人教版九年级数学下册第二十七章《相似》 单元同步检测试题（含答案） 19页

第二十七章《相似》单元检测题 题号 一 二 三 总分 21 22 23 24 25 26 27 28 分数 一、选择题 1.如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是( ) A． 点 A B． 点 B C． 点 C D． 点 D 2.如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是( ) A． ①和② B． ②和③ C． ①和③ D． ②和④ 3.如图，圆内接四边形 ABCD 的 BA，CD 的延长线交于 P，AC，BD 交于 E，则图中相似三角形有 ( ) A． 2 对 B． 3 对 C． 4 对 D． 5 对 4.如图所示，△ABC∽△DEF，其相似比为 k，则一次函数 y＝kx－2k 的图象与两坐标轴围成的三角 形面积是( ) A． 0.5 B． 4 C． 2 D． 1 5.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为 3、4、5 的三角形按图 1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1， 则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1，则 新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是( ) A． 甲对，乙不对 B． 甲不对，乙对 C． 两人都对 D． 两人都不对 二、填空题 6.如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高 EF＝1.8 m，小华的身高 MN＝1.5 m，他们的影 子恰巧等于自己的身高，即 BF＝1.8 m，CN＝1.5 m，且两人相距 4.7 m，则路灯 AD 的高度是 ____________． 7.如图，AB，CD 相交于 O 点，△AOC∽△BOD，OC∶OD＝1∶2，AC＝5，则 BD 的长为__________． 8.如果两个相似三角形的周长的比为 1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平 分线的比为____________． 9.如图，点 D、E 分别在△ABC 边 BC、AC 上，连接线段 AD、BE 交于点 F，若 AE∶EC＝1∶3， BD∶DC＝2∶3，则 EF∶FB＝____________. 10.已知：3a＝2b，那么 ＝__________. 三、解答题 11.观察下面图形，指出(1)～(9)中的图形有没有与给出的图形(a)、(b)、(c)形状相同的？ 12.如图，△ABC 在方格纸中． (1)请建立平面直角坐标系．使 A、C 两点的坐标分别为(2,3)、C(5,2)，求点 B 的坐标． (2)以原点 O 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′. (3)计算△A′B′C′的面积 S. 13.如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC 进行位似变换得到△A1B1C1. (1)△A1B1C1 与△ABC 的位似比是____________； (2)画出△A1B1C1 关于 y 轴对称的△A2B2C2； (3)设点 P(a，b)为△ABC 内一点，则依上述两次变换后，点 P 在△A2B2C2 内的对应点 P2 的坐标是 __________． 14.等腰 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为 3∶1，已知斜边 AB＝12 cm. (1)求△A′B′C′斜边 A′B′的长； (2)求△A′B′C′斜边 A′B′上的高． 15.如图，在四边形 ABCD 内选一点 O 为位似中心将它放大为原来的两倍(保留作图痕迹)． 16.如图，在△ABC 中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB 的垂直平分线分别与 AC、AB 交于点 D、 E，连接 BD. 求证：△ABC∽△BDC. 17.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改． 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2∶1，在温室内，沿前侧内墙 保留 3 m 的空地，其他三侧内墙各保留 1 m 的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植 区域的面积是 288 m2? 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为 x_m，则长为 2xm， 根据题意，得 x·2x＝288. 解这个方程，得 x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12， 所以温室的长为 2×12＋3＋1＝28(m)，宽为 12＋1＋1＝14(m) 答：当温室的长为 28 m，宽为 14 m 时，矩形蔬菜种植区域的面积是 288 m2. 我的结果也正确！ 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？. 结果为何正确呢？ (1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？ (2)如图，矩形 A′B′C′D′在矩形 ABCD 的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且 AD∶AB＝2∶1， 设 AB 与 A′B′、BC 与 B′C′、CD 与 C′D′、DA 与 D′A′之间的距离分别为 a、b、c、d，要使 矩形 A′B′C′D′∽矩形 ABCD，a、b、c、d 应满足什么条件？请说明理由． 18.如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3,3)、B(－1,0)、C(4,0)． (1)经过平移，可使△ABC 的顶点 A 与坐标原点 O 重合，请直接写出此时点 C 的对应点 C1 坐标；(不 必画出平移后的三角形) (2)将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到△A′BC′，画出△A′BC′并写出 A′点的坐标； (3)以点 A 为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使放大前后的面积之比为 1∶4，请你在网格内画 出△A2B2C2. 答案解析 1.【答案】A 【解析】如图，位似中心为点 A. 故选 A. 2.【答案】C 【解析】①和③相似， ∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为 2、 、 ； 由勾股定理求出③的各边长分别为 2 、2、2 ， ∴ ＝ ， ＝ ， 即 ＝ ＝ ， ∴两三角形的三边对应边成比例， ∴①③相似． 故选 C. 3.【答案】C 【解析】根据同弧所对的圆周角相等及相似三角形的判定定理可知，图中相似三角形有 4 对，分 别是△ADE∽△BCE，△AEB∽△DEC，△PAD∽△PCB，△PBD∽△PCA.故选 C. 4.【答案】D 【解析】∵△ABC∽△DEF，其相似比为 k， ∴k＝ ＝ ＝ ＝ ＝， ∵一次函数 y＝kx－2k 的图象与两坐标轴的交点分别为(2,0)，(0，－2k)， ∴一次函数 y＝kx－2k 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是×2×2k＝2k＝1. 故选 D. 5.【答案】A 【解析】甲：根据题意，得 AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′， ∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴甲说法正确； 乙：∵根据题意，得 AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则 A′B′＝C′D′＝3＋2＝5，A′D′＝B′C′＝5 ＋2＝7， ∴ ＝ ＝， ＝ ＝， ∴ ≠ ， ∴新矩形与原矩形不相似． ∴乙说法不正确． 故选 A. 6.【答案】4 m 【解析】设路灯的高度为 xm， ∵EF∥AD， ∴△BEF∽△BAD， ∴ ＝ ， 即 ＝ ， 解得 DF＝x－1.8， ∵MN∥AD， ∴△CMN∽△CAD， ∴ ＝ ， 即 ＝ ， 解得 DN＝x－1.5， ∵两人相距 4.7 m， ∴FD＋ND＝4.7， ∴x－1.8＋x－1.5＝4.7， 解得 x＝4. 7.【答案】10 【解析】∵△AOC∽△BOD， ∴ ＝ ，即 ＝， 解得 BD＝10. 8.【答案】1∶4 【解析】∵两个相似三角形的周长的比为 1∶4， ∴两个相似三角形的相似比为 1∶4， ∴周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为 1∶4. 9.【答案】 【解析】作 EH∥BC 交 AD 于 H， ∴ ＝ ＝， ∵ ＝， ∴ ＝， ∵EH∥BC， ∴ ＝ ＝， 10.【答案】－ 【解析】∵3a＝2b， ∴＝， ∴可设 a＝2k，那么 b＝3k， ∴ ＝ ＝－ . 11.【答案】解 通过观察可以发现： 图形(4)、(8)与图形(a)形状相同； 图形(6)与图形(b)形状相同； 图形(5)与图形(c)形状相同． 【解析】通过观察寻找与(a)，(b)，(c)形状相同的图形，在所给的 9 个图形中仔细观察，找出它 们与(a)(b)(c)的相同于不同，然后作出判断． 12.【答案】解 (1)如图画出原点 O，x 轴、y 轴，建立直角坐标系， 可知 B 的坐标为(2,1)； (2)如(1)中图，画出图形△A′B′C′，即为所求； (3)S△A′B′C′＝×4×6＝12. 【解析】(1)根据 A，C 点坐标进而得出原点位置，进而得出 B 点坐标； (2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； (3)直接利用三角形面积求法得出答案． 13.【答案】解 (1)△A1B1C1 与△ABC 的位似比等于＝ ＝＝2； (2)如图所示 (3)点 P(a，b)为△ABC 内一点，依次经过上述两次变换后，点 P 的对应点的坐标为(－2a,2b)． 【解析】(1)根据位似图形可得位似比即可； (2)根据轴对称图形的画法画出图形即可； (3)根据三次变换规律得出坐标即可． 14.【答案】解 (1)∵等腰 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为 3∶1， ∴AB∶A′B′＝3∶1， ∵Rt△ABC 的斜边 AB＝12 cm， ∴△A′B′C′斜边 A′B′＝4 cm； (2)∵△A′B′C′是等腰直角三角形， ∴△A′B′C′斜边 A′B′上的高＝△A′B′C′斜边 A′B′上的中线， ∴△A′B′C′斜边 A′B′上的高＝2 cm. 【 解 析 】(1) 由 等 腰 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ， 相 似 比 为 3∶1 ， 根 据 相 似比 的 定 义 ， 可 得 AB∶A′B′＝3∶1，继而求得答案； (2)由△A′B′C′是等腰直角三角形，利用三线合一的性质，可得△A′B′C′斜边 A′B′上的高 即是斜边 A′B′上的中线，继而求得答案． 15.【答案】解 如图，四边形 A′B′C′D′为所作． 【解析】在四边形 ABCD 内选一点 O，延长 OA 到点 A′，使 AA′＝OA，则点 A′为点 A 的对应点， 同样方法画出点 B、C、D 的对应点 B′、C′、D′，于是可得到四边形 ABCD 放大两倍后的四边形 A′B′C′D′. 16.【答案】证明 ∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴AD＝BD. ∵∠BAC＝40°， ∴∠ABD＝40°， ∵∠ABC＝80°， ∴∠DBC＝40°， ∴∠DBC＝∠BAC， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC. 【解析】由线段垂直平分线的性质，得 DA＝DB，则∠ABD＝∠BAC＝40°，从而求得∠CBD＝40°， 即可证出△ABC∽△BDC. 17.【答案】解 (1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2∶1 的理由． 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm，则长为 2xm．”前补充以下过程： 设温室的宽为 xm，则长为 2xm. 则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m. ∵ ＝ ＝2， ∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2∶1； (2)要使矩形 A′B′C′D′∽矩形 ABCD， 就要 ＝ ，即 ＝， 即 ＝， 即 2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)， ∴a＋c＝2(b＋d)， 即 ＝2. 【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2∶1 的理由，所以应 设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm，则长为 2xm，然后由题意得 ＝ ＝2，矩形蔬菜种植区 域的长与宽之比为 2∶1，再利用小明的解法求解即可； (2)由使矩形 A′B′C′D′∽矩形 ABCD，利用相似多边形的性质，可得 ＝ ，即 ＝，然后利用比例的性质，即可求得答案． 18.【答案】解 (1)∵经过平移，可使△ABC 的顶点 A 与坐标原点 O 重合， ∴A 点向下平移 3 个单位，再向左平移 3 个单位，故 C1 坐标为(1，－3)； (2)如图所示：△A′BC′即为所求，A′点的坐标为(－4,4)； (3)如图所示：△AB2C2，即为所求． 【解析】(1)直接利用平移的性质得出 A 点平移规律，进而得出答案； (2)直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案； (3)直接利用位似图形面积比得出相似比为 1∶2，即可得出对应点位置．