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- 2021-11-10 发布
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专题 12 韦达定理及其应用
1.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
如果方程 )0(02 acbxax 的两个实数根是 21 xx , ,那么
a
bxx 21 ,
a
cxx 21 。也就是说,
对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反
数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用,主要有如下方面:
(1)验根;
(2)已知方程的一根,求另一根;
(3)求某些代数式的值;
(4)求作一个新方程。
【例题 1】(2020•泸州)已知 x1,x2 是一元二次方程 x2﹣4x﹣7=0 的两个实数根,则 x12+4x1x2+x22 的值是 .
【对点练习】(2019 湖北仙桃)若方程 x2﹣2x﹣4=0 的两个实数根为α,β,则α2+β2 的值为( )
A.12 B.10 C.4 D.﹣4
【例题 2】(2020•江西)若关于 x 的一元二次方程 x2﹣kx﹣2=0 的一个根为 x=1,则这个一元二次方程的另
一个根为 .
【对点练习】 已知方程 的一个根是-1/2,求它的另一个根及 b 的值。
【对点练习】(2019 年湖北省荆门市)已知 x1,x2 是关于 x 的方程 x2+(3k+1)x+2k2+1=0 的两个不相等实数根,
且满足(x1﹣1)(x2﹣1)=8k2,则 k 的值为 .
【例题 3】(2020•随州)已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m﹣2=0.
(1)求证:无论 m 取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
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(2)若方程有两个实数根 x1,x2,且 x1+x2+3x1x2=1,求 m 的值.
【对点练习】(2019▪湖北黄石)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+(4m+1)=0 有实数根.
(1)求 m 的取值范围;
(2)若该方程的两个实数根为 x1.x2,且|x1﹣x2|=4,求 m 的值.
【例题 4】(2020 湖北黄石模拟)已知方程 的两根 ,求作以 为两根
的方程。
【对点练习】(2019 山东淄博模拟)若 x1+x2=3,x12+x22=5,则以 x1,x2 为根的一元二次方程是( )
A.x2﹣3x+2=0 B.x2+3x﹣2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2﹣3x﹣2=0
一、选择题
1. (2019•江苏泰州)方程 2x2+6x﹣1=0 的两根为 x1、x2 则 x1+x2 等于( )
A.﹣6 B.6 C.﹣3 D.3
2. (2019•广东)已知 x1.x2 是一元二次方程了 x2﹣2x=0 的两个实数根,下列结论错误的是( )
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A.x1≠x2 B.x12﹣2x1=0 C.x1+x2=2 D.x1·x2=2
3.(2019•广西贵港)若α,β是关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m=0 的两实根,且 + =﹣ ,
则 m 等于( )
A.﹣2 B.﹣3 C.2 D.3
二、填空题
4.(2020•内江)已知关于 x 的一元二次方程(m﹣1)2x2+3mx+3=0 有一实数根为﹣1,则该方程的另一个实数
根为 .
5.(2019 年江西省)设 x1,x2 是一元二次方程 x2﹣x﹣1=0 的两根,则 x1+x2+x1x2= .
6.(2019 年四川攀枝花)已知 x1,x2 是方程 x2﹣2x﹣1=0 的两根,则 x12+x22= .
7.(2019 年四川成都)已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k﹣1=0 的两个实数根,且 x12+x22﹣x1x2=13,
则 k 的值为 .
8.(2019 四川泸州)已知 x1,x2 是一元二次方程 x2﹣x﹣4=0 的两实根,则(x1+4)(x2+4)的值是 .
三、解答题
9.(2020•鄂州)已知关于 x 的方程 x2﹣4x+k+1=0 有两实数根.
(1)求 k 的取值范围;
(2)设方程两实数根分别为 x1、x2,且 x1x2﹣4,求实数 k 的值.
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10.(2020•南充)已知 x1,x2 是一元二次方程 x2﹣2x+k+2=0 的两个实数根.
(1)求 k 的取值范围.
(2)是否存在实数 k,使得等式 k﹣2 成立?如果存在,请求出 k 的值;如果不存在,请说明理由.
11. (2019 黑龙江绥化)已知关于 x 的方程 kx2-3x+1=0 有实数根.
(1)求 k 的取值范围;
(2)若该方程有两个实数根,分别为 x1 和 x2,当 x1+x2+x1x2=4 时,求 k 的值.
12.(2019 孝感)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2=0 有两个不相等的实数根 x1,x2.
(1)若 a 为正整数,求 a 的值;
(2)若 x1,x2 满足 x12+x22﹣x1x2=16,求 a 的值.
13.已知:x1、x2 是两个不相等的实数,且满足 ,那么求
的值。
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