北师大版数学九年级上册同步课件-4第四章-4 探索三角形相似的条件 20页

第四章 图形的相似 4.4 探索三角形相似的条件 第1课时 利用两角判定三角形相似 1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件. 2.掌握相似三角形的判定定理1.（重点） 3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点） 学习目标 问题1：这两个三角形有什么关系？ 全等三角形 观察与思考： 那这样变化一下呢？ 相似三角形 问题2： 相似多边形的定义是什么？根据相似多边形的定义， 你能说说什么叫相似三角形吗？ 全等是一种特 殊的相似 定义 判定方法 全等三 角形 相似三 角形 三角、三边对应相等 的两个三角形全等 三角对应相等,三边对 应成比例的两个三角 形相似 角 边 角 A S A 角 角 边 A A S 边 边 边 S S S 边 角 边 S A S 斜 边 、 直 角 边 H L 问题3： 三角形全等的性质和判定方法有哪些？ 需要三个 等量条件 思考： 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个 三角形相似需要几个条件？ 问题： 观察学生与老师的直角三角板相似吗？测量一下， 得出你的猜想. 利用角的关系判定两个三角形相似1 这两三角形是相似的. 做一做：画△ABC，使∠A=30°,∠B=45°，再画△A′B′C′， 使∠A′=30°,∠B′=45°.观察这两个三角形的形状相同吗？ 你能证明∠C=∠C′吗？量出这两个三角形的三边，计算对 应边是否对应成比例？由此你可以得出什么结论？ 两角分别相等的两个三角形相似. 猜想：由以上的探究写出利用角判定两个三角形全等的条件. 已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B' A' D E C' B A C 证明猜想： 证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分 别截取A′D=AB，A′E=AC，连结DE. ∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC， ∴△A′DE≌ △ABC,∴∠A′DE=∠B. 又∵∠B′=∠B，∴∠A′DE=∠B′， ∴DE∥B′C′， ∴△A′DE∽△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC. B' A' D E C' B A C 两角分别相等的两个三角形相似. A B C A' C' B' ★用数学符号表示： ∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'， ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'. ★相似三角形的判定定理： 注意：对应点写在对应的位置. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC, AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长. 解：∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC (两角分别相等的两 个三角形相似)， ∴BC=14. AD DE AB BC ∴ ， B A D E C 例1 如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB. 求证：△ADE∽△EFC. A E FB C D证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC， ∴ △ADE∽△EFC（两角分别相等的 两个三角形相似）． 例2 已知：如图，∠1=∠2=∠3， 求证：△ABC∽△ADE． 证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC， ∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE， 又∵ ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. 在△ABC和△ ADE中 ∠BAC=∠DAE，∠C= ∠E， ∴ △ABC∽△ADE. 例3 1.在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80 °,∠E=80 ° , ∠F=60 °.求证：△ABC∽△DEF. A FECB D 证明：∵ 在ΔABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ， ∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=180 °－40 °－80 °=60 °. ∵ 在ΔDEF中，∠E=80 °，∠F=60 °， ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F， 　∴ △ABC∽△DEF（两角对应相等，两三角形相似）. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，正方形EFCD的三个顶 点E、F、D分别在边AB、BC、AC上.已知AC=7.5，BC=5， 求正方形的边长. 解：∵四边形EFCD是正方形， ∴ED∥BC,ED=DC=FC=EF. ∵∠ADE=∠ACB=90°，∠AED=∠ABC， ∴△AED∽△ABC， AD ED AC BC   ， 7.5, 7.5 5 AC DC ED DC DC AC BC     ， ∴DE=3,即正方形的边长为3. 3.如图，在等边△ABC中，边长为10，点D在BC上， BD=6，∠ADE=60°，DE交AC于点E. （1）求证：△ABD∽△DCE. ∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE. 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，∴∠ADB+∠BAD=120°. 又∠ADE=60°，∴∠ADB+∠CDE=120°， （2）求CE的长. 6 10 4 解：∵△ABD∽△DCE， ∴△ABD∽△DCE， AB BD CD CE   ， 10 6 ,4 CE   ∴CE=2.4. 利用两角判定三 角形相似 定理：两角分别相等的两个三角形相似 相似三角形的判定定理1的运用