人教版初中数学九年级下册课件27.2.1 相似三角形的判定 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 29页

第二十七章 相 似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 27.2.1 相似三角形的判定 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 学习目标 1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并 能进行相关计算. (重点、难点) 3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行 相关计算. 学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°， 30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手 上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？ 导入新课 情境引入 ？？？ 讲授新课 问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长， 并计算出它们的比值. 你有什么发现？ C A B A' B' C' 两角分别相等的两个三角形相似一 合作探究 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′， 使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题： 这两个三角形是 相似的 证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上， 截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E， 则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B. ∵∠B=∠B′， ∴∠ADE=∠B′. 又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′， ∴△ADE ≌ △A′B′C′， ∴△A′B′C′ ∽△ABC. C A A' B B' C' D E 问题二 试证明△A′B′C′∽△ABC. 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： C A B A' B' C' 归纳： 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证： △ADE∽△EFC. A E FB C D 证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. 练一练 证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ， ∠B=80 ° ， ∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△DEF中，∠E=80 °， ∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F. 　 ∴ △ABC ∽△DEF. 例1 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°， ∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF. A CB FE D 典例精析 例2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙ O 内一点 P，求证： PA · PB=PC · PD. 证明:连接AC，DB. ∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角， ∴ ∠A= _______， 同理 ∠C= _______， ∴ △PAC ∽ △PDB， ∴______ 即PA ·PB = PC · PD. ∠D ∠B PA PC PD PB  O D C B A P 1. 如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=60°，∠B =40°，∠A' = 60°，当∠C'= 时，△ABC ∽ △A'B'C'. 练一练 C A B B' C' A' 80° 2. 如图，⊙ O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3， PB = 8，PC = 4，则 PD = . 6 O D C B A P ∴ AD AE .AC AB  解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° . 又∠C=90 °，∠A=∠A， ∴ △AED ∽△ABC. 判定两个直角三角形相似二 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10， AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足 为D. 求AD的长. DA B C E ∴ 8 5 4.10 AC AEAD AB     由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 归纳： 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL” 判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比 例的两个直角三角形相似吗？ 思考： 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°， ∠C′=90°， . 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. AB AC A B A C     C A A' B B'C' 要证明两个三角形 相似，即是需要 证明什么呢？ 目标： BC AB AC B' C' A' B' A' C'   证明：设____________= k ，则AB=kA′B′， AC=kA′B′. 由 ，得 ∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿. ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′. 2 2BC AB AC  ， 2 2 .BC AB AC       .kB C kB C     AB AC A B A C     勾股定理 BC AB AC B C A B A C        CB CAkBAk CB ACAB CB BC    222222 ∴ C A A' B B'C' 由此得到另一个判定直角三角形相似的方法： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 归纳： 例3 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2， CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与 △ADC相似． 2 C A B D 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： (1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝ AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3； 2  22 2 22 2 6.AC AD CD    ∴ 6 6 C A B D 2 2 (2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝ AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ． ∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相 似． 6 2 6 3 2 3 2 C A B D 2 2 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°， 依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A=35°，∠B′=55°： ； (2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ； (3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： . 练一练 相似 相似 相似 当堂练习 1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相 似三角形共有 ( ) A. 1对 　　B. 2对 C. 3对 　　D. 4对 C 2. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E， AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( ) A. 15 4 B. 12 5 C. 20 3 D. 17 4 A C A B D E A B D C 3. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或 ∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC； ACD ACB B ADB 4. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC 于D. 若 AB=6，AD=2，则 AC= ，BD= ， BC= . 18 D B C A 4 2 12 2 证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°， ∠AFE =∠BFD (对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴ 5. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证： .AF EF BF FD  .AF EF BF FD  D C A B EF 证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC， ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE. 6. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE． A B CD E1 3 2 O 7. 如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是 △ABC 的高， 求证：AC · BC = BE · CD. O D CB A E 证明： 连接CE， 则∠A=∠E. 又∵BE是△ABC的外接圆O的直径， ∴∠BCE=90°=∠ADC， ∵∠A=∠E，∠BCE=∠ADC， ∴△ACD∽△EBC. ∴ ∴ AC · BC = BE · CD. AC CD BE BC  ， 两角分别相等的两 个三角形相似 利用两角判定三角形相似 课堂小结 直角三角形相似的判定