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- 2021-11-10 发布
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图形的折叠问题
(复习课)
几何研究的对象是:
图形的形状、大小、位置关系;
主要培养三方面的能力:
思维分析能力、空间想象能力和逻辑推理能力;
折叠型问题的特点是:
折叠后的图形具有轴对称图形的性质;
两方面的应用:
一、在“大小”方面的应用;二、在“位置”方面的应用。
折叠型问题在“大小”方面的应用,通常有求线段的长,角的度数,图形的周长与面积的变化关系等问题。
一、在“大小”方面的应用
1
、求线段与线段的大小关系
例
1
如图,
AD
是
ABC
的中线,
ADC=45
º
,
把
ADC
沿
AD
对折,点
C
落在点
C
'
的位置,求
BC
'
与
BC
之间的数量关系。
解 由轴对称可知
ADC
≌
ADC
' ,
ADC'=ADC=45º, C'D=CD=BD
BC´D
为
Rt
BC’=2 BD=
BC
2
2
练习
1
如图,有一块直角三角形纸片,两直角边
AC=6
,
BC=8
,现将直角边
AC
沿直线
AD
折叠,使它落在斜边
AB
上,且与
AE
重合,则
CD
等于( )
(A)2 (B)3 (C )4 (D)5
例
2
如图,折叠矩形的一边
AD
,点
D
落在
BC
边上点
F
处,已知
AB=8
,
BC=10
,则
EC
的长是
。
解
设
EC=x
,则
DE=8-x
,由轴对称可知:
EF=DE=8-x
,
AF=AD=10
,又因
AB=8
,故
BF=6
,故
FC=BC-BF=4
。在
Rt
FCE
中,
4
2
+x
2
=(8-x)
2
,解之得
x=3
B
练习
2
如图,在梯形
ABCD
中,
DC
AB
,将梯形对折,使点
D
、
C
分别落在
AB
上的
D
¹
、
C
¹
处,折痕为
EF
。若
CD=3
,
EF=4
,则
AD
¹
+BC
¹
=
。
2
练习
3
如图,将矩形
ABCD
纸片对折,设折痕为
MN
,再把
B
点叠在折痕线
MN
上,若
AB=
3
,则折痕
AE
的长为( )。
(A) 33
/2
(B) 33
/4
(C ) 2 (D) 23
E
C
2
、求角的度数
例
3
将长方形
ABCD
的纸片,沿
EF
折成如图所示;已知
EFG=55
º
,
则
FGE=
。
70
º
练习
4
如图,矩形
ABCD
沿
BE
折叠,使点
C
落在
AD
边上的
F
点处,如果
ABF=60
º
,
则
CBE
等于( )。
(A)15
º (B)30º (C )45º (D)60º
A
3
、求图形的全等、相似和图形的周长
例
4
如图,折叠矩形
ABCD
一边
AD
,使点
D
落在
BC
边的一点
F
处,已知折痕
AE=5
5 cm
,且
tanEFC=3
/4. (1)
求证:
AFB
∽
FEC
;
(2)
求矩形
ABCD
的周长。
证明:
(
1
)
∵∠
B=
C=D=90
º
,
又根据题意
Rt
ADE
≌RtAFE,
∴AFE=90
º ,
∴AFB=FEC ,
∴
AFB∽FEC.
解
(
2
)由
tan
EFC=3
/4
,设
EC=3k
,则
FC=4k
,在
Rt
EFC
中,得
EF=DE=5k
。
∴DC=AB=8k,
又
ABF∽FCE,
∴ =
即
=
AB
BF
8k
BF
FC
CE
4k
3k
∴ BF = 6k , ∴ AF = 10k
在
Rt
AEF
中
, AF
2
+EF
2
= AE
2
∴(10k)
2
+ (5k)
2
= (5
5)
2
, k
2
= 1 ,
∴ k =
± 1 ,
∴ k = 1 (
取正值
),
∴
矩形的周长为
36k
,即
36cm
。
练习
5
如图,将矩形纸片
ABCD
沿一对角线
BD
折叠一次(折痕与折叠后得到的图形用虚线表示),将得到的所有的全等三角形(包括实线、虚线在内)用符号写出来。
练习
6
如图,矩形纸片
ABCD
,若把
ABE
沿折痕
BE
上翻,使
A
点恰好落在
CD
上,此时,
AE
:ED=5:3
,
BE=5
5
,
求矩形的长和宽。
答案:△
ABD≌△CDB, △CDB≌△EDB, △EDB≌△ABD, △ABF≌△EDF.
答案:矩形的长为
10
,宽为
8
。
4
、求线段与面积间的变化关系
例
5
已知一三角形纸片
ABC
,面积为
25
,
BC
的长为
10
,
B
和
C
都为锐角,
M
为
AB
上的一动点
(M
与
A
、
B
不重合
)
,过点
M
作
MN∥BC
,交
AC
于点
N
,设
MN=x. (1)
用
x
表示△
AMN
的面积
S
ΔA
MN
。
(2)ΔAMN
沿
MN
折叠,设点
A
关于
ΔAMN
对称的点为
A¹
,
ΔA¹MN
与四边形
BCMN
重叠部分的面积为
y.①
试求出
y
与
x
的函数关系式,并写出自变量
X
的取值范围;②当
x
为何值时,重叠部分的面积
y
最大,最大为多少?
解(
2
)
①
∵
△
A
¹
MN
≌
△
AMN
,
设△
A
¹
MN
中
MN
边上的高为
h
1
,△
A
¹
EF
中
EF
边上的高为
h
2
.∵EF∥MN,∴△A
¹
EF∽△A
¹
MN.
∵△A
¹
MN∽△ABC, ∴△A
¹
EF∽△ABC
∵△ABC
中
BC
边上的高
h=5,∴h
1
:x=5:10,
∴h
1
=
½ x .
又
h
2
=2h
1
-5=x-5, = ( )
2
,∴
S
△A
¹
EF
=( )
2
•25=(x-5)
2
S
△A
¹
EF
S
△ABC
h
2
5
X-5
5
∴y=
S
△A
¹
MN
-
S
△A
¹
EF
=
¼
x
2
-(x-5)
2
=
- ¾
x
2
+10x – 25.
∴
当点
A¹
在四边形
BCNM
内或在
BC
边上(如图
1
),即
0 25
∕4 ,∴ x=20∕3
时
,
y
最大
=25∕3 .
练习
7
如图,把一张边长为
a
的正方形的纸进行折叠,使
B
点落在
AD
上,问
B
点落在
AD
的什么位置时,折起的面积最小,并求出这最小值。
O
解:
如图,设
MN
为折痕,折起部分为梯形
EGNM
,
B
、
E
关于
MN
对称,所以
BE⊥MN
,且
BO=EO
,设
AE=x
,则
BE=
。
由
Rt△MOB∽
,得:
,∴
BM=
=
=
.
作
NF⊥AB
于
F
,则有
Rt△MNF≌
,∴FM=AE=x,
从而
CN=BM-FM=
=
。∴
S
梯形
BCNM
=
。
=
½(x-a/2)
2
+3/8 a
2
.
∴
当
x=a∕2
时,
S
min
=(3∕8 )a
2
.
例
6
将长方形
ABCD
的纸片,沿
EF
折成如图所示,延长
C`E
交
AD
于
H
,连结
GH
。求证:
EF
与
GH
互相垂直平分。
二、在“位置”方面的应用
由于图形折叠后,点、线、面等相应的位置发生变化,带来图形间的位置关系重新组合。
1
、线段与线段的位置关系
证明:
由题意知
FH∥GE
,
FG∥HE
,∴
。
又
,
∴
四边形
是
,∴
FE
与
GH
互相垂直平分。
2
、点的位置的确定
例
7
已知:如图,矩形
AOBC
,以
O
为坐标原点,
OB
、
OA
分别在
x
轴,
y
轴上,点
A
坐标为
(0,3)
,∠
OAB=60
º
,以
AB
为轴对折后,使
C
点落在
D
点处,求
D
点坐标。
→x
↑
y
解由题意知,
OA=3
,∠
OAB=60
º
,
∴
OB=3tan60
º=3
√3
.
∵Rt△ACB≌Rt△ADB, ∴AD=AC=OB=3√3 .
→
x
↑y
过点
D
作
Y
轴垂线,垂足为
E
,
在直角三角形
AED
中,
ED=
,
AE=
,故
OE=
。
故点
D
的坐标为(
3
/2
√3
,
- 3
/2
)。
练习
8
如图,在直角三角形
ABC
中,∠
C=90
º
,
沿着
B
点的一条直线
BE
折叠这个三角形,使
C
点与
AB
边上的一点
D
重合。当∠
A
满足什么条件时,点
D
恰好是
AB
的中点?写出一个你认为适当的条件,并利用此条件证明
D
为
AB
中点。
条件:
∠
A=30
º
证明:
由轴对称可得,△
BCE≌△BDE
,
∴ BC=BD
,
在△
ABC
中,∵ ∠
C=90
º
,∠
A=30
º
,
∴ BC=
½
AB
,
∴ BD =
½
AB
,
即点
D
为
AB
的中点。
2017
年中考
取得成功
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