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  • 2021-11-10 发布

新人教数学九年级下册:达标训练(26-2用函数观点看一元二次方程)

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达标训练 基础•巩固 1.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是 x=2,且经过点 P(3,0),则 a+b+c的值为() A.-1B.0C.1D.2 思路解析:求 a+b+c的值就是求 x=1时函数的值.根据抛物线的对称性,点 P(3,0)关于直线 x=2的对称点(1,0) 也在抛物线上,所以当 x=1时,y=0,即 a+b+c=0. 答案:B 2.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳,函数 h=3.5t-4.9t2(t的单位:s,h的单位:m)可以描 述他跳跃时重心高度的变化(图 26.2-10),则他起跳后到重心最高时所用的时间约是() 图 26.2-10 A.0.71 sB.0.70 sC.0.63 sD.0.36 s 思 路 解 析 : 起 跳 后 到 重 心 最 高 时 所 用 的 时 间 就 是 抛 物 线 最 高 点 对 应 的 横 坐 标 , 即 36.0 )9.4(2 5.3 2    xa bx . 答案:D 3.如图 26.2-11所示,二次函数 y=x2-4x+3的图象交 x轴于 A、B两点,交 y轴于点 C,则△ABC的面积为 () 图 26.2-11 A.6B.4C.3D.1 思路解析:运用二次函数 y=ax2+bx+c的图象及性质的. 由函数图象可知 C点坐标为(0,3),再由 x2-4x+3=0 可得 x1=1,x2=3 所以 A、B两点之间的距离为 2.那么 △ABC的面积为 3,故应选 C. 答案:C 4.若二次函数 y=x2-4x+c的图象与 x轴没有交点,其中 c为整数,则 c=________(只要求写出一个). 思路解析:二次函数 y=x2-4x+c的图象与 x轴没有交点,则 b2-4ac<0,即 16-4c<0.解得 c>4,c取大于 4的 整数. 答案:5或 6,7,…… 5.画出函数 y=x2-2x-3的图象,根据图象回答下列问题. (1)图象与 x轴、y轴的交点坐标分别是什么? (2)当 x取何值时,y=0?这里 x的取值与方程 x2-2x-3=0有什么关系? (3)x取什么值时,函数值 y大于 0?x取什么值时,函数值 y小于 0? 思路解析:(1)二次函数图象与 x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决;反过来,一元二次 方程的根的问题,又常用二次函数的图象来解决. (2)利用函数的图象能更好地求不等式的解集,先观察图象,找出抛物线与 x轴的交点,再根据交点的坐标 写出不等式的解集. 解:图象如图 26.2-13, 图 26.2-13 (1)图象与 x轴的交点坐标为(-1,0)、(3,0),与 y轴的交点坐标为(0,-3). (2)当 x=-1 或 x=3 时,y=0,x的取值与方程 x2-2x-3=0的解相同. (3)当 x<-1或 x>3时,y>0;当 -1<x<3时,y<0 综合•应用 6.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 26.2-12所示,若M=4a+2b+c,N=a-b+c,P=4a+2b,则() 图 26.2-12 A.M>0,N>0,P>0B.M>0,N<0,P>0 C.M<0,N>0,P>0D.M<0,N>0,P<0 思路解析:根据二次函数图象求有关 a、b、c的代数式的值问题,通常转化为求函数式的值问题. 当 x=1 时,y 的值就是 a+b+c 的值;当 x=2 时,y 的值就是 4a+2b+c 的值;当 x=-1 时,y 的值就是 a-b+c 的值. 根据抛物线对称轴的位置,知道 a b 2  >1,由于 a>0,对不等式变形: ∵a>0,∴-b>2a.∴4a<-2b.∴4a+2b<0. 答案:D 7.已知二次函数 y=2x2+9x+34,当自变量 x取两个不同的值 x1、x2时,函数值相等,则当自变量 x取 x1+x2 时的函数值与() A.x=1时的函数值相等 B.x=0 时的函数值相等 C. 4 1 x 时的函数值相等 D.x= 4 9  时的函数值相等 思路解析:若自变量 x取两个不同的值 x1、x2时,函数值都为 h,则(x1,h)、(x2,h)关于抛物线的对称轴对称, 且 x1+x2= a b  .本题中 a=2,b=9,所以 x1+x2= 2 9  . 把 x= 2 9  代入函数解析式中求出函数的值,与 x=0时的函数值相等. 或者用对称性解决,抛物线上横坐标为 2 9  的点,其关于抛物线的对称轴 4 9 x 对称的点的横坐标为 0, 这两个点的纵坐标相等,即 x= 2 9  和 x=0时,函数值相等. 答案:B 8.用列表法画二次函数 y=x2+bx+c的图象时先列一个表,当表中对自变量 x的值以相等间隔的值增加时,函 数 y所对应的值依次为: 20,56,110,182,274,380,506,650,其中有一个值不正确,这个不正确的值是( ) A.506B.380C.274D.182 思路解析:二次函数中,当自变量 x的值以相等间隔的值增加时,函数 y所对应的值呈一次函数的形式变 化. 设 x2=x1+d,则△=y2-y1=(x1+d)2+b(x1+d)+c-(x1)2-x1-c=2dx1+(d2+bd). 因为 b、d均为常数,所以△是关于 x1的一次函数. 本题中,y的增加值应呈一次函数规律变化. 因为 56-20=36,110-56=54,所以 y的增加值为每次较上次多增加 18. 依次往后面计算. 182-110=72,符合;274-182=92,不符合. 答案:C 9.在直角坐标平面中,O为坐标原点,二次函数 y=x2+bx+c的图象与 x轴的负半轴相交于点 C(如图 26.2-13), 点 C的坐标为(0,-3),且 BO=CO. 图 26.2-1 3 (1)求这个二次函数的解析式; (2)设这个二次函数的图象的顶点为M,求 AM的长. 思路解析:二次函数解析式中有两个常数未知,而已知条件只有一个点,观察图象,根据相等及坐标意义, 还可以求出 B的坐标,然后再用待定系数法求出解析式. 解:(1)∵C(0,-3),OC=|-3|=3,∴c =-3. 又∵OC=OB,∴BO=3.∴B(3,0). ∴9+3b-3=0.解得 b=-2. ∴y=x2-2x-3. (2) 1 2 2 2    a b , 当 x=1时,y=1-2-3=-4.∴M(1,-4). ∵A(-1,0),∴ 5242 22 AM . 10.已知二次函数 y=x2-kx+k-5. (1)求证:无论 k取何实数,此二次函数的图象与 x轴都有两个交点; (2)若此二次函数图象的对称轴为 x=1,求它的解析式; (3)若(2)中的二次函数的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C;D是第四象限函数图象上的点,且OD⊥BC 于 H,求点 D的坐标. 思路解析:(1)抛物线与 x轴的交点取决于 b2-4ac的符号,当 b2-4ac>0时,图象与 x轴交于两点,这两点的 横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根. 本题先判断 b2-4ac的符号:b2-4ac=k2-4(k-5)=(k-2)2+16>0 . (2)根据抛物线的对称轴为 a bx 2  ,计算 k的值为 2,得到抛物线的解析式. (3)由抛物线的解析式得到 A、B、C的坐标,要求点 D的坐标,就要结合图形看 OH的位置,发现 OH是 等腰直角三角形 OBC斜边上的高,所以 OD在二、四象限的平分线上,点 D在第四象限,其横坐标、纵 坐标互为相反数,由此列出方程解答. (注:第 3问还可以用后面学习的相似三角形的知识得到点 D的坐标特征.) 解:(1)∵b2-4ac=k2-4(k-5)=k2-4k+20=k2-4k+4+16=(k-2)2+16>0, ∴无论 k取何实数,此二次函数的图象与 x轴都有两个交点. (2)当二次函数图象的对称轴为 x=1时,有 1 12     k ,所以 k=2. 所以抛物线的解析式为 y=x2-2x-3. (3)由 x2-2x-3=0,得 x1=-1,x2=3.所以 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3). 则 OB=3,OC=3.∴△OBC是等腰直角三角形. ∵OD⊥BC,∴直线 OD在二、四象限的平分线上. 设点 D的坐标为(d,-d),则 d2-2d-3=d. 解方程得 2 213, 2 213     dd (负值舍去). 所以,点 D的坐标为( 2 213, 2 213  ). 回顾•展望 11.(2010浙江诸暨模拟)抛物线 y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图 26.2-14所示,那么该抛物线在 y轴右侧与 x 轴交点的坐标是() 图 26.2-14 A.( 2 1 ,0)B.(1,0)C.(2,0)D. (3,0) 思路解析:一般方法.抛物线解析式中只有一个系数未知,可以把已知点的坐标代入解析式就可以求出系数 的值,再根据解析式解答问题. 特殊方法:本题可以根据抛物线对称轴性质得到抛物线的对称轴是 x=-1,此时根据对称 性即可得到另一个交点的坐标. 答案:B 12.(2010福建福州模拟)已知实数 s,t,且满足 s2+s-2 006=0,t2+t-2 006=0.那么二次函数 y=x2+x-2 006的图 象大致是() 思路解析:实数 s,t,且满足 s2+s-2 006=0,t2+t-2 006=0,说明抛物线 y=x2+x-2 006与 x 轴有两个交点,对称轴为 x=- 2 1 ,与 y轴的交点在 x轴的下方. 答案:B 13.(2010福建福州模拟)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量 x与函数 y之间满足下列数量关系: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y 24 15 8 3 0 -1 0 3 8 15 (1)观察表中数据,当 x=6时,y的值是__________; (2)这个二次函数与 x轴的交点坐标是__________; (3)代数式 a acbb a acbb 2 4 2 4 22    +(a+b+c)(a-b+c)的值是__________; (4)若 s、t是两个不相等的实数,当 s≤x≤t时,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)有最小值 0和最大值 24,那么经 过点(s+1,t+1)的反比例函数解析式是____________________. 思路解析:根据抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称性及点的坐标意义,可以很容易解决第 1、2问. 第 3问中,代数式的前两个部分合并化简,其结果是对称轴表达式的 2倍,后面一部分可以看作是 x=1和 x=-1时对应函数值的积. 原式=2×1+(-1)×3=-1. 第 4问跟二次函数的增减性有关. ①当-4≤x≤0时,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)随 x的增大从最大值 24减小到最小值 0, 所以 s=-4,t=0,反比例函数过(-3,1),其解析式为 x y 3  . ②当 2≤x≤6时,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)随 x的增大从最小值 0增大到最大值 24,所 以 s=2,t=6,反比例函数过(3,7),其解析式为 x y 21  . 答案:(1)24(2)(0,0),(2,0)(3)-1(4) x y 3  或 x y 21  14.(2010北京模拟)已知抛物线 y=ax2+bx+c与 y轴交于点 A(0,3),与 x轴分别交于 B(1,0)、C(5,0)两点. (1)求此抛物线的解析式; (2)若点 D为线段 OA的一个三等分点,求直线 DC的解析式; (3)若一个动点 P自 OA的中点M出发,先到达 x轴上的某点(设为点 E),再到达抛物线的对称轴上某点(设 为点 F),最后运动到点 A.求使点 P运动的总路径最短的点 E、点 F的坐标,并求出这个最短总路径的长. 思路解析:(1)已知图象上的三个点的坐标,用待定系数法可求出函数解析式; (2)根据分点的意义,算出两个分点的坐标,用待定系数法分别求出解析式; (3)路径最短问题,可以用轴对称变换,把线段转换到同一直线上. 作点 A关于抛物线的对称轴的对称点 A′,点M关于 x轴的对称点M′,连接 A′M′,则线段 A′M′的长就是 最小的线段和. 解:根据题意,c=3,所以      )2(.03525 )1(,03 ba ba 解得         . 5 18 , 5 3 b a 所以,抛物线的解析式为 .3 5 18 5 3 2  xxy (2)根据题意可得 OA的三等分点分别为(0,1),(0,2). 设直线 CD的解析式为 y=kx+m. 当点 D的坐标为(0,1)时,直线 CD的解析式为 y= 5 1  x+1; 当点 D的坐标为(0,2)时,直线 CD的解析式为 y= 5 2  x+2. (3)如图,由题意可得M(0, 2 3 ). 点M关于 x轴的对称点为M′(0, 2 3  ), 点 A关于抛物线对称轴 x=3轴的对称点为 A′(6,3), 连接 A′M′.根据轴对称性质及两点间线段最短可知,A′M′的长度就是所求点 P运动的最短总路径的长. 所以 A′M′与 x轴的交点为所求 E点,A′M′与直线 x=3的交点为所求 F点. 把 A′、M′的坐标代入解析式得,直线 A′M′的解析式为 2 3 4 3  xy . 所以 E点坐标为(2,0),F点坐标为(3, 4 3 ). 由勾股定理求得 A′M′= 2 15 . 所以点 P运动的最短总路径(ME+EF+FA)的长为 2 15 .