人教版九年级数学上册-第二十四章检测题 7页

第二十四章检测题 (时间：100 分钟满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(2019·柳州)如图，A，B，C，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是 D A．∠BB．∠CC．∠DEBD．∠D 2．⊙O 的半径为 4cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA＝6cm，则点 A 与⊙O 的位置关系为 C A．点 A 在圆上 B．点 A 在圆内 C．点 A 在圆外 D．无法确定 3．(黔西南州中考)如图，在⊙O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直于点 D，且 AB＝8，OC＝5， 则 CD 的长是 C A．3B．2.5C．2D．1 第 1 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 4．(2019·宜昌)如图，点 A，B，C 均在⊙O 上，当∠OBC＝40°时，∠A 的度数是 A A．50°B．55°C．60°D．65° 5．(2019·陕西)如图，AB 是⊙O 的直径，EF，EB 是⊙O 的弦，且 EF＝EB，EF 与 AB 交于点 C，连接 OF，若∠AOF＝40°，则∠F 的度数是 B A．20°B．35°C．40°D．55° 6．(2019·遵义)圆锥的底面半径是 5cm，侧面展开图的圆心角是 180°，圆锥的高是 A A．5 3cmB．10cmC．6cmD．5cm 7．如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心 为 O，三角尺的直角顶点 C 落在直尺的 10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点 A 落在直尺的 14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为 B.下列说法错误的是 C A．圆形铁片的半径是 4cmB．四边形 AOBC 为正方形 C．弧 AB 的长度为 4πcmD．扇形 OAB 的面积是 4πcm2 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 8．(2019·青岛)如图，线段 AB 经过⊙O 的圆心，AC，BD 分别与⊙O 相切于点 C，D. 若 AC＝BD＝4，∠A＝45°，则 CD 的长度为 B A．πB．2πC．2 2πD．4π 9．(2019·云南)如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F， 且 AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形 AEOF)的面积是 A A．4B．6.25C．7.5D．9 10．(2019·泸州)如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E， F，且 AB＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是 D A．3 10 10 B．3 10 5 C．3 5 5 D．6 5 5 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2019·娄底)如图，C，D 两点在以 AB 为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则 AD＝1． 第 11 题图 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 12．(2019·贺州)已知圆锥的底面半径是 1，高是 15，则该圆锥的侧面展开图的圆心角 是 90 度． 13．(2019·湘潭)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算 弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝1 2(弦×矢＋矢 2).弧田是由圆弧和其所对的弦围成 (如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离 之差，运用垂径定理(当半径 OC⊥弦 AB 时，OC 平分 AB)可以求解．现已知弦 AB＝8 米， 半径等于 5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 10 平方米． 14．(2019·盘锦)如图，△ABC 内接于⊙O，BC 是⊙O 的直径，OD⊥AC 于点 D，连接 BD，半径 OE⊥BC，连接 EA，EA⊥BD 于点 F.若 OD＝2，则 BC＝4 5． 15．(宁波中考)如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动 点，连接 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 3 或 4 3． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足 P 是 OB 的中点，CD＝6cm，求直 径 AB 的长． 解：∵AB⊥CD，∴PC＝PD，连接 OC，在 Rt△OCP 中，设 OC＝xcm，则有 OP2＋PC2 ＝OC2，∴(1 2x)2＋32＝x2，∵x＞0，∴x＝2 3，所以直径 AB 为 4 3cm 17．(9 分)(2019·长春)如图，四边形 ABCD 是正方形，以边 AB 为直径作⊙O，点 E 在 BC 边上，连接 AE 交⊙O 于点 F，连接 BF 并延长交 CD 于点 G. (1)求证：△ABE≌△BCG； (2)若∠AEB＝55°，OA＝3，求 BF 的长．(结果保留π) 解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB ＝90°，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠ABF＋∠EBF＝90°，∴∠EBF＝∠BAF，在△ABE 与△BCG 中， ∠BAF＝∠EBF， AB＝BC， ∠ABE＝∠BCG， ∴△ABE≌△BCG(ASA) (2)如图，连接 OF，∵∠ABE ＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°－55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70 °，∵OA＝3，∴ BF 的长＝70π×3 180 ＝7π 6 18．(9 分)(2019·邵阳)如图，在等腰△ABC 中，∠BAC＝120°，AD 是∠BAC 的角平 分线，且 AD＝6，以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧 EF，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F. (1)求由弧 EF 及线段 FC，CB，BE 围成图形(图中阴影部分)的面积； (2)将阴影部分剪掉，余下扇形 AEF，将扇形 AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与 AF 正 好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高 h. 解：(1)∵在等腰△ABC 中，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，∵AD 是∠BAC 的角平分 线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BD＝ 3AD＝6 3，∴BC＝2BD＝12 3，∴由弧 EF 及线段 FC，CB，BE 围成图形(图中阴影部分)的面积＝S△ABC－S 扇形 EAF＝1 2 ×6×12 3－120π·62 360 ＝ 36 3－12π (2)设圆锥的底面圆的半径为 r，根据题意得 2πr＝120π·6 180 ，解得 r＝2，这个 圆锥的高 h＝ 62－22＝4 2 19．(9 分)(2019·雅安)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，OE∥AC 交 BC 于 E，过点 B 作⊙O 的切线交 OE 的延长线于点 D，连接 DC 并延长交 BA 的延长线 于点 F. (1)求证：DC 是⊙O 的切线； (2)若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段 CF 的长． 解：(1)如图，连接 OC，∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠1＝ ∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得 OD 垂直平分 BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE， 又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB 为⊙O 的切线，OB 是半径， ∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即 OC⊥DC，∵OC 是⊙O 的半径，∴DC 是 ⊙O 的切线 (2)在 Rt△ABC 中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又 OA＝OC，∴△AOC 是 等边三角形，∴∠COF＝60°，在 Rt△COF 中，∠F＝30°，CF＝ 3OC.∴CF＝4 3 20．(9 分)(2019·铜仁)如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，BE 是⊙O 的直径，连接 BF，延长 BA，过 F 作 FG⊥BA，垂足为 G. (1)求证：FG 是⊙O 的切线； (2)已知 FG＝2 3，求图中阴影部分的面积． 解：(1)证明：如图，连接 OF，AO，∵AB＝AF＝EF，∴ AB ＝ AF ＝ EF ，∴∠ABF ＝∠AFB＝∠EBF＝30°，∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠BFO＝30°，∴∠ABF＝∠OFB，∴ AB∥OF，∵FG⊥BA，∴OF⊥FG，∴FG 是⊙O 的切线 (2)∵ AB ＝ AF ＝ EF ，∴∠ AOF＝60°，∵OA＝OF，∴△AOF 是等边三角形，∴∠AFO＝60°，∴∠AFG＝30°，∵ FG＝2 3，∴AF＝4，∴AO＝4，∵AF∥BE，∴S△ABF＝S△AOF，∴图中阴影部分的面积＝ 60π×42 360 ＝8π 3 21．(10 分)(2019·江西)如图 1，AB 为半圆的直径，点 O 为圆心，AF 为半圆的切线，过 半圆上的点 C 作 CD∥AB 交 AF 于点 D，连接 BC. (1)连接 DO，若 BC∥OD，求证：CD 是半圆的切线； (2)如图 2，当线段 CD 与半圆交于点 E 时，连接 AE，AC，判断∠AED 和∠ACD 的数 量关系，并证明你的结论． 解：(1)证明：如图 1，连接 OC，∵AF 为半圆的切线，AB 为半圆的直径，∴AB⊥AD， ∵CD∥AB，BC∥OD，∴四边形 BODC 是平行四边形，∴OB＝CD，∵OA＝OB，∴CD＝ OA，∴四边形 ADCO 是平行四边形，∴OC∥AD，∵CD∥BA，∴CD⊥AD，∵OC∥AD， ∴OC⊥CD，∴CD 是半圆的切线 (2)∠AED＋∠ACD＝90°，理由：如图 2，连接 BE，∵ AB 为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EBA＋∠BAE＝90°，∵∠DAE＋∠BAE＝90°， ∴∠ABE＝∠DAE，∵∠ACE＝∠ABE，∴∠ACE＝∠DAE，∵∠ADE＝90°，∴∠DAE ＋∠AED＝∠AED＋∠ACD＝90° 22．(10 分)(河南中考)如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 为半圆上任一点． (1)若∠BAC＝30°，过点 C 作半圆 O 的切线交直线 AB 于点 P.求证：△PBC≌△AOC； (2)若 AB＝6，过点 C 作 AB 的平行线交半圆 O 于点 D.当以点 A，O，C，D 为顶点的 四边形为菱形时，求 BC 的长． 解：(1)∵AB 为半圆 O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°， ∵OB＝OC，∴△OBC 是等边三角形，∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60°，∴∠AOC＝ ∠PBC＝120°，∵CP 是⊙O 的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∴∠ACO＝∠PCB， 在△AOC 和△PBC 中， ∠ACO＝∠PCB， OC＝BC， ∠AOC＝∠PBC， ∴△AOC≌△PBC(ASA) (2)如图①，连接 OD，AD，CD，∵四边形 AOCD 是菱形，∴OA＝AD＝CD＝OC，则 OA＝OD＝OC，∴△AOD 与△COD 是等边三角形，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∴∠BOC ＝60°，∴ BC 的长＝60π×3 180 ＝π；如图②，同理∠BOC＝120°，∴ BC 的长＝120π×3 180 ＝2π，综上所述， BC 的长为π或 2π 23．(11 分)(淮安中考)问题背景： 如图①，在四边形 ADBC 中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段 AC，BC， CD 之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD 绕点 D，逆时针旋转 90°到△AED 处，点 B， C 分别落在点 A，E 处(如图②)，易证点 C，A，E 在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直 角三角形，所以 CE＝ 2CD，从而得出结论：AC＋BC＝ 2CD. 简单应用： (1)在图①中，若 AC＝ 2，BC＝2 2，则 CD＝3； (2)如图③，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙上，AD ︵ ＝BD ︵ ，若 AB＝13，BC＝12，求 CD 的长； 拓展规律： (3)如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若 AC＝m，BC＝n(m＜n)，求 CD 的 长．(用含 m，n 的代数式表示) 解：(1)由题意知：AC＋BC＝ 2CD，∴ 2＋2 2＝ 2CD，∴CD＝3 (2)连接 AC，BD，AD，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵ AD ＝ BD ， ∴AD＝BD，将△BCD 绕点 D 顺时针旋转 90°到△AED 处，如图 1，∴∠EAD＝∠DBC， ∵∠DBC＋∠DAC＝180°，∴∠EAD＋∠DAC＝180°，∴E，A，C 三点共线，∵AB＝13， BC＝12，∴由勾股定理可求得 AC＝5，∵BC＝AE，∴CE＝AE＋AC＝17，∵∠EDA＝ ∠CDB，∴∠EDA＋∠ADC＝∠CDB＋∠ADC，即∠EDC＝∠ADB＝90°，∵CD＝ED， ∴△EDC 是等腰直角三角形，∴CE＝ 2CD，∴CD＝17 2 2 (3)以 AB 为直径作⊙O，连接 OD 并延长交⊙O 于点 D1，连接 D1A，D1B，D1C，如图 2，由(2)的证明过程可知：AC＋BC＝ 2D1C，∴D1C＝ 2（m＋n） 2 ，又∵D1D 是⊙O 的直 径，∴∠DCD1＝90°，∵AC＝m，BC＝n，∴由勾股定理可求得：AB2＝m2＋n2，∴D1D2 ＝AB2＝m2＋n2，∵D1C2＋CD2＝D1D2，∴CD2＝m2＋n2－（m＋n）2 2 ＝（m－n）2 2 ，∵m＜n， ∴CD＝ 2（n－m） 2