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- 2021-11-10 发布
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第一篇 过教材·考点透析
第一章 数与式
1.3 整式及因式分解
第 2 页
§ 1.代数式的意义
§ 用运算符号把数和表示数的字母连结而成的
式子,叫做代数式.
§ 2.列代数式
§ 在解决实际问题时,常常先把问题中有关的
§ 数量用代数式表示出来,即列代数式.
§ 3.代数式的值
§ 用数值代替代数式里的字母,按照代数式中
的运算关系,运算所得出的结果,叫做代数
式的值.
第 3 页
§ 4.求代数式的值
§ 求代数式值的方法:①直接代入法:把已知字母的值直接代入运
算.②整体代入法:利用提公因式法、平方差公式和完全平方公
式对所求代数式、已知代数式进行恒等变形来达到简化运算的目
的,再代值运算.
第 4 页
第 5 页
§ 1.单项式与多项式
第 6 页
单项式 多项式
定义
只含有①________________的代数式
叫做单项式,单独的一个数或一个
字母也是单项式
几个单项式的和叫做多项式
系数 单项式中的②____________叫做这个
单项式的系数
项 组成多项式的每个单项式叫做多项式
的项,其中不含字母的项称为常数项
次数 一个单项式中,③________________
_____叫做这个单项式的次数
多项式中,④____________的项的次
数,叫做这个多项式的次数
数与字母的积
数字因数
所有字母的指数
和
次数最高
§ 2.整式
§ 单项式和多项式统称为整式.
§ 3.同类项与合并同类项
§ (1)多项式中所含⑤________相同,并且相
同字母的⑥________也分别相同的项叫做同
类项;同一多项式中,几个常数项也是同类
项.
§ (2)合并同类项:把同类项合并成一项叫做合
并同类项.
§ (3)合并同类项的法则:把同类项的
⑦________相加,所得结果作为系数,
⑧________和⑨__________________不
变.
第 7 页
字母 指数
系数
字母 相同字母的指数
§ 4.去(添)括号的法则
§ (1)括号前面是“+”号,去(添)括号后,括号里各项都不改变符号.
§ (2)括号前面是“-”号,去(添)括号后,括号里各项都
⑩____________.
§ 5.整式的加减
§ 整式的加减运算的实质就是⑪______________,有括号的先去括号,
再合并同类项.
第 8 页
改变符号
合并同类项
§ 6.整式的乘除
第 9 页
运 算 法 则
单项式乘单项式 把系数、同底数幂分别相乘,只在一个单项式里含有的字
母,连同它的指数作为积的一个因式
单项式乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加
多项式乘多项式 用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项,再把
所得的积相加
单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除
式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式 用多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加
§ 特别提示:①单项式乘单项式的结果仍然是
单项式;②单项式与多项式相乘,结果是一
个多项式,其项数与因式中多项式的项数相
同;③计算时要注意符号,多项式的每一项
都包括它前面的符号,同时还要注意单项式
的符号;④多项式与多项式相乘的展开式中,
有同类项的要合并同类项.
第 10 页
7.幂的运算(ab≠0,m、n都是整数)
第 11 页
运算 计算方法 法则
同底数幂的乘法 底数不变,指数相加 am·an=⑫______
同底数幂的除法 底数不变,指数相减 am÷an=⑬______
幂的乘方 底数不变,指数相乘 (am)n=⑭______
积的乘方 把积的每一个因式分别乘方,再
把所得的幂相乘 (ab)m=⑮________
am+n
am-n
amn
ambm
方法点拨:幂的运算法则是互逆的.如a2m+3=(a2)ma3=(am)2a3.
§ 8.乘法公式
§ (1)平方差公式:(a+b)(a-b)=⑯__________.
§ (2)完全平方公式:(a±b)2=⑰_________________.
§ 9.整式的混合运算法则
§ 先算乘方,再算乘除,最后算加减.同级运算从左到右依次进行,
有括号的要先算括号里面的;同时注意运用运算律和乘法公式使
运算简便.
第 12 页
a2-b2
a2±2ab+b2
第 13 页
§ 1.因式分解的概念
§ 把一个多项式化成几个⑱________的
⑲______的形式,叫做把这个多项式因式分
解.
第 14 页
整式
易错提示:因式分解的结果要求:
①整式的积的形式;
②括号里面不能再有括号;
③各括号里不能有同类项;
④各因式不能再分解.
积
第 15 页
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
§ 3.因式分解的步骤
第 16 页
§ 命题点一 整式的运算
§ 1.(2019·泸州中考)计算3a2·a3的结果是
( )
§ A.4a5 B.4a6
§ C.3a5 D.3a6
§ 2.(2019·绵阳中考)已知4m=a,8n=b,其中
m,n为正整数,则22m+6n= ( )
§ A.ab2 B.a+b2
§ C.a2b3 D.a2+b3
第 17 页
C
A
§ 3.(2019·攀枝花中考)下列运算正确的是
( )
§ A.3a2-2a2=a2 B.-(2a)2=-2a2
§ C.(a-b)2=a2-b2 D.-2(a-1)=-
2a+1
§ 4.(2019·内江中考)下列运算正确的是( )
§ A.m2·m3=m6 B.(m4)2=m6
§ C.m3+m3=2m3 D.(m-n)2=m2-
n2
§ 5.(2019·广元中考)下列运算中正确的是
( )
§ A.a5+a5=a10 B.a7÷a=a6
§ C.a3·a2=a6 D.(-a3)2=-a6
第 18 页
A
C
B
§ 6.(2019·南充中考)下列各式计算正确的是
( )
§ A.x+x2=x3 B.(x2)3=x5
§ C.x6÷x2=x3 D.x·x2=x3
第 19 页
D
B
第 20 页
B
D
第 21 页
1
4
a2-b2
a3-b3
a4-b4
§ (2)猜想:
§ (a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=
__________;(其中n为正整数,且n≥2)
§ (3)利用(2)猜想的结论计算:29-28+27-…
+23-22+2.
第 22 页
an-bn
第 23 页
第 24 页
A
C
§ 16.(2018·内江中考)分解因式:a3b-ab3=________________________.
§ 17.(2018·攀枝花中考)分解因式:x3y-2x2y+xy=_______________.
§ 18.(2019·绵阳中考)因式分解:m2n+2mn2+n3=______________.
§ 19.(2019·广元中考)分解因式:a3-4a=____________________.
§ 20.(2019·广安中考)因式分解:3a4-3b4=
__________________________.
§ 21.(2019·宜宾中考)分解因式:
§ b2+c2+2bc-a2=____________________________.
第 25 页
ab(a+b)(a-b)
xy(x-1)2
n(m+n)2
a(a+2)(a-2)
3(a2+b2)(a+b)(a-b)
(b+c+a)(b+c-a)
第 26 页
D
0.8a
第 27 页
A
C
第 28 页
C
8
6
第 29 页
B
§ 30.(2019·云南中考)按一定规律排列的单
项式,x3,-x5,x7,-x9,x11……第n个单
项式为 ( )
§ A.(-1)n-1x2n-1 B.(-1)nx2n-1
§ C.(-1)n-1x2n+1 D.(-1)nx2n+1
§ 31.(2019·甘肃庆阳中考)已知一列数a,b,
a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,…,按照这
个规律写下去,第9个数是______________.
第 30 页
C
13a+21b
§ 突破点一 整式的运算
§ (2019·四川雅安中考)下列计算中,正
确的是 ( )
§ A.a4+a4=a8 B.a4·a4=2a4
§ C.(a3)4·a2=a14 D.(2x2y)3÷6x3y2=
x3y
第 31 页
C
§ 解题技巧:此题主要考查了整式的混合运算,
正确掌握相关运算法则是解题关键.
第 32 页
第 33 页
§ 解题技巧:本题主要考查整式的混合运算,
灵活运用两个乘法公式:完全平方公式和平
方差公式是解题的关键,同时,在去括号的
过程中要注意括号前的符号,若为负号,去
括号后,括号里面的符号要改变.
第 34 页
§ 突破点三 因式分解的应用
§ (2019·辽宁沈阳中考)因式分解:-x2-4y2+4xy=
______________.
§ 思路分析:先提取公因式-1,再套用完全平方公式进行二次因式分
解.
§ 原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.
§ 解题技巧:本题考查利用完全平方公式分解因式,先提取-1是利用公
式的关键.
第 35 页
-(x-2y)2
§ 1.(山东济宁中考)单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项,则m+n的值是 ( )
§ A.2 B.3
§ C.4 D.5
§ 2.(2019·辽宁葫芦岛中考)下列运算正确的是 ( )
§ A.x2·x2=x6 B.x4+x4=2x8
§ C.-2(x3)2=4x6 D.xy4÷(-xy)=-y3
第 36 页
A 双基过关
D
D
第 37 页
C
D
§ 5.(湖南邵阳中考)将多项式x-x3因式分解
正确的是 ( )
§ A.x(x2-1) B.x(1-x2)
§ C.x(x+1)(x-1) D.x(1+x)(1-x)
§ 6.(重庆中考)若x=-3,y=1,则代数式2x
-3y+1的值为 ( )
§ A.-10 B.-8
§ C.4 D.10
§ 7.(湖北武汉中考)计算(x+1)(x+2)的结果
为 ( )
§ A.x2+2 B.x2+3x+2
§ C.x2+3x+3 D.x2+2x+2
第 38 页
D
B
B
§ 8.(2019·四川资阳中考)下列各式中,计算
正确的是 ( )
§ A.a3·a2=a6 B.a3+a2=a5
§ C.a6÷a3=a2 D.(a3)2=a6
§ 9.(2019·四川巴中中考)下列四个算式中,
正确的是 ( )
§ A.a+a=2a B.a5÷a4=2a
§ C.(a5)4=a9 D.a5-a4=a 第 39 页
D
A
§ 10.(2019·四川攀枝花中考)分解因式:a2b-b=____________________.
§ 11.(2019·四川内江中考)分解因式:xy2-2xy+x=_____________.
§ 12.(2018·四川达州中考)已知am=3,an=2,则a2m-n的值为_______.
§ 13.(2019·内蒙古赤峰中考)因式分解:x3-2x2y+xy2=______________.
§ 14.(2019·湖南常德中考)若x2+x=1,则3x4+3x3+3x+1的值为_____.
§ 15.(河北中考)若a、b互为相反数,则a2-b2=_____.
§ 16.(江苏苏州中考)若a+b=4,a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2的值为______.
第 40 页
b(a+1)(a-1)
x(y-1)2
4.5
x(x-y)2
4
0
12
§ 17.(2019·甘肃兰州中考)化简:a(1-2a)+
2(a+1)(a-1).
§ 解:原式=a-2a2+2(a2-1)=a-2a2+2a2
-2=a-2.
§ 18.(2019·浙江湖州中考)化简:(a+b)2-
b(2a+b).
§ 解:原式=a2+2ab+b2-2ab-b2=a2.
第 41 页
第 42 页
§ 21.(宁夏中考)如图,从边长为a的大正方形
中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分
沿虚线剪开,拼成右边的矩形.根据图形的
变化过程写出的一个正确的等式是
( )
§ A.(a-b)2=a2-2ab+b2
§ B.a(a-b)=a2-ab
§ C.(a-b)2=a2-b2
§ D.a2-b2=(a+b)(a-b)
第 43 页
B 满分过关
D
§ 22.(吉林长春中考)如图,将边长为3a的正
方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方
形.若拿掉边长2b的小正方形后,再将剩下
的三块拼成一块矩形,则这块矩形较长的边
长为 ( )
§ A.3a+2b
§ B.3a+4b
§ C.6a+2b
§ D.6a+4b 第 44 页
A
§ 23.(2019·四川资阳中考)4张长为a、宽为
b(a>b)的长方形纸片,按如图的方式拼成一
个边长为(a+b)的正方形,图中空白部分的
面积为S1,阴影部分的面积为S2.若S1=2S2,
则a、b满足 ( )
§ A.2a=5b
§ B.2a=3b
§ C.a=3b
§ D.a=2b 第 45 页
D
§ 24.(四川资阳中考)如图,两个三角形的面
积分别是9,6,对应阴影部分的面积分别是m、
n,则m-n等于 ( )
§ A.2
§ B.3
§ C.4
§ D.无法确定
第 46 页
B
§ 25.(贵州黔东南中考)
我国古代数学的许多创
新和发展都位居世界前
列,如南宋数学家杨辉
(约13世纪)所著的《详
解九章算术》一书中,
用如图的三角形解释二
项和(a+b)n的展开式
的各项系数,此三角形
称为“杨辉三角”.
第 47 页
根 据 “ 杨 辉 三 角 ” 请 计 算 ( a + b ) 2 0 的 展 开 式 中 第 三 项 的 系 数 为
( )
A.2017 B.2016
C.191 D.190
D
第 48 页
2
4
7
第 49 页
11 9
10
§ 27.(浙江衢州中考)有一张边长为a厘米的正
方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长
增加b厘米,木工师傅设计了如图所示的三种
方案:
第 50 页
小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=(a+b)2,对于方案一,小
明是这样验证的:
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.
§ 请你根据方案二、方案三,写出公式的验证
过程.
§ 方案二:
§ 方案三:
第 51 页