九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定第3课时矩形的性质判定与其他知识的综合教学课件新版北师大版 24页

1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 3 课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1 ．回顾矩形的性质及判定方法． 2 ．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用 . ( 难点 ) 学习目标 问题 1: 矩形有哪些性质？ A B C D O ① 是轴对称图形 ; ②四个角都是直角 ; ③ 对角线相等且平分 . 导入新课 ① 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ② 有一组邻边相等的矩形 ③ 有一个角是直角的菱形 问题 2: 矩形有判定方法有哪些？ 例 1 ： 如图，在矩形 ABCD 中， AD =6，对角线AC与BD相交于点 O ， AE ⊥ BD ，垂足为 E ， ED =3 BE ，求 AE 的长 . 分析： 由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长 . 矩形的性质与判定综合运用 典例精析 讲授新课 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB， ∵BE：ED=1：3， ∴BE：OB=1：2， ∵AE⊥BD， ∴AB=OA，∴OA=AB=OB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°， ∴ AE = AD= 3. 【点评】 此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 . 例 2 ： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断 四边形ABDE的形状，并证明； （3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论 . （1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD， ∴∠ADC=90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN=∠CAN， ∴∠DAE=90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC=90°， ∴四边形ADCE为矩形； （1）求证：四边形ADCE为矩形； 分析： 由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形； 解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状， 并证明； 分析： 利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形； 解：DF∥AB，DF= AB．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF= AB （3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论 . 分析： 由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF = AB . 【点评】 此题 考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 . 例 3 ： 如图，在 △ ABC 中 , AB = AC , D 为 BC 上一点，以 AB , BD 为邻边作平行四边形 ABDE , 连接 AD , EC . （ 1 ）求证：△ ADC ≌ △ ECD ; （ 2 ）若 BD = CD , 求证：四边形 ADCE 是矩形 . 证明：（ 1 ）∵ △ ABC 是等腰三角形 , ∴ ∠ B = ∠ ACB . 又∵四边形 ABDE 是平行四边形 , ∴ ∠ B = ∠ EDC , AB = DE , ∴ ∠ ACB= ∠ EDC , ∴ △ ADC ≌ △ ECD . A D C E B (2) ∵ AB = AC , BD = CD , ∴ AD ⊥ BC , ∴ ∠ ADC =90°. ∵四边形 ABDE 是平行四边形 , ∴ AE 平行且等于 BD , 即 AE 平行且等于 DC , ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形 . 而∠ ADC =90° , ∴四边形 ADCE 是矩形 . A D C E B 例 4 ： 如图所示，在 △ ABC 中， D 为 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F ，且 AF ＝ BD . 连接 BF . (1) BD 与 DC 有什么数量关系？请说明理由； (2) 当 △ ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由． 解： (1) BD ＝ CD . 理由如下： ∵ AF ∥ BC ， ∴∠ AFE ＝ ∠ DCE . ∵ E 是 AD 的中点， ∴ AE ＝ DE . 在 △ AEF 和 △ DEC 中， ∴△ AEF ≌ △ DEC (AAS) ， ∴ AF ＝ DC . ∵ AF ＝ BD ， ∴ BD ＝ DC ； 分析： 根据“两直线平行，内错角相等”得出 ∠ AFE ＝ ∠ DCE ，然后利用“ AAS” 证明 △ AEF 和 △ DEC 全等，根据“全等三角形对应边相等”可得 AF ＝ CD ，再利用等量代换即可得 BD ＝ CD ； (2) 当 △ ABC 满足 AB ＝ AC 时，四边形 AFBD 是矩形．理由如下： ∵ AF ∥ BD ， AF ＝ BD ， ∴ 四边形 AFBD 是平行四边形． ∴ AB ＝ AC ， BD ＝ DC ， ∴∠ ADB ＝ 90°. ∴ 四边形 AFBD 是矩形． 【方法总结】 本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 分析： 先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形 AFBD 是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知 ∠ ADB ＝ 90°. 由等腰三角形三线合一的性质可知 △ ABC 满足的条件必须是 AB ＝ AC . 例 5 ： 如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N. (1)求证：CM＝CN； (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比 为3∶1，求 的值． 典例精析 (1)求证：CM＝CN； 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ANM＝∠CMN， 由折叠知∠CNM＝∠ANM， ∴∠CNM＝∠CMN， ∴CN＝CM　 (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求 的值． 解：∵AD∥BC，S △CMN ∶S △CDN ＝3∶1，∴CM∶DN＝3∶1， 设DN＝x，则CM＝3x， 过点N作NK⊥BC于点K， ∵DC⊥BC，∴NK∥DC， 又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x， 由(1)知CN＝CM＝3x， ∴NK 2 ＝CN 2 －CK 2 ＝(3x) 2 －x 2 ＝8x 2 ， 　 当堂练习 1. 如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFC 是两个矩形，点 B 在 EF 边上，若矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别是 S 1 ， S 2 ，则 S 1 ， S 2 的大小关系是 ( 　 　 ) A ． S 1 > S 2 　　　　　　　 B ． S 1 ＝ S 2 C ． S 1 < S 2 D ． 3 S 1 ＝ 2 S 2 B 2 ．如图，在 △ ABC 中，点 D ， E ， F 分别是 AB ， AC ， BC 的中点， AH ⊥ BC 于点 H ，连接 EH ，若 DF ＝ 10 cm ，则 EH 等于 ( 　　 ) A ． 8 cm 　　 B ． 10 cm 　　 C ． 16 cm 　　 D ． 24 cm B 3. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ， AE 平分 ∠ BAD 交 BC 于点 E ，若 ∠ CAE ＝ 15° ，则 ∠ BOE ＝ ____ 度． 75 4 ．如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 2 ， BC ＝ 4 ，点 A ， B 分别在 y 轴， x 轴的正半轴上，点 C 在第一象限，如果 ∠ OAB ＝ 30° ，那么点 C 的坐标为 ． 5. 如图，点 D 是 △ ABC 的边 AB 上一点， CN ∥ AB ， DN 交 AC 于点 M ， MA ＝ MC . (1) 求证： CD ＝ AN ； (2) 若 ∠ AMD ＝ 2∠ MCD ， 求证：四边形 ADCN 是矩形． 　 证明： (1) 证 △AMD ≌ △CMN 得 AD ＝ CN ， 又 ∵AD∥CN ， ∴ 四边形 ADCN 是平行四边形， ∴CD ＝ AN. 　 (2) 若 ∠ AMD ＝ 2∠ MCD ， 求证：四边形 ADCN 是矩形． 　 证明： ∵∠AMD ＝ 2∠MCD ， ∠AMD ＝ ∠MCD ＋ ∠MDC ， ∴∠MCD ＝ ∠MDC ， ∴MD ＝ MC ， 由 (1) 知四边形 ADCN 是平行四边形， ∴MD ＝ MN ＝ MA ＝ MC ， ∴AC ＝ DN ， ∴▱ADCN 是矩形 . 　 与全等三角形的结合 矩形的性质与判定 课堂小结 与平面直角坐标系的结合 折叠问题