2021年中考数学专题复习 专题11 一元二次方程及其应用（学生版） 7页

专题 11 一元二次方程及其应用 1．一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫 做一元二次方程。 2．一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是 一次项系数；c 是常数项。 3．一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。 4．一元二次方程的解法 (1)直接开方法：适用形式：x2=p、(x+n)2=p 或(mx+n)2=p。 (2)配方法：套用公式 a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①将已知方程化为一般形式； ②化二次项系数为 1； ③常数项移到右边； ④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q ≥0，方程的根是 x=-p±√q；如果 q＜0,方程无实根． (3)公式法： 当 b2-4ac≥0 时，方程 ax2+bx+c=0 的实数根可写为： a acbbx 2 42  的形式，这个式子叫做一元二次 方程 ax2+bx+c=0 的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 其中：b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。 ①Δ=b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根。 a acbbx 2 42 1  ， a acbbx 2 42 2  ②Δ=b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根。 a bxx 221  ③Δ=b2-4ac＜0 时，方程无实数根。 定义：b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。 (4)因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一 元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 5.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤 第 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系； 第 2 步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数； 第 3 步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程； 第 4 步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法； 第 5 步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第 6 步：答。 【例题 1】(2020•临沂)一元二次方程 x2﹣4x﹣8＝0 的解是( ) A．x1＝﹣2+2 ，x2＝﹣2﹣2 B．x1＝2+2 ，x2＝2﹣2 C．x1＝2+2，x2＝2﹣2 D．x1＝2 ，x2＝﹣2 【对点练习】(2019•浙江金华)用配方法解方程 x2-6x-8=0 时，配方结果正确的是( ) A. (x-3)2=17 B. (x-3)2=14 C. (x-6)2=44 D. (x-3)2=1 【对点练习】(2019 年山东省威海市)一元二次方程 3x2＝4﹣2x 的解是 ． 【例题 2】(2020•菏泽)等腰三角形的一边长是 3，另两边的长是关于 x 的方程 x2﹣4x+k＝0 的两个根，则 k 的值为( ) A．3 B．4 C．3 或 4 D．7 【对点练习】(2019 内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为 a，b，4，且 a，b 是关于 x 的一元二次 方程 x2-12x+m+2=0 的两根，则 m 的值是( ) A. 34 B.30 C.30 或 34 D.30 或 36 【例题 3】(2020 贵州黔西南)已知关于 x 的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围 是( ) A. m＜2 B. m≤2 C. m＜2 且 m≠1 D. m≤2 且 m≠1 【对点练习】(2019 湖北咸宁)若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m＝0 有实数根，则实数 m 的取值范围是( ) A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【例题 4】(2020•衡阳)如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长 35 米、宽 20 米的矩形．为便于管 理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 600 平方米，则小道的宽为多少米？若设小 道的宽为 x 米，则根据题意，列方程为( ) A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．(35﹣2x)(20﹣x)＝600 D．(35﹣x)(20﹣2x)＝600 【对点练习】(2019 哈尔滨)某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，则平均每 次降价的百分率为( ) A．20% B．40% C．18% D．36% 一、选择题 1．(2020•凉山州)一元二次方程 x2＝2x 的根为( ) A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0 或 x＝2 D．x＝0 或 x＝﹣2 2．(2020•怀化)已知一元二次方程 x2﹣kx+4＝0 有两个相等的实数根，则 k 的值为( ) A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2 3．(2020•黑龙江)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣(2k+1)x+k2+2k＝0 有两个实数根 x1，x2，则实数 k 的取值 范围是( ) A．k＜1/4 B．k≤1/4 C．k＞4 D．k≤1/4 且 k≠0 ≤1/44．(2020•泰安)将一元二次方程 x2﹣8x﹣5＝0 化成(x+a)2＝b(a，b 为常数)的形式，则 a，b 的值分别 是( ) A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 5．(2020•黑龙江)已知 2+ 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m＝0 的一个实数根，则实数 m 的值是( ) A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1 6．(2020•滨州)对于任意实数 k，关于 x 的方程 x2/2-(k+5)x+k2+2k+25＝0 的根的情况为( ) A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定 7. (2019•湖南衡阳)国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区 2016 年底 有贫困人口 9 万人，通过社会各界的努力，2018 年底贫困人口减少至 1 万人．设 2016 年底至 2018 年底该 地区贫困人口的年平均下降率为 x，根据题意列方程得( ) A．9(1﹣2x)＝1 B．9(1﹣x)2＝1 C．9(1+2x)＝1 D．9(1+x)2＝1 二、填空题 8．(2020•辽阳)若关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣k＝0 无实数根，则 k 的取值范围是 ． 9．(2020•烟台)关于 x 的一元二次方程(m﹣1)x2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围 是 ． 10．(2020•扬州)方程(x+1)2＝9 的根是 ． 11．(2020•上海)如果关于 x 的方程 x2﹣4x+m＝0 有两个相等的实数根，那么 m 的值是 ． 12．(2020•天水)一个三角形的两边长分别为 2 和 5，第三边长是方程 x2﹣8x+12＝0 的根，则该三角形的周 长为 ． 13.(2019 年江苏省扬州市)一元二次方程 x(x﹣2)＝x﹣2 的根是 ． 14.(2019 湖北十堰)对于实数 a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a+b)2﹣(a﹣b)2．若(m+2)◎(m﹣3)＝24， 则 m＝ ． 15. (2019 吉林长春)一元二次方程 x2-3x+1=0 根的判别式的值为________. 16.(2019 年甘肃省天水市)中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2016 年人均年收入 20000 元，到 2018 年人均年收入达到 39200 元．则该地区居民年人均收入平均增长率 为 ．(用百分数表示) 17.(2019 年江苏省连云港市)已知关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+2﹣c＝0 有两个相等的实数根，则 +c 的 值等于 ． 三、解答题 18．(2020•河北)有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 A 区就会自动加上 a2，同时 B 区就会自动减去 3a， 且均显示化简后的结果．已知 A，B 两区初始显示的分别是 25 和﹣16，如图． 如，第一次按键后，A，B 两区分别显示： (1)从初始状态按 2 次后，分别求 A，B 两区显示的结果； (2)从初始状态按 4 次后，计算 A，B 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由． 19．(2020•孝感)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣(2k+1)x k2﹣2＝0． (1)求证：无论 k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根 x1，x2 满足 x1﹣x2＝3，求 k 的值． 20．(2020•重庆)为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产 量，某农业科技小组对 A，B 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年 A、B 两个品种各种植了 10 亩．收 获后 A、B 两个品种的售价均为 2.4 元/kg，且 B 品种的平均亩产量比 A 品种高 100 千克，A、B 两个品种全 部售出后总收入为 21600 元． (1)求 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ (2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计 A、B 两个品种平均 亩产量将在去年的基础上分别增加 a%和 2a%．由于 B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础 上上涨 a%，而 A 品种的售价保持不变，A、B 两个品种全部售出后总收入将增加 a%．求 a 的值． 21.(2019 北京市)关于 x 的方程 2 2 2 1 0x x m    有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方程的根． 22.(2019•湖南衡阳)关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+k＝0 有实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3＝0 与方程 x2﹣3x+k＝0 有一个相同的 根，求此时 m 的值． 23. (2019•湖南长沙)近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参 与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益 课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次． (1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； (2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？