数学华东师大版九年级上册教案24-2 直角三角形的性质 3页

1 24.2 直角三角形的性质 教学目标 1．理解并掌握直角三角形的性质； 2．能利用直角三角形的性质解决问题． 教学重难点 【教学重点】 直角三角形的性质. 【教学难点】 用直角三角形的性质解决问题. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入 用两个全等的含 30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的 发现和大家交流一下． 二、合作探究 探究点一：直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1)若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长； (2)求证：EF 垂直平分 AD. 解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得 DE＝AE＝1 2 AB，DF＝AF＝1 2 AC， 再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的 垂直平分线上”证明即可． (1)解：∵AD 是△ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中点，∴DE＝AE＝1 2 AB＝1 2 ×10＝5，DF＝ AF＝1 2 AC＝1 2 ×8＝4，∴四边形 AEDF 的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18； (2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F 在线段 AD 的垂直平分线上，∴EF 垂直平分 AD. 2 方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的 中线的性质进行求解． 探究点二：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 等腰三角形的一个底角为 75°，腰长 4cm，那么腰上的高是________cm，这个三角形 的面积是________cm2. 解析：因为 75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为 180°”可知等腰三角形的顶角为 30°，依题意画出图形，则有∠A＝30°，BD⊥AC，AB＝4cm，所以 BD＝2cm，S△ABC＝1 2 AC·BD ＝1 2 ×4×2＝4(cm2)．故答案为 2，4. 方法总结：作出准确的图形、构造含 30°角的直角三角形是解决此题的关键． 如图，某船于上午 11 时 30 分在 A 处观测到海岛 B 在北偏东 60°方向；该船以每小时 10 海里的速度向东航行到 C 处，观测到海岛 B 在北偏东 30°方向；航行到 D 处，观测到海 岛 B 在北偏西 30°方向；当船到达 C 处时恰与海岛 B 相距 20 海里．请你确定轮船到达 C 处 和 D 处的时间． 解析：根据题意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA 的度数，根据直角三角形的性质求出 BC、AC、CD 的长度．根据速度、时间、路程关系式求出时间． 解：由题意得∠BCD＝90°－30°＝60°，∠BDC＝90°－30°＝60°.∴∠BCD＝∠BDC＝ 60°，∴△BCD 为等边三角形．在△ABD 中，∵∠BAD＝90°－60°＝30°，∠BDC＝60°， ∴∠ABD＝90°，即△ABD 为直角三角形，∴∠ABC＝30°.∵BC＝20 海里，∴CD＝BD＝20 海 里．又∵BD＝1 2 AD，∴AD＝40 海里．∴AC＝AD－CD＝20(海里)．∵船的速度为每小时 10 海 里，因此轮船从 A 处到 C 处的时间为20 10 ＝2(h)，从 A 处到 D 处的时间为40 10 ＝4(h)．∴轮船到 达 C 处的时间为 13 时 30 分，到达 D 处的时间为 15 时 30 分． 方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键， 再利用含 30°角的直角三角形的性质解题． 三、板书设计 直角三角形的性质： 1．直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2．含 30°锐角的直角三角形的性质 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 四、教学反思 3 在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不 能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系，这在教学中 要注意强调，这是学生常犯的错误.