中考卷-2020中考数学试题（解析版）（123） 24页

徐州市 2020 年初中学业水平考试 数学试题 注意事项 1．本试卷共 6 页，满分 140 分，考试时间 120 分钟． 2．答题前，请将姓名、文化考试证号用 0．5 毫米黑色字迹签字笔填写在本卷和答题卡的指 定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1.3 的相反数是（ ）． A. 3 B. 3 C. 1 3  D. 1 3 【答案】A 【解析】 【分析】 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义即可得． 【详解】3 的相反数是-3 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题关键． 2.下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 3.三角形的两边长分别为 3cm 和 6cm ，则第三边长可能为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 6cm D. 9cm 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角形的三边关系判断即可. 【详解】6-3=3＜第三边长＜6+3=9,只有 6cm 满足题意, 故选 C. 【点睛】本题考查三角形的三边范围计算,关键牢记三边关系. 4.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 20 个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出 红球的频率稳定在 0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】 设袋子中红球有 x 个，根据摸出红球的频率稳定在 0.25 左右列出关于 x 的方程，求出 x 的值即可得答案． 【详解】解：设袋子中红球有 x 个， 根据题意，得： 0.25,20 x  解得 5,x  答：袋子中红球有 5 个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动， 并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近 似值就是这个事件的概率． 5.小红连续 5 天的体温数据如下（单位相 C ）： 36.6，36.2 ， 36.5 ，36.2 ， 36.3．关于这组数据下列说 法正确的是（ ） A. 中位数是36.5 C B. 众数是36.2 C C. 平均数是36.2 C D. 极差是 0.3 C 【答案】B 【解析】 【分析】 根据众数、中位数的概念求得众数和中位数，根据平均数和方差、极差公式计算平均数和极差即可得出答 案． 【详解】A．将这组数据从小到大的顺序排列：36.2，36.2，36.3，36.5，36.6， 则中位数为 36.3 C ，故此选项错误 B．36.2 出现了两次，故众数是 36.2 C ，故此选项正确； C．平均数为 1 (36.2 36.2 36.3 36.5 36.6) 36.365      ( C )，故此选项错误； D．极差为 36.6-36.2=0.4( C )，故此选项错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中位数、众数、平均数和极差，熟练掌握它们的计算方法是解答的关键． 6.下列计算正确的是（ ） A. 2 2 42 3a a a  B. 6 3 2a a a  C. 2 2 2( )a b a b   D. 2 2 2( )ab a b 【答案】D 【解析】 【分析】 由合并同类项、同底数幂除法，完全平方公式、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、 2 2 22 3a a a  ，故 A 错误； B、 6 3 3a a a  ，故 B 错误； C、 2 2 2( ) 2a b a ab b    ，故 C 错误； D、 2 2 2( )ab a b ，故 D 正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算 法则进行解题． 7.如图， AB 是 O 的弦，点C 在过点 B 的切线上，OC OA ，OC 交 AB 于点 P ．若 70BPC   ，则 ABC 的度数等于（ ） A. 75 B. 70 C. 65 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可求出∠APO、∠A 的度数，进一步可得∠ABO 度数，从而推出答案. 【详解】∵ 70BPC   ， ∴∠APO=70°， ∵OC OA ， ∴∠AOP=90°，∴∠A=20°， 又∵OA=OB， ∴∠ABO=20°， 又∵点 C 在过点 B 的切线上， ∴∠OBC=90°， ∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°， 故答案为：B. 【点睛】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键. 8.如图，在平面直角坐标系中，函数 4y x   0x  与 1y x  的图像交于点  ,P a b ，则代数式 1 1 a b  的值 为（ ） A. 1 2  B. 1 2 C. 1 4  D. 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 把 P( a ，b )代入两解析式得出b a 和 ab 的值，整体代入 1 1 b a a b ab   即可求解 C 【详解】∵函数 4y x   0x  与 1y x  的图像交于点 P( a ，b )， ∴ 4b a  ， 1b a  ，即 4ab  ， 1b a   ， ∴ 1 1 1 4 b a a b ab     ． 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点 坐标同时满足两个函数的解析式． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．不需要写出解答过程，请将答案直 接填写在答题卡相应位置） 9.7 的平方根是_____． 【答案】 7 【解析】 ∵ 2 7 7  ，∴7 的平方根是 7 ， 故答案为 7 . 10.分解因式： 2 4m   __________． 【答案】 ( 2)( 2)m m  【解析】 【分析】 直接利用平方差公式 2 2 ( )( )a b a b a b    进行因式分解即可． 【详解】 2 4 ( 2)( 2)m m m    故答案为： ( 2)( 2)m m  ． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟记公式是解题关键． 11.式子 3x  在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】 直接利用二次根式的有意义的条件得到关于 x 的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x﹣3≥0， 解得：x≥3， 故答案为 x≥3． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 12.原子很小，1个氧原子的直径大约为 0.000000000148m ，将 0.000000000148用科学记数法表示为 _______． 【答案】1.48×10−10 【解析】 【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其 所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 【详解】 0.000000000148＝1.48×10−10． 故答案为：1.48×10−10． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10−n，其中 1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第 一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 13.如图，在 Rt ABC 中， 90ABC  ， D 、 E 、 F 分别为 AB 、 BC 、CA 的中点，若 5BF  ，则 DE  _______． 【答案】5 【解析】 【分析】 根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得 AC 的长度，再根据题意判断 DE 为中位线，根据中位线的性质 即可求出 DE 的长度． 【详解】∵在 Rt ABC 中， 90ABC  ， D 、 E 、 F 分别为 AB 、 BC 、 CA 的中点， 5BF  ，则根 据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得 AC＝10．根据题意判断 DE 为中位线，根据三角形中位线的性质， 得 DE∥AC 且 DE= 1 2 AC，可得 DE=5． 故答案为 DE=5 【点睛】本题掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半及中位线的性质是解答本题的关键． 14.如图，在 Rt ABC 中， 90C   ， 4AC  ， 3BC  ．若以 AC 所在直线为轴，把 ABC 旋转一周， 得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_______． 【答案】15 【解析】 【分析】 运用公式 s lr （其中勾股定理求解得到的母线长 l 为 5）求解． 【详解】由已知得，母线长 l = 2 23 4 =5，半径 r 为 3， ∴圆锥的侧面积是 5 3 15s lr       ． 故答案为：15 ． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解． 15.方程 9 8 1x x   的解为_______． 【答案】 9.x  【解析】 【分析】 去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，并检验即可得到答案． 【详解】解： 9 8 1x x    9 1 8 ,x x   9 9 8 ,x x   9,x  经检验： 9x  是原方程的根， 所以原方程的根是： 9.x  故答案为： 9.x  【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握去分母解分式方程是解题的关键． 16.如图， A 、 B 、C 、 D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若 18ADB   ，则这个正多 边形的边数为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】 连接 AO,BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解． 【详解】如图，连接 AO,BO， ∴∠AOB=2∠ADB=36° ∴这个正多边形的边数为 360 36 ° °=10 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 17.如图， 30MON   ，在 OM 上截取 1 3OA  ．过点 1A 作 1 1A B OM ，交ON 于点 1B ，以点 1B 为圆心， 1B O 为半径画弧，交OM 于点 2A ；过点 2A 作 2 2A B OM ，交 ON 于点 2B ，以点 2B 为圆心， 2B O 为半径画弧，交 OM 于点 3A ；按此规律，所得线段 20 20A B 的长等于_______． 【答案】 192 【解析】 【分析】 根据已知条件先求出 1 1A B 的长，再根据外角，直角算出△ 1 2 2B A B 是等边三角形，同理可得出其他等边三角 形，即可求出答案． 【详解】∵ 1 1A B OM ， 30MON   ， 1 3OA  ∴ 1 = 3 cos30 2BO    ∵ 1 1 1=OB B A ∴ 1 2 30B A O   ∴ 2 1 2 60A B B   ∵ 2 2A B OM ∴ 2 2 1 60B A B   ∴△ 1 2 2B A B 是等边三角形 ∴ 2 2 =2A B ∴ 2 3 3B A B 是等边三角形 ∴ 3 3 =2 2 4A B   同理可得 19 20 20B A B 是等边三角形 ∴ 19 20 20 =2A B 【点睛】本题考查了直角三角形计算，等腰三角形性质等知识点，发现线段之间的规律是解题关键． 18.在 ABC 中，若 6AB  ， 45ACB   ，则 ABC 的面积的最大值为______． 【答案】9 2 +9 【解析】 【分析】 首先过 C 作 CM⊥AB 于 M，由弦 AB 已确定，可得要使△ABC 的面积最大，只要 CM 取最大值即可，即 可得当 CM 过圆心 O 时，CM 最大，然后由圆周角定理，证得△AOB 是等腰直角三角形，则可求得 CM 的 长，继而求得答案． 【详解】作△ABC 的外接圆⊙O，过 C 作 CM⊥AB 于 M， ∵弦 AB 已确定， ∴要使△ABC 的面积最大，只要 CM 取最大值即可， 如图所示，当 CM 过圆心 O 时，CM 最大， ∵CM⊥AB，CM 过 O， ∴AM＝BM（垂径定理）， ∴AC＝BC， ∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°， ∴OM＝AM＝ 1 2 AB＝ 1 2 ×6＝3， ∴OA＝ 2 2 3 2OM AM  ， ∴CM＝OC＋OM＝3 2 ＋3， ∴S△ABC＝ 1 2 AB•CM＝ 1 2 ×6×（3 2 ＋3）＝9 2 +9． 故答案为：9 2 +9． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．注意得到当 CM 过圆心 O 时，CM 最大是关键． 三、解答题（本大题共有 10 小题，共 86 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 19.计算：（1） 1 2020 1( 1) | 2 2| 2        ； （2） 21 2 11 2 2 a a a a        【答案】（1）1 2 ；（2） 2 a 【解析】 【分析】 （1）利用乘方运算法则、绝对值运算、负整数指数幂的定义进行运算，再合并计算即可； （2）利用分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）原式=1 2 2 2 1 2     ； （2）原式= 2 1 2( 1) 2 ( 1) a a a a a    ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方、绝对值的意义、负整数指数幂、分式的混合运算，熟练掌握运算法则 是解答的关键． 20.（1）解方程： 22 5 3 0x x   ； （2）解不等式组： 3 4 5 2 1 2 3 2 x x x      【答案】（1）x1= 3 2 ,x2=3（2）-4＜x＜3 【解析】 【分析】 （1）根据因式分解法即可求解； （2）分别求出各不等式的解集，即可求出其公共解集． 【详解】（1）解方程： 22 5 3 0x x   (2 3)( 1) 0x x   ∴2x-3=0 或 x-1=0 解得 x1= 3 2 ,x2=1; （2）解 3 4 5 2 1 2 3 2 x x x     ① ② 解不等式①得 x＜3 解不等式②得 x＞-4 ∴不等式组的解集为-4＜x＜3． 【点睛】此题主要考查方程与不等式的求解，解题的关键是熟知其解法． 21.小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排志愿者被随机分到 A 组（体温检测）、B 组 （便民代购）、C 组（环境消杀）． （1）小红的爸爸被分到 B 组的概率是______； （2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树 状图或列表的方法写出分析过程） 【答案】（1） 1 3 ；（2） 1 3 ． 【解析】 【分析】 （1）共有 3 种可能出现的结果，被分到“B 组”的有 1 中，可求出概率． （2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率． 【详解】（1）共有 3 种可能出现的结果，被分到“B 组”的有 1 种， 因此被分到“B 组”的概率为 1 3 ， 故答案为： 1 3 ； （2）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 小红爸爸 王老师 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 共有 9 种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有 3 种， ∴P（他与小红爸爸在同一组）= 3 1 9 3  ． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确求 解的前提． 22.某市为了解市民每天的阅读时间，随机抽取部分市民进行调查．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统 计图表： 市民每天的阅读时间统计表 类别 A B C D 阅读时间  minx 0 30x  30 60x  60 90x  90x  频数 450 400 m 50 市民每天的类别阅读时间扇形统计图 根据以上信息解答下列问题： （1）该调查的样本容量为______， m  ______； （2）在扇形统计图中，“ B ”对应扇形的圆心角等于______  ； （3）将每天阅读时间不低于 60 min 的市民称为“阅读爱好者”．若该市约有 600 万人，请估计该市能称为“阅 读爱好者”的市民有多少万人． 【答案】（1）1000；100；（2）=144°（3）90（万人） 【解析】 【分析】 （1）根据 A 类别的频数与占比即可求出调查的样本容量，再求出 C 类别的频数即可； （2）求出 B 类别的占比即可得到对应扇形的圆心角； （3）利用样本的频率即可估计全体“阅读爱好者”的市民人数． 【详解】（1）该调查的样本容量为 450÷45%=1000； C 类别的频数为 1000-450-400-50=100； 故答案为：1000；100； （2）“ B ”对应扇形的圆心角等于 400÷1000×360°=144°； （3）估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有 600× 100 50 1000  =90（万人）． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出调查的总人数． 23.如图， AC BC ， DC EC ， AC BC ． DC EC ， AE 与 BD 交于点 F ． （1）求证： AE BD ； （2）求 AFD 的度数． 【答案】（1）见解析（2）90° 【解析】 【分析】 （1）根据题意证明△ACE≌△BCD 即可求解； （2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到 AFD 的度数． 【详解】（1）∵ AC BC ， DC EC ， ∴∠ACB=∠ECD=90° ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE 即∠ACE=∠BCD 又 AC BC ． DC EC ∴△ACE≌△BCD ∴ AE BD （2）∵△ACE≌△BCD ∴∠A=∠B 设 AE 与 BC 交于 O 点, ∴∠AOC=∠BOF ∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180° ∴∠BFO=∠ACO=90° 故 AFD =180°-∠BFO=90°． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 24.本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽 分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分 （元 / 千克） 上海 a b 北京 3a  4b  实际收费 目的地 质量 费用（元） 上海 2 9 北京 3 22 求 a ，b 的值． 【答案】 7a  ， 2b  【解析】 【分析】 根据题意“寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费”列出方程组求解即可 得到结果． 【详解】根据题意得：   9 3 2 4 22 a b a b        ， 解得： 7 2 a b    ， ∴ 7a  ， 2b  ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方 程组． 25.小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场 ABCD 边 AB 的中点 M 处有一座雕塑．在某一时刻，小 红到达点 P 处，爸爸到达点Q 处，此时雕塑在小红的南偏东 45方向，爸爸在小红的北偏东 60方向，若 小红到雕塑的距离 30PM m ，求小红与爸爸的距离 PQ ．（结果精确到1m ，参考数据： 2 1.41 ， 3 1.73 ， 6 2.45 ） 【答案】 49PQ m ． 【解析】 【分析】 过点 P 作 PE⊥BC，则四边形 ABEP 是矩形，由解直角三角形求出 15 2AP AM BM   ，则 30 2PE  ， 然后求出 PQ 即可． 【详解】解：过点 P 作 PE⊥BC，如图： 根据题意，则四边形 ABEP 是矩形， ∴ PE AB ， 在 Rt△APM 中，PM=30，∠APM=45°， ∴ 15 2AP AM  ， ∵点 M 是 AB 的中点， ∴ 15 2AP AM BM   ， ∴ 30 2PE AB  ， 在 Rt△PEQ 中，∠PQE=60°， 30 2PE  ， ∴ 30 2 20 6 49sin 60 3 2 PEPQ     ； ∴小红与爸爸的距离 49PQ m ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，方位角问题，等腰直角三角形的性质，解题的关 键是利用解直角三角形正确求出各边的长度． 26.如图在平面直角坐标系中，一次函数 y kx b  的图像经过点  0, 4A  、  2,0B 交反比例函数 my x   0x  的图像于点  3,C a ，点 P 在反比例函数的图像上，横坐标为 n  0 3n  ， / /PQ y 轴交 直线 AB 于点Q ， D 是 y 轴上任意一点，连接 PD 、QD ． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求 DPQV 面积的最大值． 【答案】（1） 62 4,y x y x    ；（2） 4. 【解析】 【分析】 （1）利用点  0, 4A  、  2,0B 求解一次函数的解析式，再求C 的坐标，再求反比例函数解析式； （2）设 6, ,P n n      则  ,2 4 ,Q n n  再表示 PQ 的长度，列出三角形面积与 n 的函数关系式，利用函数的性 质可得答案． 【详解】解：（1）设直线 AB 为 ,y kx b  把点  0, 4A  、  2,0B 代入解析式得： 4 2 0 b k b      解得： 2 4 k b      直线 AB 为 2 4,y x  把  3,C a 代入得： 2 3 4 2,a      3,2 ,C 把  3,2C 代入： ,my x  2 3 6m    ， 6 ,y x   （2）设 6, ,P n n      / /PQ y 轴， 则  ,2 4 ,Q n n  由 0 ＜ n ＜ 3 ，  6 6 62 4 2 4 2 4,PQ n n nn n n           1 6 2 42DPQS n nn         22 2 3 1 4,n n n        即当 1n  时， 4.DPQS  最大 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求 解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键． 27.我们知道：如图①，点 B 把线段 AC 分成两部分，如果 BC AB AB AC  ．那么称点 B 为线段 AC 的黄金分割 点．它们的比值为 5 1 2  ． （1）在图①中，若 20AC cm ，则 AB 的长为_____ cm ； （2）如图②，用边长为 20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 ABCD 得折痕 EF ，连接CE ，将 CB 折叠到CE 上，点 B 对应点 H ，得折痕 CG ．试说明 G 是 AB 的黄金分割点； （3）如图③，小明进一步探究：在边长为 a 的正方形 ABCD 的边 AD 上任取点 E  AE DE ，连接 BE ， 作CF BE ，交 AB 于点 F ，延长 EF 、CB 交于点 P ．他发现当 PB 与 BC 满足某种关系时 E 、 F 恰好 分别是 AD 、 AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由． 【答案】（1）10 5 10 ；（2）见解析；（3）当 PB=BC 时， E 、 F 恰好分别是 AD 、 AB 的黄金分割点， 理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由黄金比值直接计算即可； （2）如图，连接 GE，设 BG=x，则 AG=20-x，易证得四边形 EFCD 是矩形，可求得 CE，由折叠知 GH=BG=x， CH=BC=20，进而 EH=CE-CH，在 Rt△GAE 和 Rt△GHE 中由勾股定理得关于 x的方程，解之即可证得结论； （3）当 PB=BC 时，证得 Rt△PBF≌Rt△CBF≌Rt△BAE,则有 BF=AE，设 BF=x，则 AF=a-x，由 AE∥PB 得 AE:PB=AF:BF，解得 x，即可证得结论． 【详解】（1）AB= 5 1 2  ×20=（10 5 10 ）(cm)， 故答案为：10 5 10 ； （2）如图，连接 GE，设 BG=x，则 GA=20-x， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A=∠B=∠D=90º， 由折叠性质得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90º，AE=ED=10， 在 Rt△CDE 中，CE= 2 2 10 5ED CD  ， ∴EH=10 5 20 ， 在 Rt△GHE 中， 2 2 2 2 2(10 5 20)GE GH EH x     在 Rt△GAE 中， 2 2 2 2(20 ) 100GE AG AE x     , ∴ 2 2 2(10 5 20) (20 ) 100x x     ， 解得：x=10 5 10 ， 即 10 5 10 5 1 20 2 BG AB    ， ∴G 是 AB 的黄金分割点； （3）当 PB=BC 时， E 、 F 恰好分别是 AD 、 AB 的黄金分割点． 理由：∵CF BE ， ∴∠BCF+∠CBE=90º，又∠CBE+∠ABE=90º， ∴∠ABE=∠BCF， ∵∠A=∠ABC=90º，AB=BC， ∴△BAE≌△CBF（ASA）， ∴AE=BF， 设 AE=BF=x，则 AF=a-x， ∵AD∥BC 即 AE∥PB， ∴ AE AF BP BF  即 x a x a x  ， ∴ 2 2 0x ax a   ， 解得： 5 2 a ax  或 5 2 a ax   (舍去)， 即 BF=AE= 5 2 a a ， ∴ 5 1 2 AE BF AD AB   ， ∴ E 、 F 分别是 AD 、 AB 的黄金分割点． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比 例、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息的关联点，确定解题思路，进而推理、 探究、发现和计算． 28.如图，在平面直角坐标系中，函数 2 2 3y ax ax a     0a  的图像交 x 轴于点 A 、B ，交 y 轴于点C ， 它的对称轴交 x 轴于点 E ．过点C 作 / /CD x 轴交抛物线于点 D ，连接 DE 并延长交 y 轴于点 F ，交抛物 线于点G ．直线 AF 交 CD 于点 H ，交抛物线于点 K ，连接 HE 、GK ． 备用图 （1）点 E 的坐标为：______； （2）当 HEF 是直角三角形时，求 a 的值； （3） HE 与GK 有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)(1,0)；(2) 3 3 或 1 3 ；(3)平行，理由见解析 【解析】 【分析】 (1)根据二次函数的对称轴为 2 bx a   ，代入即可求出 E 点坐标； (2)将 ED、AF 的解析式用 a 的代数式表示，然后由 DE 解析式令 y=0 求出 F 点坐标，由 AF 解析式令 y= 3a 求出 H 点坐标，再根据△HEF 是直角三角形分哪个顶点为直角顶点进行讨论，由勾股定理求解即可； (3)直线 DE 和抛物线联立方程组求出 G 点坐标，直线 AF 和抛物线联立方程组求出 K 点坐标，最后计算直 线 GK 的 k 和直线 HE 的 k 相等即可求解． 【详解】解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为 2 12 ( )     ax a ， ∴E 点的坐标为(1,0)， 故答案为(1,0)． (2)由题意知，C 点坐标为(0,3a)，C 和 D 点关于对称轴对称，∴D 坐标为(2,3a)， 设直线 DE 的解析式为 y=kx+m，代入 E(1,0)和 D(2,3a)， 即 3 2 0      a k m k m ，解得 =3 3     k a m a ， ∴直线 DE 的解析式为 y=3ax-3a， 令 y=0，∴F(0,-3a)， 令 2 2 3y ax ax a    中 0y  ，即： 2 2 3 =0  ax ax a ， 解得 1 21, 3x x   ，∴A(-1，0)， 设直线 AF 的解析式为 y=bx+t，代入 A(-1,0)，F(0,-3a), 即 3 0       a t b t ，解得 3 3      b a t a ， ∴直线 AF 的解析式为 y=-3ax-3a， 令 y=-3ax-3a 中 y=3a，解得 H 点坐标(-2，3a)， ∴H(-2，3a)，E(1，0)，F(0,-3a) 故 EF²=(1-0)²+(0+3a)²=1+9a²， EH²=(1+2)²+(0-3a)²=9+9a²， FH²=(0+2)²+(-3a-3a)²=36a²+4， ∵△EFH 为直角三角形，∴分类讨论谁是直角顶角， 情况一：∠E 为直角顶角时，则 EF²+EH²=FH²， 即：1+9a²+9+9a²=36a²+4，解得：a= 3 3  ，又 a>0，故 a= 3 3 ； 情况二：∠F 为直角顶角时，则 EF²+FH²=EH²， 即：1+9a²+36a²+4=9+9a²，解得：a= 1 3  ，又 a>0，故 a= 1 3 ； 情况三：∠H 为直角顶角时，则 FH²+EH²=EF²， 即：36a²+4+9+9a²=1+9a²，此时无解； ∴综上所述，a 的值为 3 3 或 1 3 ； 故答案为： 3 3 或 1 3 ； (3)联立直线 DF 与抛物线的解析式： 2 3 3 2 3        y ax a y ax ax a ，整理得： 2 6 0x x   ， 解得 1 2x  ， 2 3x   ，∴G 点坐标为(-3,-12a)， 同理，联立直线 AF 与抛物线的解析式： 2 3 3 2 3         y ax a y ax ax a ，整理得： 2 5 6 0x x   ， 解得 1 1x   ， 2 6x  ，∴K 点坐标为(6,-21a)， ∴直线 GK 的 12 ( 21 ) 3 6       a ak a ， 直线 HE 的 3 0 2 1     ak a ， 即直线 GK 的 k 值与直线 HE 的 k 值相同， ∴GK 与 HE 平行． 故答案为： HE 与GK 有怎样的位置关系是平行． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，二次函数与一次函数的交点坐标的求法，一次函数的解析式， 直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质，学会联立方程组求函数的交点坐标是解决本题的 关键．