2020年安徽省淮北市濉溪县中考数学一模试卷 (含解析) 25页

2020 年安徽省淮北市濉溪县中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 数轴上的点 A 到原点的距离是 3，则点 A 表示的数为 A. 3 或 B. 6 C. D. 6 或 2. 计算 2 2 结果正确的是 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2a . 如图是由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是 A. B. C. D. 4. 2018 年，淮南市经济运行总体保持平稳增长，全年 GDP 约为 1130 亿元，GDP 在全省排名第十 三．将 1130 亿用科学记数法表示为 A. 11. 1 1 B. 1.1 1 1 C. 1.1 1 11 D. 1.1 1 12 5. 111 ， 222 是一次函数 ൌ 2 ʹ 5 图象上的两点，且 1 2 ，则 1 与 2 的大小关系 是 A. 1 2 B. 1 ൌ 2 C. 1 2 D. 1 2 . 这组数据 2、3、2、4、2、3 的众数和中位数分别是 A. 2，2 B. 2， 2.5 C. 3，2 D. 2，3 7. 某农户 2008 年的年收入为 5 万元，由于党的惠农政策的落实，2010 年年收入增加到 7.2 万元， 则平均每年的增长率是 A. 1䁥 B. 2䁥 C. 24䁥 D. 44䁥 8. 如图，在 䳌䁨 中， 䳌䁨 ൌ 䀀 ， 䳌 ൌ ， 䁨 ൌ 5䀀㌳ ， 䳌䁨于 D，则 䳌 ൌ A. 10cm B. 7.5䀀㌳C. 8.5䀀㌳D. .5䀀㌳ 䀀. 二次函数 ൌ 2 ʹ 2 的图象的顶点在第三象限，且过点 1 ，设 ൌ 2 ， 则 t 值的变化范围是 A. 2 B. C. 4 2 D. 4 1. 如图，在矩形 长方形 䳌䁨 中， 䳌 䳌䁨 ，AC，BD 相交于点 O，则 图中等腰三角形的个数是 提示：矩形的对角线相等且互相平分。 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 11. 不等式 2 2 4 ʹ 12 的解集是______． 12. 反比例函数 ൌ 8 的图象与一次函数 ൌ 䁥 ʹ 䁥 的图象在第一象限交于点 䳌4 ，则 䁥 ൌ ____，  ൌ ____． 1. 如图，AB，CD 是 的弦，且 䳌 䁨 ，连接 AD，BC，若 䁨 ൌ 25 ， 则 的度数为______． 14. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点， 䳌 ൌ ， ൌ 2 ， 则 AC 的长为 ． 三、计算题（本大题共 1 小题，共 8.0 分） 15. 计算： 1 ʹ 䀀 112 2  四、解答题（本大题共 8 小题，共 82.0 分） 1. 如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1 1 网格中，已知 O、A、B 均为网格线 的交点． 1 在给定的网格中，以点 O 为位似中心，将线段 AB 放大为原来的 2 倍，得到线段 1䳌1 点 A、 B 的对应点分别为 1 、 䳌1 ，画出线段 1䳌1 2 将线段 1䳌1 绕点 䳌1 逆时针旋转 䀀 得到线段 2䳌1 ，画出线段 2䳌1 求以 A、 1 、 䳌1 、 2 为顶点的四边形 1䳌12 的面积． 17. 利用方程解决下列问题：相传有个人不讲究说话艺术常引起误会，一天他设宴请客，他看到几 个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”客人听了，心想难道我们是不该来的，于 是已到客人的一半走了，他一看十分着急，又说：“嗨，不该走的倒走了！”剩下的人一听， 是我们该走啊！又有剩余客人的三分之二的人离开了，他着急地一拍大腿，“我说的不是他们．” 于是剩下的 3 个人也走了．聪明的你能知道开始来了多少客人吗？ 18. 观察下列，回答问题： 第一行：2， 4 ，8， 1 ，32， 4 ， 第二行：4， 2 ，10， 14 ，34， 2 ， 第三行：1， 2 ，4， 8 ，16， 2 ， 1 第一行数的第8个数为______，第二行数的第8个数为______，第三行数的第8个数为______； 2 第一行的第 n 个数为______；  为正整数，用含 n 的式子表示 第一行是否存在连续的三个数使得三个数的和是 768？若存在求出这三个数，若不存在说明 理由： 4 是否存在一列数，使得这一列的三个数的和为 1282？若存在求出这三个数，若不存在说明理 由． 1䀀. 如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小 区居民楼 AB 的高度进行测量，先测得居民楼 AB 与 CD 之间的距 离 AC 为 35m，后站在 M 点处测得居民楼 CD 的顶端 D 的仰角为 45 ，居民楼 AB 的顶端 B 的仰角为 55 ，已知居民楼 CD 的高度为 1.㌳ ，小莹的观测点 N 距 地面 1.㌳. 求居民楼 AB 的高度 精确到 ㌳. 参考数据： ݅55 .82 ， 䀀݋55 .57 ， 55 .4 ． 2. 如图，M，N 是以 AB 为直径的 上的点，且 ൌ 䳌 ，弦 MN 交 AB 于点 C，BM 平分 䳌 ， 䳌 于点 F． 1 求证：MF 是 的切线； 2 若 䁨 ൌ ， 䳌 ൌ 4 ，求 CM 的长． 21. 为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我 国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”和“杨辉奖”， 根据获奖情况绘制成如图 1 和图 2 所示的条形统计图和扇形统计图，并得到了获“祖冲之奖” 的学生成绩统计表： “祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数 分 80 85 90 95 人数 人 4 2 10 4 根据图表中的信息，解答下列问题： 1 这次获得“刘徽奖”的人数是______，并将条形统计图补充完整； 2 获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______分，众数是______分； 在这次数学知识竟赛中有这样一道题：一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分 别标有数字“ 2 ”，“ 1 ”和“2”，随机摸出一个小球，把小球上的数字记为 x 放回后再随 机摸出一个小球，把小球上的数字记为 y，把 x 作为横坐标，把 y 作为纵坐标，记作点 . 用 列表法或树状图法求这个点在第二象限的概率． 22. 已知：二次函数 ൌ 2 ʹ ʹ 䀀 的图象与 x 轴交于点 A、 䳌 ，顶点为 䁨 1 2 1 求该二次函数的解析式； 2 如图，过 A、C 两点作直线，并将线段 AC 沿该直线向上平移，记 点 A、C 分别平移到点 D、E 处．若点 F 在这个二次函数的图象上， 且 是以 EF 为斜边的等腰直角三角形，求点 F 的坐标； 试确定实数 p，q 的值，使得当 时， 5 2 ． 23. 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 ，点 ，点 䁨4 ，连接 OB，以 点 A 为中心，顺时针旋转矩形 AOCB，旋转角为 ，得到矩形 ADEF，点 O，C， B 的对应点分别为 D，E，F． Ⅰ 如图，当点 D 落在对角线 OB 上时，求点 D 的坐标； Ⅱ 在 Ⅰ 的情况下，AB 与 DE 交于点 H． 求证 䳌≌ 䳌 ； 求点 H 的坐标． Ⅲ 为何值时， 䳌 ൌ . 直接写出结果即可 【答案与解析】 1.答案：A 解析： 本题考查的是数轴的特点，熟知数轴上各点到原点的距离的定义是解答此题的关键． 先设出这个数为 x，再根据数轴上各点到原点的距离进行解答即可． 解：设这个数是 x，则 ൌ ， 解得 ൌ 或 ． 故选：A． 2.答案：B 解析： 此题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式． 原式约分即可得到结果． 解：原式 ൌ 2 ， 故选 B． 3.答案：B 解析：解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层是一个小正方形， 故选：B． 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 4.答案：C 解析： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 1  的形式，其中 1 1 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 科学记数法的表示形式为 1  的形式，其中 1 1 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原 数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时，n 是负数． 解：将 1130 亿用科学记数法表示为 1.1 1 11 ． 故选：C． 5.答案：C 解析： 利用一次函数的增减性可得出答案． 本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键，即在 ൌ 䁥 ʹ 䁥 中， 当 䁥 时 y 随 x 的增大而增大，当 䁥 时 y 随 x 的增大而减小． 解： 在 ൌ 2 ʹ 5 中， 䁥 ൌ 2 ， 随 x 的增大而减小， 1 2 ， 1 2 ， 故选 C． 6.答案：B 解析： 本题考查了中位数的求法以及众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 根据众数和中位数的定义求解． 解：2 出现了三次，出现次数最多，所以这组数据的众数是 2， 数据按从小到大排列为：2，2，2，3，3，4， 这组数据的中位数 ൌ 1 2 2 ʹ ൌ 2.5 ． 故选 B． 7.答案：B 解析：解：设平均每年的增长率是 x，则： 51 ʹ 2 ൌ 7.2 ， 即 1 ʹ ൌ 1.2 ， 解得： 1 ൌ .2 或 2 ൌ 2.2 不合题意，应舍去 ． 故平均每年的增长率是 2䁥 ． 故选：B． 通过理解题意可知本题的等量关系，即 2008 年的收入 1 ʹ 增长率 2 ൌ 21 年的收入，根据这个 等量关系，可列出方程，再求解． 本题考查了一元二次方程应用中求平均变化率的方法．若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均 变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 1 2 ൌ ． 8.答案：B 解析： 本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半是解题 的关键． 根据直角三角形的性质求出 BC，根据互余关系求出 䁨 ൌ 䳌 ൌ ，根据直角三角形的性质求出 CD，结合图形计算即可． 解： 䳌䁨 ൌ 䀀 ， 䳌 ൌ ， 䳌䁨 ൌ 2䁨 ൌ 1䀀㌳ ， 䳌䁨 ൌ 䀀 ， 䳌䁨 ， 䁨 ൌ 䳌 ൌ ， 䁨 ൌ 1 2 1 2 䁨 ൌ 2.5䀀㌳ ， 䳌 ൌ 䳌䁨 䁨 ൌ 7.5䀀㌳ ， 故选 B． 9.答案：D 解析：解： ൌ 2 ʹ 2 ， 当 ൌ 时， ൌ 2 ， 即抛物线与 y 轴的交点是 2 ， 过点 1 和点 2 的直线的解析式是 ൌ 2 2 ， 当 ൌ 1 时， ൌ 2 2 ൌ 4 ， 而 ൌ 1 时， ൌ 2 ʹ ʹ 䀀 ൌ ʹ 䀀 ， ൌ 2 ， 4 ʹ 䀀 ，即 4 ， 故选：D． 先利用待定系数法求出经过点 1 和 2 的直线解析式为 ൌ 2 2 ，则当 ൌ 1 时， ൌ 2 2 ൌ 4 ，再利用抛物线的顶点在第三象限，所以 ൌ 1 时，对应的二次函数值为负数，从而得到所 以 4 ʹ 䀀 ，再根据抛物线的顶点坐标得出即可． 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小．当 时， 抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的 位置：当 a 与 b 同号时，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时，对称轴在 y 轴右．常数项 c 决定抛物 线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于 䀀. 抛物线与 x 轴交点个数由判别式确定： ൌ 2 4䀀 时， 抛物线与 x 轴有 2 个交点； ൌ 2 4䀀 ൌ 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； ൌ 2 4䀀 时， 抛物线与 x 轴没有交点． 10.答案：C 解析：解： 四边形 ABCD 是矩形， ൌ 䳌 ൌ 䁨 ൌ ， 䳌 ， 䳌䁨 ， 䁨 ， 都是等腰三角形， 故选：C． 根据矩形的对角线相等且互相平分可得 ൌ 䳌 ൌ 䁨 ൌ ，进而得到等腰三角形． 此题主要考查了等腰三角形的判定，以及矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分． 11.答案： 7 解析：解： 2 4 12 ʹ 2 ， 2 14 ， 7 ， 故答案为： 7 ． 根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为 1 可得． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意 不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 12.答案： 2 5 ；2 解析： 本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求一次函数解析式． 首先把 䳌4 代入反比例函数解析式，求出 n 的值，然后再把 B 的坐标代入一次函数解析式，求出 k 的值即可． 解：把 䳌4 代入 ൌ 8 ，得  ൌ 8 4 ൌ 2 ， 把 䳌42 代入 ൌ 䁥 ʹ 䁥 ，得 2 ൌ 4䁥 ʹ 䁥 ， 解得 䁥 ൌ 2 5 ． 故答案为 2 5 ；2． 13.答案： 5 解析：解： 䳌䁨 与 䳌 是同弧所对的圆周角， 䁨 ൌ 25 ， 䳌 ൌ 25 ． 䳌 䁨 ， ൌ 18 䀀 25 ൌ 5 ， 故答案为： 5根据圆周角定理和三角形内角和即可得出结论． 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键． 14.答案： 7 解析： 此题考查了矩形的性质以及含 角的直角三角形性质 . 此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应 用． 解： 在矩形 ABCD 中， 䳌 ൌ ， ൌ 2䳌 ൌ 2 ， 䳌 ൌ 1 ， 是 BC 的中点， 䳌䁨 ൌ 2䳌 ൌ 2 ， 在 䳌 中， 䳌 ൌ 2 䳌 2 ൌ ， 在 䳌䁨 中， 䁨 ൌ 䳌 2 ʹ 䳌䁨 2 ൌ 7 ． 故答案为 7 ． 15.答案：解：原式 ൌ 1 ʹ 1 2 ൌ 1 2 ൌ 5 ； 解析：根据实数的运算法则，特殊角的三角函数值，算术平方根的运算分别进行化简即可； 本题考查实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值；牢记特殊角的三角函数值，掌握实数的运 算性质是解题的关键． 16.答案：解： 1 如图所示，线段 1䳌1 即为所求； 2 如图所示，线段 2䳌1 即为所求； 四边形 1䳌12 的面积是 1 2 2 4 4 ൌ 2 ． 故四边形 1䳌12 的面积为 20． 解析：此题主要考查了位似变换以及旋转的性质，利用位似变换的性质得出对应点的位置是解题关 键． 1 以点 O 为位似中心，连接 OA 并延长使 1 ൌ 2 ，得到点 1 ，同理得到 䳌1 ，连接 1䳌1 ，即可 画出线段 1䳌1 ； 2 将线段 1䳌1 绕点 䳌1 逆时针旋转 䀀 得到线段 2䳌1 ，即可画出线段 2䳌1 ； 利用大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积即可得到四边形 1䳌12 的面积． 17.答案：解：设开始来了 x 位客人， 根据题意，得： 1 2 2 1 2 ൌ ， 解这个方程得： ൌ 18 ． 答：开始来了 18 位客人． 解析：本题主要考查一元一次方程的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，找出合适的等量关系，本题的关键要弄清第一波和第二波人数的关系，然后在根据条件列出方 程． 设开始来了 x 位客人，那么第一波走的客人人数为 1 2 人，第二波走的人数是第一波的三分之二，那 么应该表示为 2 1 2 人，根据最后剩下三个人，可列方程求解． 18.答案：解： 1 25 254 128 ； 2 1 ʹ1 2  ； 不存在． 设第一行其中连续的三个数分别为 x， 2 ，4x， 则 2 ʹ 4 ൌ 78 ， 解得 ൌ 25 ， 25 不在第一行， 不存在； 4 存在． 同一列的数符号相同， 这三个数都是正数， 这一列三个数的和为： 2  ʹ 2 ʹ 2  ʹ 1 2 2  ൌ 1282 ， 2  ൌ 512 ，  ൌ 䀀 ， 存在这样的一列，分别是 521，514，256，使得其中的三个数的和为 1282． 解析： 本题考查数字的变化规律，在每一行中，注意符号的变化，几行联系起来找出规律是解决问题的关 键． 1 根据第 行已知数据都是 2 的乘方得到，再利用第偶数个系数为负数即可得出答案，进而利用第 ， 行与第 1 行的大小关系得出即可； 2 根据第一行的数：2， 2 2 ， 2 ， 2 4 ， 2 5 ， 2 其偶数个时为负，用 1 ʹ1 表示负数，即 可得出结果． 根据 行数据关系分别表示出 3 个连续的数，进而求出它们的和； 4 利用已知规律得出三行数据的规律进而得出方程求出即可． 解： 1 2 ， 4 ，8， 1 ，32， 4 ， ； 2 1 ൌ 2 ， 4 ൌ 2 2 ， 8 ൌ 2 ， 1 ൌ 2 4 ， 第 行第 8 个数为： 2 8 ൌ 25 ； 4 ， 2 ，10， 14 ，34， 2 ， 都比第一行对应数字大 2， 第 行第 8 个数为： 254 ； 1 ， 2 ，4， 8 ，16， 2 ， . 第 行是第一行的 1 2 ， 第 行第 8 个数为： 128 ； 故答案为： 25 ， 254 ， 128 ， 2 第一行的数：2， 2 2 ， 2 ， 2 4 ， 2 5 ， 2 其偶数个时为负， 因此第 n 个为： 1 ʹ1 2  ， 故答案为： 1 ʹ1 2  ， 见答案； 4 见答案． 19.答案：解：过点 N 作 䁨 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F， 则 ൌ ൌ 䁨 ൌ 1. ， ൌ 䁨 ൌ 5 ， 䳌 ൌ ൌ 䀀 ， ൌ ， ൌ 䁨 ， 则 ൌ 䁨 䁨 ൌ 1. 1. ൌ 15㌳ ， 在 中， ൌ 45 ， ൌ ൌ 15 ， ൌ ൌ 5 15 ൌ 2㌳ ， 在 䳌 中， tan䳌 ൌ 䳌 ， 䳌 ൌ tan䳌 ൌ 2 55 2 1.4 28.㌳ ， 䳌 ൌ 䳌 ʹ ൌ 28. ʹ 1. ㌳ ． 答：居民楼 AB 的高度约为 30 米． 解析：本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．过 点 N 作 䁨 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，可得 ൌ ൌ 䁨 ൌ 1. ， ൌ 䁨 ൌ 5 ，再根据 锐角三角函数可得 BE 的长，进而可得 AB 的高度． 20.答案：证明： 1 连接 OM， ൌ 䳌 ， 䳌 ൌ 䳌 ， 䳌 平分 䳌 ， 䳌 ൌ 䳌 ， 䳌 ൌ 䳌 ， 䳌 ， 䳌 ， ，即 ൌ 䀀 ， 是 的切线； 2 如图，连接 AN，ON ൌ 䳌 ， ൌ 䳌 ൌ 4 䳌 是直径， ൌ 䳌 ， 䳌 ൌ 䀀 ， 䳌 䳌 ൌ 2 ʹ 䳌 2 ൌ 4 2 ൌ 䳌 ൌ ൌ 2 2 䁨 ൌ 䁨 2 2 ൌ 䀀 8 ൌ 1 䁨 ൌ 2 2 ʹ 1 ， 䳌䁨 ൌ 2 2 1 ൌ 䳌 ， 䁨 ൌ 䳌䁨 䁨∽ 䁨䳌 䁨 䁨 ൌ 䁨 䳌䁨 䁨 䳌䁨 ൌ 䁨 䁨 7 ൌ 䁨 䁨 ൌ 7 解析：本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求 OC 的长是本题的关键． 1 根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得 䳌 ൌ 䳌 ，得出 䳌 ，即可证得 ，即可证得结论； 2 由勾股定理可求 AB 的长，可得 AO，BO，ON 的长，由勾股定理可求 CO 的长，通过证明 䁨∽ 䁨䳌 ，可得 䁨 䁨 ൌ 䁨 䳌䁨 ，即可求 CM 的长． 21.答案： 14 ，补全统计图如下： 2䀀 ，90； 列表法： 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 12 22 12 22 第二象限的点有 22 和 12 ， 点在第二象限 ൌ 2 䀀 ． 解析： 解： 1 获奖的学生人数为 2 1䁥 ൌ 2 人， 赵爽奖的人数为 2 24䁥 ൌ 48 人，杨辉奖的人数为 2 4䁥 ൌ 䀀2 人， 则刘徽奖的人数为 2 2 ʹ 48 ʹ 䀀2 ൌ 4 ， 故答案为：40； 2 获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是 90 分，众数是 90 分， 故答案为：90，90； 见答案． 1 先根据祖冲之奖的人数及其百分比求得总人数，再根据扇形图求出赵爽奖、杨辉奖的人数，继而 根据各奖项的人数之和等于总人数求得刘徽奖的人数，据此可得； 2 根据中位数和众数的定义求解可得； 列表得出所有等可能结果，再找到这个点在第二象限的结果，根据概率公式求解可得． 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认 真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查列表法或画树状图法求概率． 22.答案：解： 1 二次函数 ൌ 2 ʹ ʹ 䀀 的顶点为 䁨 1 2 ， 可设该二次函数的解析式为 ൌ ʹ 1 2 2 ， 把 䳌 代入，得 ൌ ʹ 1 2 2 ， 解得 ൌ 1 2 ， 该二次函数的解析式为 ൌ 1 2 ʹ 1 2 2 ； 2 由 1 2 ʹ 1 2 2 ൌ ，得 ൌ 或 1， 1 ． 如图，过点 C 作 䁨 轴于点 H． 䁨 1 2 ， 䁨 ൌ 2 ， ൌ 1 ， 又 ൌ 1 ， ൌ 2 ൌ 䁨 ， 1 ൌ 45 ， 䁨 ൌ 2 ʹ 䁨 2 ൌ 2 2 ． 在等腰直角 中， ൌ ൌ 䁨 ൌ 2 2 ， ൌ 䀀 ， 2 ൌ 45 ， ൌ 2 ʹ 2 ൌ 4 ， 1 ൌ 2 ൌ 45 ， 䁨 轴． 由 1 ， 䁨 1 2 可得直线 AC 的解析式为 ൌ 1 ． 由题意，设 ㌳ 1 2 ㌳ 2 ʹ ㌳ 2 其中 ㌳ 1 ，则点 ㌳㌳ 1 ， ൌ 1 2 ㌳ 2 ʹ ㌳ 2 ㌳ 1 ൌ 1 2 ㌳ 2 1 2 ൌ 4 ， ㌳1 ൌ ， ㌳2 ൌ 不合题意舍去 ， 点 F 的坐标为 ； 当 ൌ 5 2 时， 1 2 ʹ 1 2 2 ൌ 5 2 ，解得 1 ൌ 4 ， 2 ൌ 2 ． ൌ 1 2 ʹ 1 2 2 ， 当 1 时，y 随 x 的增大而减小；当 1 时，y 随 x 的增大而增大； 当 ൌ 1 时，y 有最小值 2 ． 当 时， 5 2 ， 可分三种情况讨论： 当 1 时，由增减性得： 当 ൌ ൌ 4 时， 最大 ൌ 5 2 ，当 ൌ 时， 最小 ൌ 4 2 ，不合题意，舍去； 当 1 时， Ⅰ 若 1 1 ，由增减性得： 当 ൌ ൌ 4 时， 最大 ൌ 5 2 ，当 ൌ 1 时， 最小 ൌ 2 ，不合题意，舍去； Ⅱ 若 1 1 ，由增减性得： 当 ൌ ൌ 2 时， 最大 ൌ 5 2 ，当 ൌ 1 时， 最小 ൌ ൌ 2 ，符合题意， ൌ 2 ， ൌ 2 ； 当 1 时，由增减性得： 当 ൌ ൌ 2 时， 最大 ൌ 5 2 ，当 ൌ 时， 最小 ൌ ， 把 ൌ ， ൌ 代入 ൌ 1 2 ʹ 1 2 2 ，得 ൌ 1 2 ʹ 1 2 2 ， 解得 1 ൌ ， 2 ൌ 1 不合题意，舍去 ， ൌ ， ൌ 2 ． 综上所述，满足条件的实数 p，q 的值为 ൌ 2 ， ൌ 2 或 ൌ ， ൌ 2 ． 解析： 1 由二次函数 ൌ 2 ʹ ʹ 䀀 的顶点为 䁨 1 2 ，可设其解析式为 ൌ ʹ 1 2 2 ， 再把 䳌 代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； 2 由二次函数的解析式求出 1. 过点 C 作 䁨 轴于点 . 解直角 䁨 ，得出 ൌ 2 ൌ 䁨 ， 那么 1 ൌ 45 ， 䁨 ൌ 2 2. 解等腰直角 得出 2 ൌ 45 ， ൌ 4 ，由 1 ൌ 2 ൌ 45 ，得到 䁨 轴．利用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 ൌ 1. 设 ㌳ 1 2 ㌳ 2 ʹ ㌳ 2 其中 ㌳ 1 ， 则点 ㌳㌳ 1 ，那么 ൌ 1 2 ㌳ 2 ʹ ㌳ 2 ㌳ 1 ൌ 1 2 ㌳ 2 1 2 ൌ 4 ，解方程求出 m，进而得出 点 F 的坐标； 先求出 ൌ 5 2 时 1 ൌ 4 ， 2 ൌ 2. 再根据二次函数的性质可知，当 时， 5 2 ，应分 三种情况讨论： 1 ； 1 ； 1 ． 本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的 性质，等腰直角三角形的性质，函数图象上点的坐标特征等知识．综合性较强，有一定难度．利用 数形结合与分类讨论是解题的关键． 23.答案：解： ᦙ 如图 1，过 D 作 于 G， 点 ，点 䁨4 ， 䁨 ൌ 4 ， ൌ ， 四边形 OABC 是矩形， 䳌 ൌ 䀀 ， 䳌 ൌ 䁨 ൌ 4 ， 䳌 ， ∽ 䳌 ， ൌ 䳌 ൌ 4 ， 设 ൌ ， ൌ 4 ， ൌ ， 由旋转得： ൌ ൌ ， 由勾股定理得： 2 ൌ 2 ʹ 2 ， 2 ൌ 4 2 ʹ 2 ， 解得： 1 ൌ 舍 ， 2 ൌ 18 25 ， ൌ ൌ 54 25 ， ൌ 4 ൌ 72 25 ， 54 25 72 25 ； ᦙᦙ 由旋转得： ൌ 䁨 ൌ 䳌 ， ൌ ， ൌ ， 䳌䁨 ， ൌ 䁨䳌 ， 䁨䳌 ൌ ， 䳌 ൌ 䳌 ， ൌ 䳌 ൌ 䀀 ， ൌ 䳌 ， 䳌 ൌ 䳌 ， 在 䳌 和 䳌 中， 䳌 ൌ 䳌 䳌 ൌ 䳌 ൌ 䳌 ， 䳌≌ 䳌 ； 䳌≌ 䳌 ， 䳌 ൌ 䳌 ， 䳌 ൌ ， 设 䳌 ൌ ，则 ൌ ， ൌ 4 ， 在 中，由勾股定理得： 2 ʹ 2 ൌ 2 ， 2 ʹ 2 ൌ 4 2 ， ൌ 7 8 ， ൌ 4 7 8 ൌ 25 8 ， 25 8 ； ᦙᦙᦙ 分两种情况： 当 F 在 AB 的右侧时，如图 2，过 F 作 䳌 于 M， 䳌 ൌ ， ൌ 䳌 ൌ 1 2 䳌 ൌ 1 2 ， ൌ ， ൌ ， 即 ൌ 时， ൌ 䳌 ； 当 F 在 AB 的左侧时，如图 3，过 F 作 䳌 于 M，同理得： ൌ ， 此时 ൌ ൌ ， 综上， 为 或 时， 䳌 ൌ ． 解析： Ⅰ 如图 1，作辅助线，证明 ∽ 䳌 ， ൌ 䳌 ൌ 4 ，设 ൌ ， ൌ 4 ，根据勾股 定理列方程得： 2 ൌ 4 2 ʹ 2 ，解出可得结论； Ⅱ 根据 AAS 证明即可； 设 䳌 ൌ ，则 ൌ ， ൌ 4 ，在 中，由勾股定理列方程可得结论； Ⅲ 当 䳌 ൌ 时，F 在 AB 的垂直平分线上，分两种情况：F 在 AB 的左侧和右侧时，根据直角三 角形直角边与斜边的关系可得角的大小，从而计算旋转角 的值． 本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等、相似三角形的判定和性质、旋转变换等知 识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于 中考压轴题．