人教版九年级下册数学导学案 第二十八章 锐角三角函数 11页

第二十八章 锐角三角函数 第一课时 锐角的正弦值 课前自习 1.同学们，我们上一章学习了相似三角形的知识，我们知道了两个相似的三角形它们的 是 成比例的。 例如： 下图中： BCD AEF  A:它们的对应点顶是： BCD 中的 B 对应点是 AEF 中的点 , BCD 中的 C 对应点是 AEF 中的点 , BCD 中的 D 对应点是 AEF 中的点 B:对应边是： BCD 中的 BD 对应边是 AEF 中的边 BCD 中的 CD 对应边是 AEF 中的边 BCD 中的 BC 对应边是 AEF 中的边 2.下面我们一起来看看下面的两个相似的直角三角形。 A DRt BC Rt A E  （ ,A A ADE ABC      ） Rt A ED 中的 AD 对应边是 BCRt A 中的边 A ERt D 中的 AE 对应边是 BCRt A 中的边 A ERt D 中的 DE 对应边是 BCRt A 中的边 由相似三角形对应边成比例可知： AE DE BC DE AC BC AC AE    这是分数的性质所决定的例如： 3 2 4 2=6 4 6 3  变形为： 后等式也是成立的 BC DE AC AE  下面我们来观察一下这两个比值， 在 Rt ADE 中， DE AE 是 A 的对边与斜边的比， 在 Rt ABC 中， BC AC 也是 A 的对边与斜边的比， 由 BC DE AC AE  得：同样大小的 A 在不同的三角形中的对边与斜边的比值是相等的。 我们把这个比值称为 A 的正弦值。用数学符号表示为：sin A（读法“赛恩 A”）例如： 050ABD  , 那么 ABD 的正弦值可写为： 0sin50 ，在不知道 ABD 的多少度时，它的正弦值可以表示为： sin ABD ， 3.这就是我们这一章学习的第一个锐角三角函数-------------正弦 AA =  的对边的正弦 斜边 4.有很多同学无法认识一个角的对边、邻边和斜边。下面我们就一起来认识一个直角三角形中锐角 的对边和邻边，斜边。 对于一个直角三角形来说，它有三条边。最长的一条是斜边，另两条是直角边。一个锐角的对边和 邻边指的是两条直角边中的一条。 例如： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边是_______，∠A 的邻边是_____，斜边是_____．∠B 的对边是_______，∠B 的邻边是_____ sin A= (_______) （_______）；sin = (_______)B （_______） 例 1： P76 例 1 先利用勾股定理求出直角三角形的三边，再根据正弦的定义求出正弦值。学习时同学们请注意勾股 定理的书写过程。 练习：P77 练习题 课后巩固练习 A 组 1.在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是． 2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的，记作， 3．在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 1 3 ，则 BC 等于_______。 4．如图，在直角△ABC 中，∠C＝90o，若 AB＝5，AC＝4，则 sinA＝（ ） A．3 5 B．4 5 C．3 4 D．4 3 5． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2 3 ，则边 AC 的长是( ) A． 13 B．3 C．4 3 D． 5 B 组 6 如图，已知点 P 的坐标是（a，b），则 sinα等于（ ） A． a b B． b a C． 2 2 2 2 .a bD a b a b  7．如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在 x 轴上，另一边经过点 P（2，2 错误!不能通过 编辑域代码创建对象。），求角α的正弦函数值． 第二课时 余弦、正切、余切 课前自习 1.同学们，我们上一课学习了一个锐角的正弦值，它的字母代号是 例如 ABC 的正弦值 可以表示为：如果已知 75oABC  那么，以上 表示的就是 75o 的正弦 值，即： 0sin 75 。 2.在学习正弦函数时我们知道，在不同的直角三角形中，相同的锐角所对的边长与斜边的长是一个 定值，同理，在不同的直角三角形中，相同的锐角的邻边与斜边的长也是一个定值，我们把这个比 值称为这个锐角的余弦函数值。 例如： A DRt BC Rt A E  （ ,A A ADE ABC      ） Rt A ED 中的 AD 对应边是 BCRt A 中的边 A ERt D 中的 AE 对应边是 BCRt A 中的边 A ERt D 中的 DE 对应边是 BCRt A 中的边 由相似三角形对应边成比例可知： AE DA BA DA AC BA AC AE    下面我们来观察一下这两个比值， 在 Rt ADE 中， DE AE 是 A 的邻边与斜边的比， 在 Rt ABC 中， BC AC 也是 A 的邻边与斜边的比， 由 BA DA AC AE  得：同样大小的 A 在不同的三角形中的邻边与斜边的比也是相等的。 我们把这个比值称为 A 的余弦值。用数学符号表示为：cos A（读法“渴赛 A”）例如： 050ABD  , 那么 ABD 的余弦值可写为： 0cos50 ，在不知道 ABD 的多少度时，它的余弦值可以表示为： cos ABD ， 3.我们这一章学习的第二个锐角三角函数-------------余弦 C B A AA =  的邻边的余弦 斜边 例如： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边是_______，∠A 的邻边是_____，斜边是_____．∠B 的对边是_______，∠B 的邻边是_____ cos A= (_______)  （_______）； cos = (_______)B （_______） 4.一个锐角的正切函数也是一个直角三角形的两边之比，这是本章的第三个三角函数，字母表示为： tan， A 的正切值用数学符号表示为：tan A（读法“太恩 A”）例如： 050ABD  ,那么 ABD 的正切值可写为： 0tan50 ，在不知道 ABD 的多少度时，它的正切以表示为： tan ABD ， AA =   的对边的正切 A邻边 （这里说的对边和邻边都是指的直角边） 例如： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边是_______，∠A 的邻边是_____，斜边是_____．∠B 的对边是_______，∠B 的邻边是_____ tan A= (_______)  （_______）； tan = (_______)B （_______）、 5.我们这一章学习的第四个锐角三角函数-------------余切 AA = A   的邻边的余切 对边 （这个是补充内容，请同学们加入课本） 用数学符号表示为： cot A（读法“渴太 A”）例如： 050ABD  ,那么 ABD 的余切值可写 为： 0cot50 ，在不知道 ABD 的多少度时，它的余切值可以表示为： cot ABD 。 例如： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边是_______，∠A 的邻边是_____，斜边是_____．∠B 的对边是_______，∠B 的邻边是_____ cot A= (_______)  （_______）； cot = (_______)B （_______） 6.到现在我们这一章的所有的三角函数都学习完了，它们是： 、 、 。用字母可表示为： 、 、 、 。 练习： P78，练习第 1 题、第 2 题 实例解析： P78 例 2 分析： 由题知， 3sin 5A  ，根据正弦函数的定义，正弦值是一个锐角的对边与斜边的比值，所以我们可 以得出： 6 3sin 5 3 AB=6 5 AB=10 BCA AB AB      由去分母或是分数的性质可得： 再由勾股定理可计算出 AC 的长度， 2 2 2 2 2 2 2 AC =AB -BC AC= AB -BC = 10 -6 =8 最后可以根据余弦函数与正切函数的定义求出问题。 注： 一个锐角的三角函数值的本质是两条边的比值，因此，先应该把这一个锐角放入一个直角三角 形中，找出它的对边和邻边，这样才能求出它的三角函数值。上一题中我们还可以求出它们的余切 值，同学们，你们知道 cot (______);cot (______)A B  练习： P78 练习第 3 题 课后巩固练习 A 组 1.在 中，∠C＝90°，如果 cos A=4 5 那么 的值为（ ） A．3 5 B．5 4 C．3 4 D．4 3 2、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D。 已知 AC= 5 ，BC=2，那么 sin∠ACD＝（ ） A． 5 3 B． 2 3 C． 2 5 5 D． 5 2 3、如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上， 且 AB＝5，BC＝3．则 sin∠BAC=；sin∠ADC=． 4、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，当锐角 A 确定时， ∠A 的对边与斜边的比是 ， 5、如图：P 是∠ 的边 OA 上一点，且 P 点的坐标为（3，4）， 则 cosα＝_____________. 6．如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在 x 轴上，另一边经过点 P（2，2 错误!不能通 过编辑域代码创建对象。），求角α的四个三角函数值． B 组 1．如图 1，已知 P 是射线 OB 上的任意一点，PM⊥OA 于 M，且 PM：OM=3：4，则 cosα的值等于（ ） A．错误!不能通过编辑域代码创建对象。 B．错误!不能通过编辑域代码创建对象。 C．错误!不能通过编辑域代码创建对象。 D．错误!不能通过编辑域代码创建对象。 图 1 图 2 图 3 2．在△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，则下列各项中正确的是（ ） A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确 3．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA=错误!不能通过编辑域代码创建对象。，则 tanB 等于（ ） A．错误!不能通过编辑域代码创建对象。 B．错误!不能通过编辑域代码创建对象。 C．错误!不能通过编辑域代码创建对象。错误!不能通过编辑域代码创建对象。 D．错误! 不能通过编辑域代码创建对象。 4．在 Rt△ABC 中，∠C= 090 ，AC=5，AB=13，则 sinA=____，cosA=____， A B C D E OA B C D · ∠A的邻边b ∠A的对边a 斜边c C B A tanA=_____．CotB= 5．如图 2，在△ABC 中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则 sinA=______，cosA=_____， cotA=tanB=_____．c 6．如图 3，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，b=20，c=20 错误!不能通过编辑域代码创建对象。，则∠B 的度数为_______． 7．如图 1－1－6，在△CDE 中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D 的三个三角函数值． 8．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD⊥AC 于 D，∠CBD=α，AB=3，BC=4，求 sinα，cosα， tanα的值． 第三课时 特殊角的三角函数值 课前自习 1.同学们，我们上几节课学习了锐角的四个三角函数值，它们是： 、 、 、 字母代号分别是： 、 、 、 。 2.如图，填空 sin (_____);sin (______);cos (______);cos (_____) tan (_____);tan (_____);cot (______);cot (______) A B A B A B A B         3.这一节课我们学习特殊角的三角函数值，特殊角指的是： 0 0 030 ;45 ;60 ， 函数、锐角 A 30 45 60 sin A cos A tan A cot A 同学们学习时一定注意，它们的三角函数值不能硬记忆，很易混乱，最好的方法是利角三角形 记忆。如下： 如果是 00 6030 和 的三角函数要记住、记清楚，就画第一个图，假设它的最短的边为 1，这样由 “30 度所对的直角边的斜边的一半”，可知斜边是 2，再根据勾股定理，我们可知，第三边应该为 3 ， 再根据三角函数的定义，我们就可以得出 0 030 ;60 的所以三角函数值。 如果是 045 的三角函数值不记得了，那就画第二个图。假设它的最短的边（直角边）为 1，可知 斜边是 2 ，再根据勾股定理，我们可知，第三边应该为 2 ，再根据三角函数的定义，我们就可 以得出 045 的所以三角函数值。 4.这一节课的考试要求是：记忆这些三角函数值，利用它们求出一些式子的值，还有可能利角它们 解决直角三角形中的一些知识。 例 1： P82，例 3 说明：题目中的 2 2sin 60 (sin 60 )o o ，这是这一章中对三角函数平方的固定写法。 练习： P83 练习题第 1、2 题 例 2： P82 例 4 说明： 本题中求一个角的度数，先应该求出这一个角的一个三角函数值，当然这里求出的三角函数值刚好 就是特殊角的三角函数值，所以得出这个角为 45 度。第二问也是一样的方法。 5.用计算器计算任何锐角的三角函数值 A:这一节课我们学习的是一些特殊角度的三角函数值，那如果不是特殊角度呢？那就只能用计算 器了，例如： sin 25 (___)o  先打开计算器，按下上边的sin 键，再按 25，再按，“0”键，就可以得出答案了。其它三种三 角函数和正弦一样，可以再到相应的键。 那如果这个角不是一个整数度数角呢？例如： ' ''tan 25 3545 (___)o  先打开计算器，按下上边的 tan 键，再按 25，再按，“0”键，再按 35，再按，“0”再按 45，再 按，“0”键就可以得出答案了。其它三种三角函数和正弦一样，可以再到相应的键。 练习： P84 练习第 1 题 B：如例 4 中，以后计算出的值不是一个特殊角的三角函数值，那又怎样来求这个角的度数呢，这 个我们可以用计算器来求。 例如： 如果计算出sin 0.35, A=A  那么 （_____） 我们就只能利用计算器了，先按左上角的 HHIFT 键，再按 SIN 键，这时就会显示出 1sin ，这时再按 0.35，再按等于号，就得出 A= （_____） 其它三种函数也是一样的方法可以得出。 练习： P84 练习题第 2 题。 课后巩固练习 A 组 P85 习题 28.1 第 1、2、3、4、5、6、7、8 题 B 组 一．选择题 1．在正方形网格中，∠AOB 如图 3 放置，则 cos∠AOB 的值为（ ） A． 5 5 B． 2 5 5 C． 1 2 D．2 2．如图，在直角△ABC 中，∠C＝90o，若 AB＝5，AC＝4，则 sinA＝（ ） A．3 5 B．4 5 C．3 4 D．4 3 3 在△ABC 中，锐角 A，B 满足（sinA- 3 2 ）2+│cosB- 3 2 │=0，则△ABC 是（ ）． A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角 C B A 4 在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，cosA= 1 2 ，sinB= 3 2 ，则△ABC 的形状是（ ）． A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 二．计算题： （1）2sin30°·tan60°； （2）3tan30°-2cos30°+tan2600 （1）cos260°+sin260°． （2） cos45 sin 45   -tan45° cos45 sin30 1cos60 tan 452     3 cos30°+ 2 sin45° 6tan2 30°－ 3 sin 60°－2sin 45° 8 在△ABC 中，已知 AB= 3 2 ，AC=4，∠A=60°，求 S△ABC 的值． 第四课时 解直角三角形 课前自习 1.同学们，解直角三角形与解方程一样，即是求出未知量，那一个直角三角形都有哪些未知量呢？ 我们先来学习一下直角三角形的六要素。 2.直角三角形的六要素，与边有关的三要素为直角三角形的三边：两条 边和一条边，与角有 关的三个要素：两个角和一个角。 3.解直角三角形时，一个直角是确定的，不用求，那这样这六要素就只剩下五要素了，这五要素中， 如果知其中的两个要素（至少一条边），就能求出其它的三个要素，这个过其就称为解直角三角形。 那么我们利用哪些公式和定理来求直角三角形的三要素： A：直角三角形的三条边的关系：表示为： B：两个锐角的关系： C：直角三角形的边角关系（三角函数关系）： sin (_____);sin (______);cos (______);cos (_____) tan (_____);tan (_____);cot (______);cot (______) A B A B A B A B         例 1：P90 例 1 分析： 本题中已知直角三角形的两边，那么需求出的三要素应该是剩下的一条边和两个锐角。我们先可以 求边，根据勾股定理可以求出第三边的长。再要根据三角函数的知识求出它的锐角。 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 R ABC C= AC= 2,BC= 6, AB =AC +BC AB =( 2) +( 6) AB =8 AB= 8 AB=(_______) 2 1sin 22 2 30 90 30 (________) t B B A           如图：在 中， 90 ， 解这个直角三角形。 解：由勾股定理得： 例 2：P90 例 2 分析： 这一题是已知一个角和一条边，需求另一个锐角和另两条边。先求锐角，根据两个锐铁有关系，求 出锐角，利用已知角的正切三角函数求出一条直角边，再用这个角的正弦函数求出另一边。 练习： P91 练习题。 课后巩固练习： A 组 一、选择题 1、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 CB 的延长线上 的 D′处，那么 tan∠BAD′等于（ ） (A)．1 (B)． 2 (C)． 2 2 (D)． 22 2、如果 是锐角，且 5 4cos  ，那么 sin 的值是（ ）． （A） 25 9 （B） 5 4 （C） 5 3 （D） 25 16 3、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么 cosa 的值等于（ ）． （A） 2 1 （B） 2 2 （C） 2 3 （D）1 4、在△ABC 中，∠C=90°，sinA= 3 5 ，则 cosA 的值是（ ） A． 3 5 B． 4 5 C． 9 16.25 25D 5．在 Rt△ABC 中， 90oC  ，AC=2, AB=3,则 cosA=_______,tanA=_______。 6、已知锐角α，cosα= 3 5 ，sinα=_______，tanα=_______。 7．在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 1 3 ，则 BC 等于_______。 8、Rt△ABC 中，若 sinA= 4 5 ，AB=10，那么 BC=_____，tanB=______． 9、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么 sinA=________． 三、解答题 1、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，若∠B＝30°，CD＝6，求 AB 的长． B 组 1.为测量某塔 AB 的高度，在离该塔底部 20m 处目测塔顶，仰角为 60°，目高为 1.5m，试求该塔 的高度．（精确到 0.1m， 3 ≈1.7） C BA C A D B 2、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为 10 米，坡角为 55 ，路基高 度为 5.8 米，求路基下底宽（精确到 0.1 米）. 第五课时 利用解直角三角形解决实际问题 课前自习 1. 这一章的实际问题中，利用解直角三角形可以得出直角三角形的一些边的长度的角的度数，所 以对于实际问题，我们都要有意识的把这些问题转化为与直角三角形有关的问题，也就是说我 们要做出一些直角三角形。 例如： P91 与 P92，例 3 和例 4. 题目中没有直角三角形。那我们就需做出直角三角形，因只有在直角三角形中才能找出一些锐角的 三角函数关系。 如果做题时所得的锐角不是特殊角，那我们可以利用计算器计算它们的三角函数值。 例 1：如图 31—3—2，在 2005 年 6 月份的一次大风中，育英中学一棵大树在离地面若干米的 B 处 折断，树顶 A 落在离树根 12 米的地方，现测得∠BAC＝48°，求原树高是多少米？（精确到 0.01 米） 解析： 本题需求原树的高，应该先求出 BC 和 BA 的长度再相加。已知 AC 和∠BAC＝48°，如果需求 BC， 那么先考虑 BC 和 AC 的关系，对于∠BAC 来说，这两边的比是它的正切值。所以想到了利用∠BAC 的正切函数值。那 AB 怎样求呢？我们来看看 AB 与 BC 的关系，对于∠BAC 来说，这两边的比是这 个角的余弦值，所以想到了可以处用∠BAC 的余弦值。 注： 要求线段长度，必须先考虑一下这条未知线长与已知线长的比与哪一个角的三角函数值有关。再利 角这一个角的三角函数值建立一个等式。从而求出未知线长。 0 0 0 0 R 12 12 tan 48 (________) 12cos 12 cos48 (_________) =AB+BC=(_______) BC BC AC BC BC AC AB AB AB AB            在 t ACB中 tan BAC=tan48 = BAC=cos48 = 原树的高 练习： P93 练习第 1、2 题。 例 5： 本题涉及方位，下面我们对方位进行复习，如图：  55 5.8m 10m A B C D 1.AH 方向是 A 点的东偏北 750，出可以说是北偏东 2.AC 方向是 A 点的或是 3.A 点西南方向是：也可以说是 A 点的 西北方向是也可以说是北偏西 450 4.点 A 的正东方是方向 对于这一题，我们得先看图找出图中相应的角的度数，再利角三角函数的知识来求解。 2. 坡角、坡度（坡比） 这两个概念是很易混淆的，例如，我们平时所讲的“这座山的坡度好大啊”这句话中的坡度所说的 不是说山的坡角大，而是山的坡比大。坡度不是度数，而是说的坡比，说的是坡角的正切值。 例如： 在这一个山坡中，山的坡角指的是： 山的坡度（坡比）指的是： (_____)M (_____)  的正切值tan M= 因此，坡度不是说的度数，而是坡比（一般用i 表示），是一个比值，是坡角的正切值，也就是坡 角的对边与邻边的比。 练习： P95 第 1、2 题 课后巩固练习 A 组 P96 习题 28.2 第 1、2、3、4、5、6、7、8 题 B 组 P101 复习题 28 第 1、2、3、4、5、6、7、8、9 题。 1．如图 1，防洪大堤的横断面是梯形，坝高 AC 等于 6 米，背水坡 AB 的坡度 i=1：2，则斜坡 AB 的 长为_______米． 92.某地某时刻太阳光与水平线的夹角为 31°，此时在该地测得一幢楼房在水平地面上的影长为 30m， 求这幢楼房的高 AB．（结果精确到 1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60） 3、如图，某一水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 CD＝5 米，斜坡 AD＝16 米，坝高 6 米，斜坡 BC 的坡度 3:1i .求斜坡 AD 的坡角∠A（精确到 1 分）和坝底宽 AB．（精确 到 0.1 米） D C BA