北师大版数学九年级上册同步课件-4第四章-4平行线分线段成比例 22页

第四章 图形的相似 4.2 平行线分线段成比例 1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论.（重点） 2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点） 学习目标 下图是一架梯子的示意图，由生活常识可 以知道:AA1、BB1、CC1互相平行，且若 AB=BC，你能猜想出什么结果呢？ a b c DE=EF D F E 观察与猜想： N E a b A B C D F 1l 2l 3l 直线 ，AB=BC. 求证：DE与EF相等. 321 //// lll M 证明：分别过点D、E作DM∥a交l2于点 M，EN∥a交l3于点N. 易证：四边形ABMD和四边形BCNE是平行四边形. 由AB=BC得DM=EN， 易证△DME≌ △ENF， ∴ DE=EF. 证明猜想： 1 平行线分线段成比例（基本事实） 如图（1），小方格的边长都是1，直线a ∥b∥c ,分别交直线 m、n于点 （1）计算 ，你有什么发现？1 2 1 2 2 3 2 3 , A A B B A A B B .,,,, 321,321 BBBAAA 合作探究：平行线分线段的关系 （2）将b向下平移到如图2的位置，直线m、n与直线b的交点 分别为 .你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将 b平移到其他位置呢？ (图2） 22 , BA 猜想：在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线， 截得的对应线段成比例吗？ 如果 ，那么 与 相等吗？3 2  BC AB BC AB EF DE 解： 相等.理由如下，如图，我们分 别找出AB的二等分点和BC的三等分 点，再过它们作AD的平行线. P M H Q N G .AB DE BC EF 即 ,AP PB BM MH HC    ,DQ QE EN NG GF    由平行线等分线段可知： AP PB BM MH HC    2 , 3 DQ QE EN NG GF      1l 2l 3l 证明猜想（特殊）： 如果 ， 那么 与 相等吗？m n BC AB  BC AB EF DE 解：相等.理由如下：我们分别找出AB 的n等分点和BC的m等分点，再过它们 作AD的平行线. AB DE n BC EF m   平行线分线段 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例. 成比例 n个 m个 n个 m个 1l 2l 3l 证明猜想（一般）： ★基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例. ★符号语言： 若a ∥b∥ c ，则 . 1 2 1 2 2 3 2 3 A A B B A A B B  b c a 1.直线AB//CD//EF，若AC=3，CE=4， 则 ，  DF BD  BF BD 3 4 3 7 2.直线 ，若AC=4，CE=6， 则BD=3 ，BF= cba //// 15 2 练一练： l2l1 l2 l3 l4 l5 l1 A B C D E A B C D E l3 l4 l5C A B D E A B C D E 找一找：如图2、图3，l3∥ l4∥l5,请指出成比例的线段. 猜想：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边 的延长线），所得的对应线段成比例. 图2 图3 平行线分线段成比例定理的推论2 如图，在△ABC中，已知DE∥BC,求证： 及 . EC AE DB AD  A B C D E AC AE AB AD  M N 如图，过点A作直线MN，使 MN//DE. ∵DE//BC, ∴MN//DE//BC. 因此AB、AC被一组平行线MN、 DE、BC所截. 证明猜想： ,AD AE DB EC  ,DB EC AD AE  .DB EC AB AC  同时还可以得到 则由平行线分线段成比例可知 .AD AE AB AC  / / ,DE BC ,AD AE AB AC  .BD CE AB AC ,AD AE DB EC   归纳总结： 平行线分线段成比例的推论： 平行于三角形一边的直线与其他两边（或其延长线） 相交，截得的对应线段成比例. 如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC的点，且 EF∥BC. (1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少？ A E B C F 解: ∵EF∥BC, ∴ ∵AE = 7, EB = 5 , FC = 4， ∴ .AE AF EB FC  . 5 28 5 47      EB FCAEAF 例1 (2)如果AB=10，AE=6，AF=5,那么FC的长是多少？ A E B C F 解: ∵EF∥BC, ∴ ∵AB = 10 , AE = 6 , AF = 5， ∴ ∴FC=AC – AF = .AE AF AB AC  10 5 25 , 6 5 AB AFAC AE      . 3 105 3 25  如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE//BC， EF//AB，若AD=2BD. (1)求 的值. (2)求证： . BF CF BC DE AB AD  A B C D E F 解：(1)∵DE//BC，EF//AB, , .AD AE AE BF AB AC AC BC    又AD=2BD， 2 , 3 BF AE BC AC    1 . 2 CF BF   (2)∵DE//BC，EF//AB, ∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF. , .AD BF AD DE AB BC AB BC   由（1）知 例2 1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(　　) A. B. C. D. DF BD CE AC  BF BD AE AC  CE DF AE BF  AC BD BF AE  D 3.在△ABC中，ED//AB，若 ， 则 3 4  EC AE _______BD DC  ， _______ .BD BC  4 3 4 7 2.如图，DE∥BC,已知 2 5 AE AC  ， _______ .AD AB 则 2 5 A B C E D A B C D E 4.已知DE//BC, AB=15,AC=9,BD=4 ，求AE的长. 解:∵ DE∥BC, AB AC BD CE∴ —— ——.＝ 即 15 9 , 4 12 5 12 29 11 . 5 5 CE CE AE AC CE          ， 5.如图，AB=AC，AD⊥BC于点D,M是AD的中点，CM交AB于 点P,DN ∥CP.若AB=6 cm，求AP的长. 解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D, M是AD的中点, ∴DB=DC,AM=MD. ∵DN ∥CP, ,AP AM BN BD PN AD PN DC    ， .AP PN BN   又∵AB=6 cm， ∴AP=2 cm. 平行线分线 段成比例 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的对应线段成比例 基本事实 推论 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例