2019年北京市市通州区中考数学模拟试卷（含答案） 19页

北京市通州区 2019 年中考数学模拟试卷 一．选择题（满分 30 分，每小题 3 分） 1．A，B，C 三点在同一直线上，线段 AB＝5cm，BC＝4cm，那么 A，C 两点的距离是（　　） A．1cm B．9cm [来源:学.科.网] C．1cm 或 9cm D．以上答案都不对 2．如图，数轴上有 A，B，C，D 四个点，其中表示绝对值相等的两个实数的点是（　　） A．点 A 与点 D B．点 B 与点 D C．点 B 与点 C D．点 C 与点 D 3．我县人口约为 530060 人，用科学记数法可表示为（　　） A．53006×10 人 B．5.3006×105 人 C．53×104 人 D．0.53×106 人 4．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面 的哪个平面图形？（　　） A． B． C． D． 5．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．化简 的结果是（　　） A． B． C．a﹣b D．b﹣a 7．二次函数 y＝ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①a＜0；②b＞0；③b2 ﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；其中结论正确的个数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8．黄帅拿一张正方形的纸按如图所示沿虚线连 续对折后剪去带直角的部分，然后打开后的 形状是（　　） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，已知线段 AB 的两个端点分别是 A（4，﹣1），B（1，1）将线段 AB 平移后得到线段 A′B′，若点 A 的坐标为（﹣2，2），则点 B′的坐标为（　　） A．（﹣5，4） B．（4，3） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 10．某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加 10 场比赛，各场得分情况如图，下列四个结论中， 正确的是（　　） [来源:学科网 ZXXK] A．甲运动员得分的平均数小于乙运动员得分的平均数 B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数 C．甲运动员得分的最小值大于乙运动员得分的最小值 D．甲运动员得分的方差大于乙运动员得分的方差 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 11．在函数 中，自变量 x 的取值范围是_______． 12．用 4 块完全相同的长方形拼成正方形（如图），用不同的方法，计算图中阴影部分的面 积，可得到 1 个关于 a，b 的等式为__________． 13．在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过 多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.25 附近，则估计口袋中白球大约有　 　 个． 14．如图，直线 AD∥BE∥CF，BC＝ AC，DE＝6，那么 EF 的值是_________． 15．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数 学史上首次引用负数．如果+20%表示“增加 20%”，那“减少 6%”可以记作_________． 16．在△ABC 中，已知∠CAB＝60°，D.E 分别是边 AB.AC 上的点，且∠AED＝60°，ED+DB＝ CE，∠CDB＝2∠CDE，则∠DCB 等于___________． 三．解答题（共 13 小题，满分 72 分） 17．（5 分）计算： ﹣|1﹣ |﹣s in30°+2﹣1． 18．（5 分）解不等式组 19．（5 分）如图，矩形 ABCD 中，CE⊥BD 于 E，CF 平分∠DCE 与 DB 交于点 F． （1）求证：BF＝BC； （2）若 AB＝4cm，AD＝3cm，求 CF 的长． 20．（5 分）如图，已知反比例函数 y＝ 的图象与一次函数 y＝x+b 的图象交于点 A（1， 4），点 B（﹣4，n）． （1）求 n 和 b 的值； （2）求△OAB 的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量 x 的取值范围． 21．（5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx﹣6＝0． （1）求证：不论 m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若 m＝1，用配方 法解这个一元二次方程． 22．（5 分）某单位有职工 200 人，其中青年职工（20﹣35 岁），中年职工（35﹣50 岁），老 年职工（50 岁及以上）所占比例如扇形统计图所示．为了解该单位职工的健康情况，小张、 小王和小李各自对单位职工进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别 为表 1.表 2 和表 3． 表 1：小张抽样调查单位 3 名职工的健康指数 年龄 26 42 57 健康指数 97 79 72 表 2：小王抽样调查单位 10 名职工的健康指数 年龄 23 25 26 32 33 37 39 42 48 52 健康指数 93 89 90 83 79[来源:Zxxk.Com] 75 80 69 68 60 表 3：小李抽样调查单位 10 名职工的健康指数 年龄 22 29 31 36 39 40 43 46 51 55 健康指数 94 90 88 85 82 78 72 76 62 60 根据上述材料回答问题： （1）扇形统计图中老年职工所占部分的圆心角度数为_______ （2）小张、小王和小李三人中，______的抽样调查的数据能够较 好地反映出该单位职工健 康情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处． 23．（5 分）如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分 线分别交 AB，BD，BC 于点 E，F， G，连接 ED，DG． （1）请判断四边形 EBGD 的形状，并说明理由； （2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2 ，点 H 是 BD 上的一个动点，求 HG+HC 的最小 值． 24．（5 分）如图，点 O 是△ABC 的边 AB 上一点，⊙O 与边 AC 相切于点 E，与边 BC，AB 分别 相交于点 D，F，且 DE＝EF． （1）求证：∠C＝90°； （2）当 BC＝3，sinA＝ 时，求 AF 的长． 25．（5 分）阅读下列材料 ：阅读下列材料： 在《北京城市总体规划（2004 年﹣2020 年）》中，房山区被确定为城市发展新区和生态涵 养区，承担着首都经济发展、生态涵养、人口疏解和休闲度假等功能． 近年来房山区地区生产总值和财政收入均稳定增长．2011 年房山区地方生产总值是 416.0 亿元；2012 年是科学助力之年，地方生产总值 449.3 亿元，比上一年增长 8.0%；2013 年 房山努力在区域经济发展上取得新突破，地方生产总值是 481.8 亿元，比上年增长 7.2%； 2014 年房山区域经济稳中提质，完成地方生产总值是 519.3 亿元，比上年增长 7.8%；2015 年房山区统筹推进稳增长，地区生产总值是 554.7 亿元，比上年增长了 6.8%；2016 年经 济平稳运行，地区生产总值是 593 亿元，比上年增长了 6.9%． 根据以上材料解答下列问题： （1）选择折线图或条形图将 2011 年到 2016 年的地方生产总值表示出来，并在图中标明相 应数据； （2）根据绘制的统计图中的信息，预估 2017 年房山区地方生产总值是________ 亿元， 你的预估理由是_________． 26．（5 分）已知 y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围是 x≠0 的全体实数，如表是 y 与 x 的 几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 … y … ﹣ ﹣ ﹣ m … 小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律，对该函数的图 象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）从表格中读出，当自变量是﹣2 时，函数值是________； （2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出 的点，画出该函数的图象； （3）在画出的函数图象上标出 x＝2 时所对应的点，并写出 m＝_________． （4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_________． 27．（7 分）对于二次函数 y＝mx2+（5m+3）x+4m（m 为常数且 m≠0）有以下三种说法： ①不论 m 为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）； ②当 m＝﹣1 时，函数图象与坐标轴有 3 个交点； ③当 m＜0，x≥﹣ 时，函数 y 随 x 的增大而减小； 判断真假，并说明理由． 28．（7 分）已知如图是边长为 10 的等边△ABC． （1）作图：在三角形 ABC 中找一点 P，连接 PA.PB.PC，使△PAB.△PBC.△PAC 面积相 等．（不写作法，保留痕迹．） （2）求点 P 到三边的距离和 PA 的长．[来源:学科网] 29．（8 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，将对角线 AC 绕对角线交点 O 旋转，分 别交边 AD.BC 于点 E.F，点 P 是边 DC 上的一个动点，且保持 DP＝AE，连接 PE.PF，设 AE＝x （0＜x＜3）． （1）填空：PC＝_______，FC＝_______-；（用含 x 的代数式表示） （2）求△PEF 面积的最小值； （3）在运动过程中，PE⊥PF 是否成立？若成立，求出 x 的值；若不成立，请说明理由． 参考答案 一．选择题 1．解：第一种情况：C 点在 AB 之间上，故 AC＝AB﹣BC＝1cm； 第二种情况：当 C 点在 AB 的延长线上时，AC＝AB+BC＝9cm． 故选：C． 2．解：|﹣2|＝2，|﹣1|＝1＝|1|，|3|＝3， 故选：C． 3．解：∵530060 是 6 位数， ∴10 的指数应是 5， 故选：B． 4．解：∵主视图和左视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， ∵俯视图是一个圆， ∴此几何体为圆柱， 因此图 A 是圆柱的展开图． 故选：A． 5．解：A.是中心对称图形，故本选项错误； B.不是中心对称图形，故本选项正确； C.是中心对称图形，故本选项错误； D.是中心对称图形，故本选项错误； 故选：B． 6．解：原式＝ ＝ ． 故选：B． 7．解：①∵抛物线开口向下， ∴a＜0，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线 x＝﹣1， ∴﹣ ＝﹣1， ∴b＝2a＜0，结论②错误； ③∵抛物线与 x 轴有两个交点， ∴△＝b2﹣4ac＞0，结论③正确； ④∵当 x＝1 时，y＜0， ∴a+b+c＜0，结论④正确． 故选：C． 8．解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从直角顶点处剪去一个直角三角形， 展开得到结论．故选 C． 9．解：∵点 A（4，﹣1）向左平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到 A′（ ﹣2，2）， ∴点 B（1，1）向左平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的对应点 B′的坐标为（﹣5， 4）． 故选：A． 10．解：A.由图可知甲运动员得分 8 场得分大于乙运动员得分，所以甲运动员的得分平均数 大于乙运动员的得分平均数，此选项错误； B.由图可知甲运动员 8 场得分大于乙运动员得分，所以甲运动员得分的中位数大于乙运动员 得分的中位数，此选项错误； C.由图可知甲运动员得分最小值是 5 分以下，乙运动员得分的最小值是 5 分以上，甲运动员 得分的最小值小于乙运动员得分的最小值，此选项正错误； D.由图可 知甲运动员得分数据波动性较大，乙运动员得分数据波动性较小，乙运动员的成 绩比甲运动员的成绩稳定，甲运动员得分的方差大于乙运动员得分的方差，此选项正确． 故选：D． 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 11．解：根据题意，知 ， 解得：x≥4， 故答案为：x≥4． 12．解：S 阴影＝4S 长方 形＝4ab①， S 阴影＝S 大正方形﹣S 空白小正方形＝（a+b）2﹣（b﹣a）2②， 由①②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab． 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab． 13．解：设白球个数为：x 个， ∵摸到红色球的频率稳定在 0.25 左右， ∴口袋中得到红色球的概率为 0.25， ∴ ＝ ， 解得：x＝15， 即白球的个数为 15 个， 故答案为：15． 14．解：∵BC＝ AC， ∴ ＝ ， ∵直线 AD∥BE∥CF， ∴ ＝ ，即 ＝ 解得：EF＝3， 故答案为：3． 15．解：根据正数和负数的定义可知，“减少 6%”可以记作﹣6%． 故答案为：﹣6%． 16．解：延长 AB 到 F 使 BF＝AD，连接 CF，如图， ∵∠CAD＝60°，∠AED＝60°， ∴△ADE 为等边三角形， ∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°， ∴∠BDE＝180°﹣∠ADE＝120°， ∵∠CDB＝2∠CDE， ∴3∠CDE＝120°，解得∠CDE＝40°， ∴∠CDB＝2∠CDE＝80°， ∵BF＝AD， ∴BF＝DE， ∵DE+BD＝CE， ∴BF+BD＝CE，即 DF＝CE， ∵AF＝AD+DF，AC＝AE+CE， ∴AF＝AC， 而∠BAC＝60°， ∴△AFC 为等边三角形， ∴CF＝AC，∠F＝60°， 在△ACD 和△FCB 中 ， ∴△ACD≌△FCB （SAS）， ∴CB＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB＝80°， ∴∠DCB＝180﹣（∠CBD+∠CDB）＝20°． 三．解答题（共 13 小题，满分 72 分） 17．解：原式＝3 ﹣ +1﹣ + ＝2 +1． 18．解：解不等式 2x+1≥﹣1，得：x≥﹣1， 解不等式 x+1＞4（x﹣2），得：x＜3， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜3． 19．证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ BCD＝90°， ∴∠CDB+∠DBC＝90°． ∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝90°． ∴∠ECB＝∠CDB． ∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF， ∴∠CFB＝∠BCF ∴BF＝BC （2）∵四边形 ABCD 是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）． 在 Rt△BCD 中，由勾股定理得 BD＝ ＝5． 又∵BD•CE＝BC•DC， ∴CE＝ ． ∴BE＝ ． ∴EF＝BF﹣BE＝3﹣ ． ∴CF＝ cm． 20．解：（1）把 A 点（1，4）分别代入反比例函数 y＝ ，一次函数 y＝x+b， 得 k＝1×4，1+b＝4， 解得 k＝4，b＝3， ∵点 B（﹣4，n）也在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴n＝ ＝﹣1； （2）如图，设直线 y＝x+3 与 y 轴的交点为 C， ∵当 x＝0 时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝ ×3×1+ ×3×4＝7.5； （3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4）， ∴根据图象可知：当 x＞1 或﹣4＜x＜0 时，一次函数值大于反比例函数值． 21．（1）证明：△＝m2﹣4×1×（﹣6）＝m2+24． ∵m2≥0， ∴m2+24＞0，即△＞0， ∴不论 m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当 m＝1 时，原方程为 x2+x﹣6＝0， 移项，得：x2+x＝6， 配方，得：x2+2× x+（ ）2＝6+（ ）2，即（x+ ）2＝（ ）2， 开方，得：x+ ＝± ， ∴x1＝2，x2＝﹣3． 22．解：（1）扇形统计图中老年职工所占部分的圆心角度数为 360°×20%＝72°， 故答案为：72°； （2）小李的抽样调查的数据能够较好地反映出该单位职工健康情况， 小张的抽样调查的数据只有 3 个，样本容量太少． 小王的抽样调查的数据主要集中在中青 年职工，样本不够全面． 故答案为：小李． 23．解：（1）四边形 EBGD 是菱形． 理由：∵EG 垂直平分 BD， ∴EB＝ED，GB＝GD， ∴∠EBD＝∠EDB， ∵∠EBD＝∠DBC， ∴∠EDF＝∠GBF， 在△EFD 和△GFB 中， ， ∴△EFD≌△GFB， ∴ED＝BG， ∴BE＝ED＝DG＝GB， ∴四边形 EBGD 是菱形． （2）作 EM⊥BC 于 M，DN⊥BC 于 N，连接 EC 交 BD 于点 H，此时 HG+HC 最小， 在 Rt△EBM 中，∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝2 ， ∴EM＝ BE＝ ， ∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC， ∴EM∥DN，EM＝DN＝ ，MN＝DE＝2 ， 在 Rt△DNC 中，∵∠DNC＝90°，∠DCN＝45°， ∴∠NDC＝∠NCD＝45°， ∴DN＝NC＝ ， ∴MC＝3 ， 在 Rt△EMC 中，∵∠EMC＝90°，EM＝ ．MC＝3 ， ∴EC＝ ＝ ＝10． ∵HG+HC＝EH+ HC＝EC， ∴HG+HC 的最小值为 10． [来源:Zxxk.Com] 24．解：（1）连接 OE，BE， ∵DE＝EF， ∴ ∴∠OBE＝∠DBE ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE ∴∠OEB＝∠DBE， ∴OE∥BC ∵⊙O 与边 AC 相切于点 E， ∴OE⊥AC ∴BC⊥AC ∴∠C＝90° （2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝ ∴AB＝5， 设⊙O 的半径为 r，则 AO＝5﹣r， 在 Rt△AOE 中，sinA＝ ＝ ＝ ∴r＝ ∴AF＝5﹣2× ＝ 25．解：（1）2011 年到 2016 年的地方生产总值如图所示； （2）设 2014 到 2016 的平均增长率为 x， 则 519.3（1+ x）2＝593， 解得 x≈14%， 用近 3 年的平均增长率估计 2017 年的增长率， 则 2017 年房山区地方生产总值是 593×（1+14%）≈656.02 亿元， 理由是用近 3 年的平均增长率估计 2017 年的增长率． 故答案分别为：656.02，用近 3 年的平均增长率估计 2017 年的增长率． 26．解：（1）当自变量是﹣2 时，函数值是 ； 故答案为： （2）该函数的图象如图所示； （3）当 x＝2 时所对应的点 如图所示， 且 m＝ ； 故答案为： ； （4）函数的性质：当 0＜x＜1 时，y 随 x 的增大而减小． 故答案为：当 0＜x＜1 时，y 随 x 的增大而减小． 27．解：①是真命题 ， 理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m＝（x2+5x+4）m+3x， ∴当 x2+5x+4＝0 时，得 x＝﹣4 或 x＝﹣1， ∴x＝﹣1 时，y＝﹣3；x＝﹣4 时，y＝﹣12； ∴二次函数 y＝mx2+（5m+3）x+4m（m 为常数且 m≠0）的图象一定过定点（﹣1，﹣3）， 故①是真命题； ②是假命题， 理由：当 m＝﹣1 时，则函数为 y＝﹣x2﹣2x﹣4， ∵当 y＝0 时，﹣x2﹣2x﹣4＝0，△＝（﹣2）2﹣4×（﹣ 1）×（﹣4）＝﹣12＜0；当 x＝0 时，y＝﹣4； ∴抛物线与 x 轴无交点，与 y 轴一个交点， 故②是假命题； ③是假命题， 理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m， ∴对称轴 x＝﹣ ＝﹣ ＝﹣ ﹣ ， ∵m＜0，x≥﹣ 时，函数 y 随 x 的增大而减小， ∴ ，得 m＝ ， ∵m＜0 与 m＝ 矛盾， 故③为假命题； 28． 解：（1）如图所示，点 P 即为所求； （2）由（1）可得，点 P 为△ABC 的内角平分线的交点， ∴∠DBP＝30°，∠ADB＝90°，BD＝ BC＝5， ∴PD＝tan30°×BD＝ ， ∴点 P 到三边的距离为 ， ∵Rt△ABD 中，AD＝tan60°×BD＝5 ， ∴AP＝AD﹣PD＝5 ﹣ ＝ ． 29．解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO ∴∠DAC＝∠ACB，且 AO＝CO，∠AOE＝∠COF ∴△AEO≌△CFO（ASA） ∴AE＝CF ∵AE＝x，且 DP＝AE ∴DP＝x，CF＝x，DE＝4﹣x， ∴PC＝CD﹣DP＝3﹣x 故答案为：3﹣x，x （2）∵S△EFP＝S 梯形 EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP， ∴S△EFP＝ ﹣ ﹣ ×x×（3﹣x）＝x2﹣ x+6＝（x﹣ ）2+ ∴当 x＝ 时，△PEF 面积的最小值为 （3）不成立 理由如下：若 PE⊥PF，则∠EPD+∠FPC＝90° 又∵∠EPD+∠DEP＝90° ∴∠DEP＝∠FPC，且 CF＝DP＝AE，∠EDP＝∠PCF＝90° ∴△DPE≌△CFP（AAS） ∴DE＝CP ∴3﹣x＝4﹣x 则方程无解， ∴不存在 x 的值使 PE⊥PF， 即 PE⊥PF 不成立．