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- 2021-11-10 发布
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2.1
认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
第
1
课时 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.
了解一元二次方程的概念
;
(重点)
2.
掌握一元二次方程的一般形式
ax
2
+bx+c=
0
(
a
,
b
,
c
为常数
,
a
≠0
)
.
(重点)
3.
能根据具体问题的数量关系
,
建立一元二次方程的模型
.
(难点)
学习目标
导入新课
复习引入
没有未知数
1.
下列式子哪些是
方程?
2+6=8
2
x+
3
5
x+
6
=
22
x+
3
y=
8
x-
5
<
1
8
代数式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
2.
什么叫方程?我们学过哪些方程?
含有未知数的等式叫做方程
.
我们学过的方程有一元一次方程,二元一次方程(组)及分式方程,其中前两种方程是
整式方程
.
3.
什么叫一元一次方程?
含有一个未知数,且未知数的次数是
1
的整式方程叫做一元一次方程
.
想一想:什么叫一元二次方程呢?
一元二次方程的相关概念
一
问题
1
:
幼儿园某教室矩形地面的长为
8m
,
宽为
5m
,
现准备在地面正中间铺设一块面积为
18m
2
的地毯
,
四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同
,
你能求出这个宽度吗(列出方程即可)?
解:
如果设所求的宽为
x
m
,
那么地毯中央长方形图案的长为
m
,
宽为
m
,
根据题意
,
可得方程:
(8
-
2
x
)
(5
-
2
x
)
x
x
(8
–
2
x
)
x
x
(5
–
2
x
)
( 8
-
2
x
)
(
5
-
2
x
)
= 18
.
化简:
2
x
2
-
13
x
+ 11 = 0
.
①
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少?
问题
2
:
观察下面等式:
10
2
+ 11
2
+ 12
2
= 13
2
+ 14
2
你还能找到其他的五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?
解:
如果设五个连续整数中的第一个数为
x
,那么后面四个数依次可表示为:
,
,
,
.
根据题意,可得方程:
x
+1
x
+2
x
+3
x
+4
x
2
+
(
x
+ 1)
2
+
(
x
+ 2)
2
= (
x
+ 3)
2
+ (
x
+ 4)
2
.
化简得,
x
2
-
8
x
-
20
=
0.
②
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少?
解:
由勾股定理可知
,
滑动前梯子底端距墙
m.
如果设梯子底端滑动
x
m
,
那么滑动后梯子底端距墙
m
,
根据题意,可得方程:
问题
3
:
如图,一个长为
10m
的梯子斜靠在墙上
,
梯子的顶端距地面的垂直距离为
8m
.
如果梯子的顶端下滑
1m
,
那么梯子的底端滑动多少米?
6
x
+6
7
2
+ (
x
+ 6)
2
= 10
2
.
化简得,
x
2
+ 12
x
-
15 = 0
. ③
10m
8m
1m
x
m
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少?
①
2
x
2
-
13
x
+ 11 = 0
;
②
x
2
-
8
x
-
20
=
0
;
③
x
2
+ 12
x
-
15 = 0.
1.
只含有一个未知数
;
2.
未知数的最高次数是
2;3.
整式方程.
讲授新课
观察与思考
方程①、 ②、 ③都不是一元一次方程
.
那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里?它们有什么共同特点呢?
特点
:
只含有
一个未知数
x
的整式方程,并且都可以化为
ax
2
+
bx
+
c
=0
(
a
,
b
,
c
为常数
,
a
≠0)
的形式,这样的方程叫做一元二次方程
.
ax
2
+
bx
+
c
=
0
(
a
,
b
,
c
为常数
,
a
≠0)
ax
2
称为二次项
,
a
称为二次项系数
.
bx
称为一次项
,
b
称为一次项系数
.
c
称为常数项
.
知识要点
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式是
想一想
为什么一般形式中
ax
2
+
bx
+
c
=0
要限制
a
≠0
,
b
、
c
可以为零吗?
当
a
= 0
时
bx
+
c
= 0
当
a
≠
0
,
b
= 0
时
,
ax
2
+
c
= 0
当
a
≠
0
,
c
= 0
时
,
ax
2
+
b
x
= 0
当
a
≠
0 ,
b
=
c
=0
时
,
ax
2
= 0
总结:只要满足
a
≠
0
,
b
,
c
可以为
任意实数
.
练一练
1.
关于
x
的方程
(
k
-
3)
x
2
+2
x
-
1=0
,
当
k
时
,
是一元二次方程
.
2.
关于
x
的方程
(
k
2
-
1)
x
2
+2 (
k
-
1)
x
+
2
k
+
2 = 0
,
当
k
时
,
是一元二次方程
.
当
k
时
,
是一元一次方程.
≠3
≠±1
=
-
1
典例精析
例
1
下列选项中,关于
x
的一元二次方程的是( )
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成
x
2
-
3
x+
2
=0
少了限制条件
a≠0
提示
判断一个方程是不是一元二次方程,首先看是不是整式方程;如是再进一步化简整理后再作判断
.
例
2:
a
为何值时,下列方程为一元二次方程?
(1)
ax
2
-
x=
2
x
2
(2)(
a
-
1)
x
∣
a
∣
+1
-
2
x
-
7=0
解:
(1)
将方程式转化为一般形式,得
(
a
-
2)
x
2
-
x
=0
,
所以当
a
-
2≠0
,即
a
≠2
时,原方程是一元二次方程;
(2)
由
∣
a
∣
+1 =2
,且
a
-
1 ≠0
知,当
a
=
-
1
时,原方程是一元二次方程
.
方法总结:
用一元二次方程的定义求字母的值的方法:根据未知数的最高次数等于
2
,列出关于某个字母的方程,再排除使二次项系数等于
0
的字母的值.
例
3
将方程
3
x
(
x
-1)=5(
x
+2)
化为一般形式,并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数
.
解:
去括号,得
3x
2
-3x=5x+10.
移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式
3x
2
-8x-10=0.
其中二次项是
3x
2
,
系数是
3
;一次项是
-8x
,
系数是
-8
;常数项是
-10.
系数和项均包含前面的符号
.
注意
1.
下列方程哪些是一元二次方程
?
为什么
?
(1)
7
x
2
-
6
x
= 0
(2)
2
x
2
-
5
xy
+ 6
y
= 0
(3)
(4)
(5)
x
2
+
2
x
-
3 = 1
+
x
2
√
方程中同时出现
x
、
y
两个未知数
非整式方程
√
化简后是一元一次方程
当堂练习
2.
把下列方程化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:
方 程
一般形式
二次项
系数
一次项
系数
常数项
3
x
2
= 5
x
-
1
(
x
+ 2) (
x
-
1)=6
4
-
7
x
2
=0
3
x
2
-
5
x
+
1 = 0
x
2
+
x
-
8 = 0
3
-
5
1
1
1
-
8
7
x
2
-
4 = 0
7
0
-
4
3.
如图
,
有一块矩形铁皮
,
长
19cm
,
宽
15cm
.在它的四个角分别切去一个正方形
,
然后将四周突出的部分折起
,
就能制作一个无盖方盒
.
如果要制作的无盖方盒的底面积是
81 cm
2
,
那么铁皮各角应切去多大的正方形?列出方程,并将其化为一般式
.
解:
设需要剪去的小正方形边长为
x
cm
,
则纸盒底面的长方形的长为
(
19
-
2
x
)
cm
,
宽为
(
15
-
2
x
)
cm.
依题意得:
(19
-
2
x
) (15
-
2
x
) = 81
.
x
2
-
17
x
+ 51 = 0 (
一般式
)
.
x
cm
x
cm
一元二次方程
只含有一个未知数
x
的整式方程,并且
都可以化为
ax
2
+
bx
+
c
=
0(
a
,
b
,
c
为常数
,
a
≠0)
的形式
.
概念
ax
2
+
bx
+
c
=
0
(
a
,
b
,
c
为常数
,
a
≠0
ax
2
称为二次项
,
a
称为二次项系数
.
bx
称为一次项
,
b
称为一次项系数
c
称为常数项
.
课堂小结
一般式