
第 6 步:答。
【例题 1】(2020•临沂)一元二次方程 x2
﹣4x﹣8=0 的解是( )
A.x1=﹣2+2 ,x2=﹣2﹣2 B.x1=2+2 ,x2=2﹣2
C.x1=2+2 ,x2=2﹣2 D.x1=2 ,x2=﹣2
【答案】B
【分析】方程利用配方法求出解即可.
【解析】一元二次方程 x2﹣4x﹣8=0,
移项得:x2
﹣4x=8,
配方得:x2
﹣4x+4=12,即(x﹣2)
2
=12,
开方得:x﹣2=±2 ,
解得:x1=2+2 ,x2=2﹣2 .
【对点练习】(2019•浙江金华)用配方法解方程 x2-6x-8=0 时,配方结果正确的是( )
A. (x-3)2
=17 B. (x-3)2
=14 C. (x-6)2
=44 D. (x-3)2
=1
【答案】A
【解析】配方法解一元二次方程
∵x2-6x-8=0,
∴x2
-6x+9=8+9,
∴(x-3)2
=17.
【点拨】本题体现直接配方法解一元二次方程。
【对点练习】(2019 年山东省威海市)一元二次方程 3x2=4﹣2x 的解是 .
【答案】x1= ,x2= .
【解析】直接利用公式法解方程得出答案.
3x2=4﹣2x
3x2
+2x﹣4=0,
则 b2
﹣4ac=4﹣4×3×(﹣4)=52>0,
故 x= ,
解得:x1= ,x2= .
【点拨】本题体现求根公式法解一元二次方程。
【例题 2】(2020•菏泽)等腰三角形的一边长是 3,另两边的长是关于 x 的方程 x2
﹣4x+k=0 的两个根,则 k
的值为( )
A.3 B.4 C.3 或 4 D.7
【答案】C
【分析】当 3为腰长时,将 x=3代入原一元二次方程可求出 k 的值;当 3为底边长时,利用等腰三角形的
性质可得出根的判别式△=0,解之可得出 k 值,利用根与系数的关系可得出两腰之和,将其与 3比较后可
得知该结论符合题意.
【解析】当 3 为腰长时,将 x=3代入 x2﹣4x+k=0,得:32﹣4×3+k=0,
解得:k=3;
当 3 为底边长时,关于 x 的方程 x2
﹣4x+k=0 有两个相等的实数根,
∴△=(﹣4)2﹣4×1×k=0,
解得:k=4,此时两腰之和为 4,4>3,符合题意.
∴k 的值为 3 或 4.
【对点练习】(2019 内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为 a,b,4,且 a,b是关于 x 的一元二次
方程 x2-12x+m+2=0 的两根,则 m的值是( )
A. 34 B.30 C.30 或 34 D.30 或 36
【答案】A.
【解析】分两种情况讨论:
1 若 4 为等腰三角形底边长,则 a,b 是两腰,
∴方程 x2
-12x+m+2=0 有两个相等实根,
∴△=(-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0,
∴m=34.
此时方程为 x2
-12x+36=0,解得 x1=x2=6.
∴三边为 6,6,4,满足三边关系,符合题意.
2 若 4 为等腰三角形腰长,则 a,b中有一条边也为 4,
∴方程 x2
-12x+m+2=0 有一根为 4.
∴42-12×4+m+2=0,
解得,m=30.
此时方程为 x2
-12x+32=0,解得 x1=4,x2=8.
∴三边为 4,4,8,不满足三边关系,故舍去.
综上,m 的值为 34.
【例题 3】(2020 贵州黔西南)已知关于 x 的一元二次方程(m-1)x
2
+2x+1=0 有实数根,则 m 的取值范围
是( )
A. m<2 B. m≤2 C. m<2 且 m≠1 D. m≤2 且 m≠1
【答案】D
【解析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0,即可得出关于 m的一元一次不等式组,解之即可得出 m
的取值范围.
解:因为关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 有实数根,所以 b2-4ac=22-4(m-1)×1≥0,解得 m≤2.又
因为(m-1)x2+2x+1=0 是一元二次方程,所以 m-1≠0.综合知,m 的取值范围是 m≤2 且 m≠1,因此本
题选 D.
【点拨】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义,根据二次项系数非零及根的判别式△≥0,找出
关于 m 的一元一次不等式组是解题的关键.
【对点练习】(2019湖北咸宁)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根,则实数m的取值范围是( )
A.m<1 B.m≤1 C.m>1 D.m≥1
【答案】
【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m=0 有实数根,
∴△=(﹣2)
2
﹣4m≥0,
解得:m≤1.
【例题 4】(2020•衡阳)如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长 35 米、宽 20 米的矩形.为便于管
理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为 600 平方米,则小道的宽为多少米?若设小
道的宽为 x 米,则根据题意,列方程为( )
A.35×20﹣35x﹣20x+2x2
=600
B.35×20﹣35x﹣2×20x=600
C.(35﹣2x)(20﹣x)=600
D.(35﹣x)(20﹣2x)=600
【答案】C
【分析】若设小道的宽为 x米,则阴影部分可合成长为(35﹣2x)米,宽为(20﹣x)米的矩形,利用矩形的面
积公式,即可得出关于 x 的一元二次方程,此题得解.
【解析】依题意,得:(35﹣2x)(20﹣x)=600.
【对点练习】(2019 哈尔滨)某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元,则平均每
次降价的百分率为( )
A.20% B.40% C.18% D.36%
【答案】A.
【解析】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题,按照公式
a(1﹣x)2=b 对照参数位置代入值即可,公式的记忆与运用是本题的解题关键.
设降价的百分率为 x
根据题意可列方程为 25(1﹣x)2
=16
解方程得 , (舍)
∴每次降价得百分率为 20%
【点拨】本题体现直接开方法解一元二次方程。
一、选择题
1.(2020•凉山州)一元二次方程 x2
=2x 的根为( )
A.x=0 B.x=2 C.x=0或 x=2 D.x=0或 x=﹣2
【答案】C
【分析】移项后利用因式分解法求解可得.
【解析】∵x2=2x,
∴x2
﹣2x=0,
则 x(x﹣2)=0,
∴x=0 或 x﹣2=0,
解得 x1=0,x2=2,
2.(2020•怀化)已知一元二次方程 x2
﹣kx+4=0 有两个相等的实数根,则 k的值为( )
A.k=4 B.k=﹣4 C.k=±4 D.k=±2
【答案】C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=0,即可得出关于 k的方程,解之即可得出 k 值.
【解析】∵一元二次方程 x2﹣kx+4=0 有两个相等的实数根,
∴△=(﹣k)2
﹣4×1×4=0,
解得:k=±4.
3.(2020•黑龙江)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0 有两个实数根 x1,x2,则实数 k的取值
范围是( )
A.k<1/4 B.k≤1/4 C.k>4 D.k≤1/4 且 k≠0
【答案】B
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0,即可得出关于 k 的一元一次不等式,解之即可得出 k的取
值范围.
【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2
﹣(2k+1)x+k2
+2k=0 有两个实数根 x1,x2,
∴△=[﹣(2k+1)]2
﹣4×1×(k2
+2k)≥0,
解得:k≤1/4.
4.(2020•泰安)将一元二次方程 x2
﹣8x﹣5=0 化成(x+a)2
=b(a,b 为常数)的形式,则 a,b 的值分别是
( )
A.﹣4,21 B.﹣4,11 C.4,21 D.﹣8,69
【答案】A
【分析】将常数项移到方程的右边,两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.
【解析】∵x2
﹣8x﹣5=0,
∴x2
﹣8x=5,
则 x2﹣8x+16=5+16,即(x﹣4)2=21,
∴a=﹣4,b=21,
5.(2020•黑龙江)已知 2+ 是关于 x的一元二次方程 x2
﹣4x+m=0 的一个实数根,则实数 m 的值是( )
A.0 B.1 C.﹣3 D.﹣1
【答案】B
【分析】把 x=2+ 代入方程就得到一个关于 m 的方程,就可以求出 m 的值.
【解析】根据题意,得
(2 +)2﹣4×(2+ )+m=0,
解得 m=1
6.(2020•滨州)对于任意实数 k,关于 x 的方程 x2/2-(k+5)x+k2+2k+25=0 的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法判定
【答案】B
【分析】先根据根的判别式求出“△”的值,再根据根的判别式的内容判断即可.
【解析】x2
/2-(k+5)x+k2
+2k+25=0,
△=[﹣(k+5)]2﹣4(k2+2k+25)/2=﹣k2+6k﹣25=﹣(k﹣3)2﹣16,
不论 k 为何值,﹣(k﹣3)
2
≤0,
即△=﹣(k﹣3)
2
﹣16<0,
所以方程没有实数根.
7. (2019•湖南衡阳)国家实施”精准扶贫“政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路.某地区 2016 年底
有贫困人口 9 万人,通过社会各界的努力,2018 年底贫困人口减少至 1 万人.设 2016 年底至 2018 年底该
地区贫困人口的年平均下降率为 x,根据题意列方程得( )
A.9(1﹣2x)=1 B.9(1﹣x)2=1 C.9(1+2x)=1 D.9(1+x)2=1
【答案】B.
【解析】等量关系为:2016 年贫困人口×(1﹣下降率)
2
=2018 年贫困人口,把相关数值代入计算即可.
设这两年全省贫困人口的年平均下降率为 x,根据题意得:
二、填空题
8.(2020•辽阳)若关于 x 的一元二次方程 x2
+2x﹣k=0 无实数根,则 k的取值范围是 .
【答案】k<﹣1
【分析】根据根的判别式即可求出答案.
【解析】由题意可知:△=4+4k<0,
∴k<﹣1
9.(2020•烟台)关于 x 的一元二次方程(m﹣1)x2
+2x﹣1=0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围
是 .
【答案】m>0且 m≠1.
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m﹣1≠0 且△=22﹣4(m﹣1)×(﹣1)>0,然后求出
两个不等式的公共部分即可.
【解析】根据题意得 m﹣1≠0 且△=2
2
﹣4(m﹣1)×(﹣1)>0,
解得 m>0且 m≠1.
10.(2020•扬州)方程(x+1)2=9 的根是 .
【答案】x1=2,x2=﹣4.
【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方,再进行计算即可.
【解析】(x+1)2
=9,
x+1=±3,
x1=2,x2=﹣4.
11.(2020•上海)如果关于 x的方程 x2
﹣4x+m=0 有两个相等的实数根,那么 m的值是 .
【答案】4
【分析】一元二次方程有两个相等的实根,即根的判别式△=b2
﹣4ac=0,即可求 m值.
【解析】依题意,
∵方程 x2﹣4x+m=0 有两个相等的实数根,
∴△=b2
﹣4ac=(﹣4)
2
﹣4m=0,解得 m=4,
12.(2020•天水)一个三角形的两边长分别为 2 和 5,第三边长是方程 x2
﹣8x+12=0 的根,则该三角形的周
长为 .
【答案】13
【分析】先利用因式分解法解方程 x2
﹣8x+12=0,然后根据三角形的三边关系得出第三边的长,则该三角
形的周长可求.
【解析】∵x2
﹣8x+12=0,
∴(x﹣2)(x﹣6)=0,
∴x1=2,x2=6,
∵三角形的两边长分别为 2 和 5,第三边长是方程 x2
﹣8x+12=0 的根,2+2<5,2+5>6,
∴三角形的第三边长是 6,
∴该三角形的周长为:2+5+6=13.
13.(2019 年江苏省扬州市)一元二次方程 x(x﹣2)=x﹣2 的根是 .
【答案】1或 2.
【解析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
x(x﹣2)=x﹣2,
x(x﹣2)﹣(x﹣2)=0,
(x﹣2)(x﹣1)=0,
x﹣2=0,x﹣1=0,
x1=2,x2=1
14.(2019 湖北十堰)对于实数 a,b,定义运算“◎”如下:a◎b=(a+b)2
﹣(a﹣b)2
.若(m+2)◎(m﹣3)=24,
则 m= .
【答案】﹣3 或 4
【解析】根据题意得[(m+2)+(m﹣3)]
2
﹣[(m+2)﹣(m﹣3)]
2
=24,
(2m﹣1)
2
﹣49=0,
(2m﹣1+7)(2m﹣1﹣7)=0,
2m﹣1+7=0 或 2m﹣1﹣7=0,
所以 m1=﹣3,m2=4.
15. (2019 吉林长春)一元二次方程 x2-3x+1=0 根的判别式的值为________.
【答案】5.
【解析】∵a=1,b=-3,c=1,
∴△=b2
-4ac=(-3)2
-4×1×1=5
16.(2019 年甘肃省天水市)中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民 2016
年人均年收入 20000 元,到 2018 年人均年收入达到 39200 元.则该地区居民年人均收入平均增长率
为 .(用百分数表示)
【答案】40%.
【解析】根据题意可以列出相应的方程,从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率,本题得以解决.
设该地区居民年人均收入平均增长率为 x,
20000(1+x)2
=39200,
解得,x1=0.4,x2=﹣2.4(舍去),
∴该地区居民年人均收入平均增长率为 40%
17.(2019 年江苏省连云港市)已知关于 x 的一元二次方程 ax2
+2x+2﹣c=0 有两个相等的实数根,则 +c 的
值等于 .
【答案】2
【解析】根据“关于 x的一元二次方程 ax2+2x+2﹣c=0 有两个相等的实数根”,结合根的判别式公式,得到
关于 a 和 c 的等式,整理后即可得到的答案.
根据题意得:
△=4﹣4a(2﹣c)=0,
整理得:4ac﹣8a=﹣4,
4a(c﹣2)=﹣4,
∵方程 ax2
+2x+2﹣c=0是一元二次方程,
∴a≠0,
等式两边同时除以 4a 得:c﹣2=﹣ ,
则 +c=2
三、解答题
18.(2020•河北)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的 A区就会自动加上 a2
,同时 B 区就会自动减去 3a,
且均显示化简后的结果.已知 A,B 两区初始显示的分别是 25 和﹣16,如图.
如,第一次按键后,A,B 两区分别显示:
(1)从初始状态按 2次后,分别求 A,B 两区显示的结果;
(2)从初始状态按 4次后,计算 A,B 两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗?说明理由.
【答案】见解析。
【分析】(1)根据题意列出代数式即可;
(2)根据题意得到 25+4a2+(﹣16﹣12a),根据整式加减的法则计算,然后配方,根据非负数的性质即可得到
结论.
【解析】(1)A 区显示的结果为:25+2a2
,B区显示的结果为:﹣16﹣6a;
(2)这个和不能为负数,
理由:根据题意得,25+4a2+(﹣16﹣12a)=25+4a2﹣16﹣12a=4a2﹣12a+9;
∵(2a﹣3)
2
≥0,
∴这个和不能为负数.
19.(2020•孝感)已知关于 x的一元二次方程 x2
﹣(2k+1)x
k2
﹣2=0.
(1)求证:无论 k 为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根 x1,x2满足 x1﹣x2=3,求 k 的值.
【答案】见解析。
【分析】(1)根据根的判别式得出△=[﹣(2k+1)]2
﹣4×1×(
k2
﹣2)=2(k+1)2
+7>0,据此可得答案;
(2)先根据根与系数的关系得出 x1+x2=2k+1,x1x2
k2
﹣2,由 x1﹣x2=3 知(x1﹣x2)
2
=9,即(x1+x2)
2
﹣4x1x2
=9,从而列出关于 k 的方程,解之可得答案.
【解析】(1)∵△=[﹣(2k+1)]2﹣4×1×(
k2﹣2)
=4k2
+4k+1﹣2k2
+8
=2k2+4k+9
=2(k+1)2
+7>0,
∵无论 k 为何实数,2(k+1)2
≥0,
∴2(k+1)2+7>0,
∴无论 k 为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)由根与系数的关系得出 x1+x2=2k+1,x1x2
k2
﹣2,
∵x1﹣x2=3,
∴(x1﹣x2)
2
=9,
∴(x1+x2)
2
﹣4x1x2=9,
∴(2k+1)2
﹣4×(
k2
﹣2)=9,
化简得 k2
+2k=0,
解得 k=0或 k=﹣2.
20.(2020•重庆)为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召,确保粮食安全,优选品种,提高产
量,某农业科技小组对 A,B 两个玉米品种进行实验种植对比研究.去年 A、B 两个品种各种植了 10 亩.收
获后 A、B 两个品种的售价均为 2.4 元/kg,且 B 品种的平均亩产量比 A 品种高 100 千克,A、B 两个品种全
部售出后总收入为 21600 元.
(1)求 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克?
(2)今年,科技小组优化了玉米的种植方法,在保持去年种植面积不变的情况下,预计 A、B 两个品种平均
亩产量将在去年的基础上分别增加 a%和 2a%.由于 B 品种深受市场欢迎,预计每千克售价将在去年的基础
上上涨 a%,而 A 品种的售价保持不变,A、B 两个品种全部售出后总收入将增加
a%.求 a 的值.
【答案】见解析。
【分析】(1)设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x 千克和 y 千克;根据题意列方程组即可得到结论;
(2)根据题意列方程即可得到结论.
【解析】(1)设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x 千克和 y 千克;
根据题意得,
െ
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,
解得:
,
答:A、B两个品种去年平均亩产量分别是 400 千克和 500 千克;
(2)2.4×400×10(1+a%)+2.4(1+a%)×500×10(1+2a%)=21600(1
a%),
解得:a=10,
答:a的值为 10.
21.(2019 北京市)关于 x 的方程 2 2 2 1 0x x m 有实数根,且 m 为正整数,求 m 的值及此时方程的根.
【答案】m=1,此方程的根为 1 2 1x x
【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式 2 4 0b ac 进而求出 m 的范围;结合 m 的值为正整数,求
出 m 的值,进而得到一元二次方程求解即可.
∵关于 x 的方程 2 2 2 1 0x x m 有实数根,
∴ 22 4 2 4 1 2 1 4 8 4 8 8 0b ac m m m
∴ 1m
又∵m为正整数,∴m=1,
此时方程为 2 2 1 0x x 解得根为 1 2 1x x ,
∴m=1,此方程的根为 1 2 1x x
22.(2019•湖南衡阳)关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+k=0 有实数根.
(1)求 k 的取值范围;
(2)如果 k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m﹣1)x2
+x+m﹣3=0 与方程 x2
﹣3x+k=0 有一个相同的
根,求此时 m 的值.
【答案】见解析。
【解析】(1)根据题意得△=(﹣3)
2
﹣4k≥0,
解得 k≤ ;
(2)k 的最大整数为 2,
方程 x2
﹣3x+k=0 变形为 x2
﹣3x+2=0,解得 x1=1,x2=2,
∵一元二次方程(m﹣1)x2
+x+m﹣3=0 与方程 x2
﹣3x+k=0 有一个相同的根,
∴当 x=1时,m﹣1+1+m﹣3=0,解得 m= ;
当 x=2 时,4(m﹣1)+2+m﹣3=0,解得 m=1,
而 m﹣1≠0,
∴m 的值为 .
23. (2019•湖南长沙)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参
与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益
课受益学生 2 万人次,第三批公益课受益学生 2.42 万人次.
(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;
(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?
【答案】见解析。
【解析】设增长率为 x,根据“第一批公益课受益学生 2 万人次,第三批公益课受益学生 2.42 万人次”可
列方程求解;用 2.42×(1+增长率),计算即可求解.
(1)设增长率为 x,根据题意,得
2(1+x)2
=2.42,
解得 x1=﹣2.1(舍去),x2=0.1=10%.
答:增长率为 10%.
(2)2.42(1+0.1)=2.662(万人).
答:第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次.
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