2021年中考数学专题复习 专题13 一元一次不等式（组）及其应用（教师版含解析） 25页

专题 13 一元一次不等式(组)及其应用 1．不等式的定义：用不等号“＜”“＞”“≤”“≥”表示不相等关系的式子叫做不等式。 2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成 这个不等式的解集。 3．一元一次不等式的定义：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1， 像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 4.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次 不等式组。 5．不等式的性质： 性质 1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变。 性质 2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 性质 3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 6.一元一次不等式的解法的一般步骤： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为 1. 7．一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集 (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 8．求不等式组解集的规律： 不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈。 不等式组的解集有四种情况: 若 a>b， (1)当 x a x b    时,则不等式的公共解集为 x>a; (2) x a x b    时,不等式的公共解集为 b6，由第 2 个不等式得 x≤8，它们的公共部分是 6＜x≤8 ，故选 B． 8.(2019•山东省德州市)不等式组 的所有非负整数解的和是( ) A．10 B．7 C．6 D．0 【答案】A 【解析】不等式组的非负整数解。分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知 不等式组的非负整数解． ， 解不等式①得：x＞﹣2.5， 解不等式②得：x≤4， ∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4， ∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4， ∴不等式组的所有非负整数解的和是 0+1+2+3+4＝10 9.(2019•江苏无锡)某工厂为了要在规定期限内完成 2160 个零件的任务，于是安排 15 名工人每人每天加工 a 个零件(a 为整数)，开工若干天后，其中 3 人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工 2 个零件，则不能 按期完成这次任务，由此可知 a 的值至少为( ) A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【解析】根据 15 名工人的前期工作量+12 名工人的后期工作量＜2160 列出不等式并解答． 设原计划 n 天完成，开工 x 天后 3 人外出培训， 则 15an＝2160， 得到 an＝144． 所以 15ax+12(a+2)(n﹣x)＜2160． 整理，得 4x+4an+8n﹣8x＜720． ∵an＝144． ∴将其代入化简，得 ax+8n﹣8x＜144，即 ax+8n﹣8x＜an， 整理，得 8(n﹣x)＜a(n﹣x)． ∵n＞x， ∴n﹣x＞0， ∴a＞8． ∴a 至少为 9． 10．(2019•浙江宁波)不等式 ＞x 的解为( ) A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1 【答案】A 【解析】去分母、移项，合并同类项，系数化成 1 即可． ＞x， 3﹣x＞2x， 3＞3x， x＜1 11.(2019 黑龙江绥化)不等式组 1 0 8 4 2 x x x       的解集在数轴上表示正确的是( ) 【答案】B 【解析】解不等式组,用数轴表示不等式组的解集 解①得,x≥1, 解②得,x<2, ∴原不等式组的解集为 1≤x<2,故选 B. 12．(2019•绵阳)红星商店计划用不超过 4200 元的资金，购进甲、乙两种单价分别为 60 元、100 元的商品 共 50 件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利 10 元、20 元，两种商品均售完．若所获利润大 于 750 元，则该店进货方案有( ) A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种 【答案】C 【解析】设该店购进甲种商品 x 件，则购进乙种商品(50﹣x)件，根据“购进甲乙商品不超过 4200 元的资 金、两种商品均售完所获利润大于 750 元”列出关于 x 的不等式组，解之求得整数 x 的值即可得出答案． 设该店购进甲种商品 x 件，则购进乙种商品(50﹣x)件， 根据题意，得： ， 解得：20≤x＜25， ∵x 为整数， ∴x＝20、21、22、23、24， ∴该店进货方案有 5 种。 二、填空题 13．(2020•黔西南州)不等式组 m t ＜ m ， m인 t mt 䁫 Ͳ 的解集为 ． 【答案】﹣6＜x≤13． 【解析】首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可． m t ＜ m ① m인 t mt 䁫 Ͳ ②， 解①得：x＞﹣6， 解②得：x≤13， 不等式组的解集为：﹣6＜x≤13 14．(2020•黔东南州)不等式组 m t ＞ ym 인 m t 䁫 t m 的解集为 ． 【答案】2＜x≤6． 【解析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组 的解集． 解不等式 5x﹣1＞3(x+1)，得：x＞2， 解不等式 x﹣1≤4 t x，得：x≤6， 则不等式组的解集为 2＜x≤6 15.(2020 广东模拟)不等式组 的解集是 ． 【答案】﹣1＜x≤2． 【解析】 ， 解不等式①得，x＞﹣1， 解不等式②得，x≤2， 所以不等式组的解集是﹣1＜x≤2． 16.(2020 四川内江模拟)任取不等式组 3 0, 2 5 0 k k    ≤ ＞ 的一个整数解，则能使关于 x 的方程：2x＋k＝－1 的解 为非负数的概率为______． 【答案】 1 3 【解析】不等式组 3 0, 2 5 0 k k    ≤ ＞ 的解集为－ 5 2 ＜k≤3，其整数解为 k＝－2，－1，0，1，2，3． 其中，当 k＝－2，－1 时，方程 2x＋k＝－1 的解为非负数． 所以所求概率 P＝ 2 6 ＝ 1 3 ． 17.(2019•河南)不等式组 的解集是 ． 【答案】x≤﹣2． 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集． 解不等式 ≤﹣1，得：x≤﹣2， 解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3， 则不等式组的解集为 x≤﹣2 18.(2019 内蒙古包头市)已知不等式组的解集为 x＞-1，则 k 的取值范围是_________. 【答案】k≤-2. 【解析】 不等式组 解不等式①得，x＞-1; 解不等式②得，x＞k+1; ∵原不等式组的解集为 x＞-1， ∴k+1≤-1 解得，k≤-2. 19.(2019 黑龙江大庆)已知 x＝4 是不等式 ax－3a－1<0 的解,x＝2 不是不等式 ax－3a－1<0 的解,则实数 a 的取值范围是______. 【答案】a≤－1 【解析】∵x＝4 是不等式 ax－3a－1<0 的解,所以 4a－3a－1<0,a<1, 因为 x＝2 不是不等式 ax－3a－1<0 的解, 所以 2a－3a－1≥0,所以 a≤－1,所以 a≤－1. 20.(2019•铜仁)如果不等式组 的解集是 x＜a﹣4，则 a 的取值范围是 ． 【答案】a≥﹣3． 【解析】解这个不等式组为 x＜a﹣4， 则 3a+2≥a﹣4， 解这个不等式得 a≥﹣3 故答案 a≥﹣3． 三、解答题 21．(2020•枣庄)解不等式组 䁫ym 인 m 인 ， m t 䁫 ＜ mt ， 并求它的所有整数解的和． 【答案】见解析。 【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可． 䁫ym 인 m 인 ① m t 䁫 ＜ mt ② ， 由①得，x≥﹣3， 由②得，x＜2， 所以，不等式组的解集是﹣3≤x＜2， 所以，它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1， 所以，所有整数解的和为﹣5． 22．(2020•哈尔滨)昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买 1 个大地球仪和 3 个小地 球仪需用 136 元；若购买 2 个大地球仪和 1 个小地球仪需用 132 元． (1)求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元； (2)昌云中学决定购买以上两种地球仪共 30 个，总费用不超过 960 元，那么昌云中学最多可以购买多少个 大地球仪？ 【答案】见解析。 【分析】(1)设每个大地球仪 x 元，每个小地球仪 y 元，根据条件建立方程组求出其解即可； (2)设大地球仪为 a 台，则每个小地球仪为(30﹣a)台，根据要求购买的总费用不超过 960 元，列出不等式 ， m 인 ͵ ݕͲ m 인 ͵ Ͳ 依题意，得： 【解析】(1)设每本甲种词典的价格为 x 元，每本乙种词典的价格为 y 元， 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． (2)设学校购买甲种词典 m 本，则购买乙种词典(30﹣m)本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过 1600 程组，解之即可得出结论； 乙种词典共需 170 元，购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290 元”，即可得出关于 x，y 的二元一次方 【分析】(1)设每本甲种词典的价格为 x 元，每本乙种词典的价格为 y 元，根据“购买 1 本甲种词典和 2 本 【答案】见解析。 (2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共 30 本，总费用不超过 1600 元，那么最多可购买甲种词典多少本？ (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？ 购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290 元． 23．(2020•辽阳)某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买 1 本甲种词典和 2 本乙种词典共需 170 元， 答：最多可以购买 5 个大地球仪． 解得：a≤5， 52a+28(30﹣a)≤960， (2)设大地球仪为 a 台，则每个小地球仪为(30﹣a)台，根据题意可得： 答：每个大地球仪 52 元，每个小地球仪 28 元； ， ͵ m 解得： ， m 인 ͵ m 인 ͵ 【解析】(1)设每个大地球仪 x 元，每个小地球仪 y 元，根据题意可得： 解答即可． 解得： m Ͳ ͵ Ͳ ． 答：每本甲种词典的价格为 70 元，每本乙种词典的价格为 50 元． (2)设学校购买甲种词典 m 本，则购买乙种词典(30﹣m)本， 依题意，得：70m+50(30﹣m)≤1600， 解得：m≤5． 答：学校最多可购买甲种词典 5 本． 24.(2020 福州模拟)某次知识竞赛共有 20 道题，每一题答对得 5 分，答错或不答都扣 3 分． (1) 小明考了 68 分，那么小明答对了多少道题？ (2) 小亮获得二等奖(70～90 分)，请你算算小亮答对了几道题？ 【答案】见解析。 【解析】(1) 设小明答对了 x 道题， 依题意得：5x－3(20－x)＝68． 解得：x＝16． 答：小明答对了 16 道题． (2) 设小亮答对了 y 道题， 依题意得： 5y－3(20－y)≥70 5y－3(20－y)≤90． 因此不等式组的解集为 161 4 ≤y≤183 4 ． ∵ y 是正整数， ∴ y＝17 或 18． 答：小亮答对了 17 道题或 18 道题． 25.(2019 广西省贵港市)解不等式组： 6 2 2( 4) 2 3 3 2 3 x x x x       „ ，并在数轴上表示该不等式组的解集． 【答案】见解析。 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集． 解不等式 6 2 2( 4)x x   ，得： 3 2x   ， 解不等式 2 3 3 2 3 x x „ ，得： 1x„ ， 则不等式组的解集为 3 12 x  „ ， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 26.(2019 北京市)解不等式组： 4( 1) 2, 7 .3 x x x x      【答案】 2x  . 【解析】先求出每个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.取公共部分按 照“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”原则即可. 4( 1) 2 7 3 x x x x      ① ② 由①得 4 4 2x x   3 6x  2x  由②得 7 3x x  7 2x 7 2x  ①和②的公共部分由“小小取小”得原不等式组解集为 2x  . 27.(2019•江苏扬州)解不等式组 ，并写出它的所有负整数解． 【答案】﹣3≤x＜2，所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1． 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集． 解不等式 4(x+1)≤7x+13，得：x≥﹣3， 解不等式 x﹣4＜ ，得：x＜2， 则不等式组的解集为﹣3≤x＜2， 所以不等式组的所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1． 28.(2019 贵州省安顺市)先化简(1+ 3 2 x )÷ 96 1 2 2   xx x ，再从不等式组      423 42 xx x 的整数解中选一个合 适的 x 的值代入求值． 【答案】见解析。 【解析】首先进行分式的加减运算，进而利用分式的混合运算法则进而化简，再解不等式组，得出 x 的值， 把已知数据代入即可． 原式＝ 3 2 3 x x    ×     23 1 ( 1) x x x    ＝ 3 1 x x   解不等式组 2 4 3 2 4 x x x      得﹣2＜x＜4， ∴其整数解为﹣1，0，1，2，3， ∵要使原分式有意义， ∴x 可取 0，2．∴当 x＝0 时，原式＝﹣3， (或当 x＝2 时，原式＝﹣ 3 1 )． 29．(2019•新疆)解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来． 【答案】见解析。 【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 解不等式①得：x＜2， 解不等式②得：x＞1， ∴不等式组的解集为 1＜x＜2， 在数轴上表示不等式组的解集为： ． 30.(2019 四川巴中)在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单 价比乙物品的单价高 10 元，若用 500 元单独购买甲物品与 450 元单独购买乙物品的数量相同． ①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？ ②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共 55 件，总费用不少于 5000 元且不超过 5050 元，通过计算得出共 有几种选购方案？ 【答案】见解析。 【解析】①设乙种物品单价为 x 元，则甲种物品单价为(x+10)元，由题意得： ＝ 解得 x＝90 经检验，x＝90 符合题意 ∴甲种物品的单价为 100 元，乙种物品的单价为 90 元． ②设购买甲种物品 y 件，则乙种物品购进(55﹣y)件 由题意得：5000≤100y+90(55﹣y)≤5050 解得 5≤y≤10 ,∴共有 6 种选购方案． 31.(2019▪湖北黄石)若点 P 的坐标为( ，2x﹣9)，其中 x 满足不等式组 ，求点 P 所在 的象限． 【答案】点 P 在的第四象限． 【解析】先求出不等式组的解集，进而求得 P 点的坐标，即可求得点 P 所在的象限． ， 解①得：x≥4， 解②得：x≤4， 则不等式组的解是：x＝4， ∵ ＝1，2x﹣9＝﹣1， ∴点 P 的坐标为(1，﹣1)，∴点 P 在的第四象限． 32．(2019•遵义)某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有 A，B 两种 客车可供租用，A 型客车每辆载客量 45 人，B 型客车每辆载客量 30 人．若租用 4 辆 A 型客车和 3 辆 B 型客 车共需费用 10700 元；若租用 3 辆 A 型客车和 4 辆 B 型客车共需费用 10300 元． (1)求租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是多少元； (2)为使 240 名师生有车坐，且租车总费用不超过 1 万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？ 【答案】见解析。 【解析】(1)设租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 x 元、y 元， ， 解得， ， 答：租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 1700 元、1300 元； (2)设租用 A 型客车 a 辆，租用 B 型客车 b 辆， ， 解得， ， ， ， ∴共有三种租车方案， 方案一：租用 A 型客车 2 辆，B 型客车 5 辆，费用为 9900 元， 方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆，费用为 9400 元， 方案三：租用 A 型客车 5 辆，B 型客车 1 辆，费用为 9800 元， 由上可得，方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆最省钱．