2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷 31页

2020 年黑龙江省龙东地区中考数学试卷 一、选择题（每题 3 分，满分 30 分） 1．（3 分）下列各运算中，计算正确的是 ( ) A． 2 2 42 2a a a B． 8 2 4x x x  C． 2 2 2( )x y x xy y    D． 2 3 6( 3 ) 9x x   2．（3 分）下列图标中是中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 3．（3 分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的 小正方体的个数最多是 ( ) A．6 B．7 C．8 D．9 4．（3 分）一组从小到大排列的数据： x ，3，4，4， 5(x 为正整数），唯一的众数是 4，则 该组数据的平均数是 ( ) A．3.6 B．3.8 或 3.2 C．3.6 或 3.4 D．3.6 或 3.2 5．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 2 0x k x k k     有两个实数根 1x ， 2x ，则实 数 k 的取值范围是 ( ) A． 1 4k  B． 1 4k„ C． 4k  D． 1 4k„ 且 0k  6．（3 分）如图，菱形 ABCD 的两个顶点 A ，C 在反比例函数 ky x  的图象上，对角线 AC ， BD 的交点恰好是坐标原点 O ，已知 ( 1,1)B  ， 120ABC  ，则 k 的值是 ( ) A．5 B．4 C．3 D．2 7．（3 分）已知关于 x 的分式方程 42 2 x k x x    的解为正数，则 k 的取值范围是 ( ) A． 8 0k   B． 8k   且 2k   C． 8k   且 2k  D． 4k  且 2k   8．（3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O ，过点 D 作 DH AB 于点 H ， 连接 OH ，若 6OA  ， 48ABCDS 菱形 ，则 OH 的长为 ( ) A．4 B．8 C． 13 D．6 9．（3 分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用 200 元钱购买 A 、 B 、 C 三种奖品， A 种每个 10 元， B 种每个 20 元， C 种每个 30 元，在 C 种奖品不 超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案 ( ) A．12 种 B．15 种 C．16 种 D．14 种 10．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 a ，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A ， B 重合）， 45DAM  ，点 F 在射线 AM 上，且 2AF BE ，CF 与 AD 相交于点G ，连接 EC 、EF 、 EG ．则下列结论： ① 45ECF   ； ② AEG 的周长为 2(1 )2 a ； ③ 2 2 2BE DG EG  ； ④ EAF 的面积的最大值是 21 8 a ； ⑤当 1 3BE a 时， G 是线段 AD 的中点． 其中正确的结论是 ( ) A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 二、填空题（每题 3 分，满分 30 分） 11．（3 分） 5G 信号的传播速度为 300000000 /m s ，将数据 300000000 用科学记数法表示 为 ． 12．（3 分）在函数 1 2 y x   中，自变量 x 的取值范围是 ． 13．（3 分）如图， Rt ABC 和 Rt EDF 中， B D   ，在不添加任何辅助线的情况下，请 你添加一个条件 ，使 Rt ABC 和 Rt EDF 全等． 14．（3 分）一个盒子中装有标号为 1、2、3、4、5 的五个小球，这些球除了标号外都相同， 从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于 6 的概率为 ． 15．（3 分）若关于 x 的一元一次不等式组 1 0 2 0 x x a      有 2 个整数解，则 a 的取值范围是 ． 16．（3 分）如图， AD 是 ABC 的外接圆 O 的直径，若 40BAD   ，则 ACB   ． 17．（3 分）小明在手工制作课上，用面积为 2150 cm ，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个 圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 cm ． 18．（3 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，将 ABD 沿射线 BD 平移，得到 EGF ， 连接 EC 、 GC ．求 EC GC 的最小值为 ． 19．（3 分）在矩形 ABCD 中， 1AB  ， BC a ，点 E 在边 BC 上，且 3 5BE a ，连接 AE ， 将 ABE 沿 AE 折叠．若点 B 的对应点 B 落在矩形 ABCD 的边上，则折痕的长为 ． 20．（3 分）如图，直线 AM 的解析式为 1y x  与 x 轴交于点 M ，与 y 轴交于点 A ，以 OA 为边作正方形 ABCO ，点 B 坐标为 (1,1) ．过点 B 作 1EO MA 交 MA 于点 E ，交 x 轴于点 1O ， 过点 1O 作 x 轴的垂线交 MA 于点 1A ，以 1 1O A 为边作正方形 1 1 1 1O A B C ，点 1B 的坐标为 (5,3) ．过 点 1B 作 1 2E O MA 交 MA 于 1E ，交 x 轴于点 2O ，过点 2O 作 x 轴的垂线交 MA 于点 2A ．以 2 2O A 为边作正方形 2 2 2 2O A B C ． ．则点 2020B 的坐标 ． 三、解答题（满分 60 分） 21．（5 分）先化简，再求值： 2 2 1 6 9(2 )1 1 x x x x x      ，其中 3tan30 3x    ． 22．（6 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐 标系中， ABC 的三个顶点 (5,2)A 、 (5,5)B 、 (1,1)C 均在格点上． （1）将 ABC 向左平移 5 个单位得到△ 1 1 1A B C ，并写出点 1A 的坐标； （2）画出△ 1 1 1A B C 绕点 1C 顺时针旋转90 后得到的△ 2 2 1A B C ，并写出点 2A 的坐标； （3）在（2）的条件下，求△ 1 1 1A B C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 ) ． 23．（6 分）如图，已知二次函数 2y x bx c    的图象经过点 ( 1,0)A  ， B (3,0) ，与 y 轴 交于点 C ． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点 P ，使 PAB ABC   ，若存在请直接写出点 P 的坐标．若不存 在，请说明理由． 24．（7 分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全 校跳绳平均成绩是每分钟 99 次，某班班长统计了全班 50 名学生一分钟跳绳成绩，列出的频 数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）． 求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数； （2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范 围； （3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少． 25．（8 分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武 汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离 y （单位：千米）与快 递车所用时间 x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早 1 小时出发，到达武汉后用 2 小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚 1 小时． （1）求 ME 的函数解析式； （2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间． （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案） 26．（8 分）如图①，在 Rt ABC 中， 90ACB   ， AC BC ，点 D 、 E 分别在 AC 、 BC 边上， DC EC ，连接 DE 、 AE 、 BD ，点 M 、 N 、 P 分别是 AE 、 BD 、 AB 的中点， 连接 PM 、 PN 、 MN ． （1） BE 与 MN 的数量关系是 ． （2）将 DEC 绕点 C 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断 BE 与 MN 有怎样的数量关系？ 写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明． 27．（10 分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、 乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克 m 元，售价每千克 16 元；乙种蔬 菜进价每千克 n 元，售价每千克 18 元． （1）该超市购进甲种蔬菜 15 千克和乙种蔬菜 20 千克需要 430 元；购进甲种蔬菜 10 千克和 乙种蔬菜 8 千克需要 212 元，求 m ， n的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 千克，且投入资金不少于 1160 元又不多于 1168 元，设购买甲种蔬菜 x 千克 (x 为正整数），求有哪几种购买方案． （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于 20% ，求 a 的最大值． 28．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 长是 2 3 18 0x x   的根， 连接 BD ， 30DBC   ，并过点 C 作 CN BD ，垂足为 N ，动点 P 从 B 点以每秒 2 个单 位长度的速度沿 BD 方向匀速运动到 D 点为止；点 M 沿线段 DA 以每秒 3 个单位长度的速 度由点 D 向点 A 匀速运动，到点 A 为止，点 P 与点 M 同时出发，设运动时间为 t 秒 ( 0)t  ． （1）线段 CN  ； （2）连接 PM 和 MN ，求 PMN 的面积 s 与运动时间 t 的函数关系式； （3）在整个运动过程中，当 PMN 是以 PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点 P 的坐标． 2020 年黑龙江省龙东地区中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 3 分，满分 30 分） 1．（3 分）下列各运算中，计算正确的是 ( ) A． 2 2 42 2a a a B． 8 2 4x x x  C． 2 2 2( )x y x xy y    D． 2 3 6( 3 ) 9x x   【解答】解： A 、 2 2 42 2a a a ，正确； B 、 8 2 6x x x  ，故此选项错误； C 、 2 2 2( ) 2x y x xy y    ，故此选项错误； D 、 2 3 6( 3 ) 27x x   ，故此选项错误； 故选： A ． 2．（3 分）下列图标中是中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解： A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B ．是中心对称图形，故本选项符合题意； C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选： B ． 3．（3 分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的 小正方体的个数最多是 ( ) A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：综合主视图与左视图，第一行第 1 列最多有 2 个，第一行第 2 列最多有 1 个； 第二行第 1 列最多有 3 个，第二行第 2 列最多有 1 个； 所以最多有： 2 1 3 1 7    （个 ) ． 故选： B ． 4．（3 分）一组从小到大排列的数据： x ，3，4，4， 5(x 为正整数），唯一的众数是 4，则 该组数据的平均数是 ( ) A．3.6 B．3.8 或 3.2 C．3.6 或 3.4 D．3.6 或 3.2 【解答】解：从小到大排列的数据： x ，3，4，4， 5(x 为正整数），唯一的众数是 4， 2x  或 1x  ， 当 2x  时，这组数据的平均数为 2 3 4 4 5 3.65      ； 当 1x  时，这组数据的平均数为 1 3 4 4 5 3.45      ； 即这组数据的平均数为 3.4 或 3.6， 故选： C ． 5．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 2 0x k x k k     有两个实数根 1x ， 2x ，则实 数 k 的取值范围是 ( ) A． 1 4k  B． 1 4k„ C． 4k  D． 1 4k„ 且 0k  【解答】解：关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 2 0x k x k k     有两个实数根 1x ， 2x ， △ 2 2[ (2 1)] 4 1 ( 2 ) 0k k k       … ， 解得： 1 4k„ ． 故选： B ． 6．（3 分）如图，菱形 ABCD 的两个顶点 A ，C 在反比例函数 ky x  的图象上，对角线 AC ， BD 的交点恰好是坐标原点 O ，已知 ( 1,1)B  ， 120ABC  ，则 k 的值是 ( ) A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， BA AD  ， AC BD ， 120ABC   ， 60BAD   ， ABD 是等边三角形， 点 ( 1,1)B  ， 2OB  ， 6tan30 OBAO   ， 直线 BD 的解析式为 y x  ， 直线 AD 的解析式为 y x ， 6OA  ， 点 A 的坐标为 ( 3 ， 3) ， 点 A 在反比例函数 ky x  的图象上， 3 3 3k    ， 故选： C ． 7．（3 分）已知关于 x 的分式方程 42 2 x k x x    的解为正数，则 k 的取值范围是 ( ) A． 8 0k   B． 8k   且 2k   C． 8k   且 2k  D． 4k  且 2k   【解答】解：分式方程 42 2 x k x x    ， 去分母得： 4( 2)x x k    ， 去括号得： 4 8x x k    ， 解得： 8 3 kx  ， 由分式方程的解为正数，得到 8 03 k   ，且 8 23 k   ， 解得： 8k   且 2k   ． 故选： B ． 8．（3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O ，过点 D 作 DH AB 于点 H ， 连接 OH ，若 6OA  ， 48ABCDS 菱形 ，则 OH 的长为 ( ) A．4 B．8 C． 13 D．6 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， 6OA OC   ， OB OD ， AC BD ， 12AC  ， DH AB ， 90BHD   ， 1 2OH BD  ， 菱形 ABCD 的面积 1 1 12 482 2AC BD BD       ， 8BD  ， 1 42OH BD   ； 故选： A ． 9．（3 分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用 200 元钱购买 A 、 B 、 C 三种奖品， A 种每个 10 元， B 种每个 20 元， C 种每个 30 元，在 C 种奖品不 超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案 ( ) A．12 种 B．15 种 C．16 种 D．14 种 【解答】解：设购买 A 种奖品 m 个，购买 B 种奖品 n个， 当 C 种奖品个数为 1 个时， 根据题意得10 20 30 200m n   ， 整理得 2 17m n  ， m 、 n都是正整数， 0 2 17m  ， 1m  ，2，3，4，5，6，7，8； 当 C 种奖品个数为 2 个时， 根据题意得10 20 60 200m n   ， 整理得 2 14m n  ， m 、 n都是正整数， 0 2 14m  ， 1m  ，2，3，4，5，6； 有8 6 14  种购买方案． 故选： D ． 10．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 a ，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A ， B 重合）， 45DAM  ，点 F 在射线 AM 上，且 2AF BE ，CF 与 AD 相交于点G ，连接 EC 、EF 、 EG ．则下列结论： ① 45ECF   ； ② AEG 的周长为 2(1 )2 a ； ③ 2 2 2BE DG EG  ； ④ EAF 的面积的最大值是 21 8 a ； ⑤当 1 3BE a 时， G 是线段 AD 的中点． 其中正确的结论是 ( ) A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 【解答】解：如图 1 中，在 BC 上截取 BH BE ，连接 EH ． BE BH ， 90EBH  ， 2EH BE  ， 2AF BE ， AF EH  ， 45DAM EHB     ， 90BAD   ， 135FAE EHC    ， BA BC ， BE BH ， AE HC  ， ( )FAE EHC SAS   ， EF EC  ， AEF ECH   ， 90ECH CEB     ， 90AEF CEB    ， 90FEC  ， 45ECF EFC     ，故①正确， 如图 2 中，延长 AD 到 H ，使得 DH BE ，则 ( )CBE CDH SAS   ， ECB DCH   ， 90ECH BCD     ， 45ECG GCH     ， CG CG ， CE CH ， ( )GCE GCH SAS   ， EG GH  ， GH DG DH  ， DH BE ， EG BE DG   ，故③错误， AEG 的 周 长 2AE EG AG AE AH AD DH AE AE EB AD AB AD a              ，故②错误， 设 BE x ，则 AE a x  ， 2AF x ， 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 4 4 2 2 8AEFS a x x x ax x ax a a x a a                ， 1 02   ， 1 2x a  时， AEF 的面积的最大值为 21 8 a ．故④正确， 当 1 3BE a 时，设 DG x ，则 1 3EG x a  ， 在 Rt AEG 中，则有 2 2 21 2( ) ( ) ( )3 3x a a x a    ， 解得 2 ax  ， AG GD  ，故⑤正确， 故选： D ． 二、填空题（每题 3 分，满分 30 分） 11．（3 分）5G 信号的传播速度为300000000 /m s ，将数据 300000000 用科学记数法表示为 83 10 ． 【解答】解： 8300000000 3 10  ． 故答案为： 83 10 ． 12．（3 分）在函数 1 2 y x   中，自变量 x 的取值范围是 2x  ． 【解答】解：由题意得， 2 0x   ， 解得 2x  ． 故答案为： 2x  ． 13．（3 分）如图， Rt ABC 和 Rt EDF 中， B D   ，在不添加任何辅助线的情况下，请 你 添加 一个 条件 (AB ED BC DF  或 AC EF 或 AE CF 等 ） ， 使 Rt ABC 和 Rt EDF 全等． 【解答】解：添加的条件是： AB ED ， 理由是：在 ABC 和 EDF 中 B D AB ED A DEF         ， ( )ABC EDF ASA   ， 故答案为： AB ED ． 14．（3 分）一个盒子中装有标号为 1、2、3、4、5 的五个小球，这些球除了标号外都相同， 从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于 6 的概率为 2 5 ． 【解答】解：画树状图如图所示： 共有 20 种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于 6 的有 8 种结果， 摸出的两个小球的标号之和大于 6 的概率为 8 2 20 5  ， 故答案为： 2 5 ． 15．（3 分）若关于 x 的一元一次不等式组 1 0 2 0 x x a      有 2 个整数解，则 a 的取值范围是 6 8a „ ． 【解答】解：解不等式 1 0x   ，得： 1x  ， 解不等式 2 0x a  ，得： 2 ax  ， 则不等式组的解集为1 2 ax  ， 不等式组有 2 个整数解， 不等式组的整数解为 2、3， 则 3 42 a „ ， 解得 6 8a „ ， 故答案为： 6 8a „ ． 16．（3 分）如图，AD 是 ABC 的外接圆 O 的直径，若 40BAD   ，则 ACB  50  ． 【解答】解：连接 BD ，如图， AD 为 ABC 的外接圆 O 的直径， 90ABD   ， 90 90 40 50D BAD          ， 50ACB D    ． 故答案为 50． 17．（3 分）小明在手工制作课上，用面积为 2150 cm ，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个 圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 10 cm ． 【解答】解： 1 2S l R  ，  1 15 1502 l   ，解得 20l  ， 设圆锥的底面半径为 r ， 2 20r   ， 10( )r cm  ． 故答案为：10． 18．（3 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，将 ABD 沿射线 BD 平移，得到 EGF ， 连接 EC 、 GC ．求 EC GC 的最小值为 4 5 ． 【解答】解：如图，连接 DE ，作点 D 关于直线 AE 的对称点T ，连接 AT ， ET ， CT ． 四边形 ABCD 是正方形， 4AB BC AD    ， 90ABC   ， 45ABD   ， / /AE BD ， 45EAD ABD     ， D ，T 关于 AE 对称， 4AD AT   ， 45TAE EAD    ， 90TAD   ， 90BAD   ， B ， A ，T 共线， 2 2 4 5CT BT BC    ， EG CD ， / /EG CD ， 四边形 EGCD 是平行四边形， CG EC  ， EC CG EC ED EC TE      ， TE EC TC … ， 4 5EC CG  … ， EC CG  的最小值为 4 5 ． 19．（3 分）在矩形 ABCD 中， 1AB  ， BC a ，点 E 在边 BC 上，且 3 5BE a ，连接 AE ， 将 ABE 沿 AE 折叠．若点 B 的对应点 B 落在矩形 ABCD 的边上，则折痕的长为 2 或 30 5 ． 【解答】解：分两种情况： ①当点 B 落在 AD 边上时，如图 1 所示： 四边形 ABCD 是矩形， 90BAD B     ， 将 ABE 沿 AE 折叠．点 B 的对应点 B 落在矩形 ABCD 的 AD 边上， 1 452BAE B AE BAD       ， ABE 是等腰直角三角形， 1AB BE   ， 2 2AE AB  ； ②当点 B 落在 CD 边上时，如图 2 所示： 四边形 ABCD 是矩形， 90BAD B C D        ， AD BC a  ， 将 ABE 沿 AE 折叠．点 B 的对应点 B 落在矩形 ABCD 的 CD边上， 90B AB E    ， 1AB AB   ， 3 5BE BE a   ， 3 2 5 5CE BC BE a a a      ， 2 2 21B D AB AD a     ， 在 ADB 和△ B CE 中， 90B AD EB C AB D        ， 90D C     ， ADB ∽ △ B CE ，  B D AB EC B E    ，即 21 1 2 3 5 5 a a a   ， 解得： 5 3a  ，或 0a  （舍去）， 3 5 5 5BE a   ， 2 2 2 25 301 ( )5 5AE AB BE      ； 综上所述，折痕的长为 2 或 30 5 ； 故答案为： 2 或 30 5 ． 20．（3 分）如图，直线 AM 的解析式为 1y x  与 x 轴交于点 M ，与 y 轴交于点 A ，以 OA 为边作正方形 ABCO ，点 B 坐标为 (1,1) ．过点 B 作 1EO MA 交 MA 于点 E ，交 x 轴于点 1O ， 过点 1O 作 x 轴的垂线交 MA 于点 1A ，以 1 1O A 为边作正方形 1 1 1 1O A B C ，点 1B 的坐标为 (5,3) ．过 点 1B 作 1 2E O MA 交 MA 于 1E ，交 x 轴于点 2O ，过点 2O 作 x 轴的垂线交 MA 于点 2A ．以 2 2O A 为边作正方形 2 2 2 2O A B C ． ．则点 2020B 的坐标 20202 3 1  ， 20203 ． 【解答】解：点 B 坐标为 (1,1) ， 1 1OA AB BC CO CO      ， 1(2,3)A ， 1 1 1 1 1 1 1 2 3AO A B B C C O     ， 1(5,3)B ， 2 (8,9)A ， 2 2 2 2 2 2 2 3 9A O A B B C C O     ， 2 (17,9)B ， 同理可得 4 (53,27)B ， 5 (161,81)B ，  由上可知， (2 3 1,3 )Bn n n  ， 当 2020n  时， (2 32020 1,32020)Bn   ． 故答案为： 2020(2 3 1  ， 20203 ) ． 三、解答题（满分 60 分） 21．（5 分）先化简，再求值： 2 2 1 6 9(2 )1 1 x x x x x      ，其中 3tan30 3x    ． 【解答】解：原式 22 2 1 ( 3)( )1 1 ( 1)( 1) x x x x x x x         2 3 ( 1)( 1) 1 ( 3) x x x x x      1 3 x x   ， 当 33tan30 3 3 3 3 33x         时， 原式 3 3 1 3 3 3     3 4 3  4 31 3   ． 22．（6 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐 标系中， ABC 的三个顶点 (5,2)A 、 (5,5)B 、 (1,1)C 均在格点上． （1）将 ABC 向左平移 5 个单位得到△ 1 1 1A B C ，并写出点 1A 的坐标； （2）画出△ 1 1 1A B C 绕点 1C 顺时针旋转90 后得到的△ 2 2 1A B C ，并写出点 2A 的坐标； （3）在（2）的条件下，求△ 1 1 1A B C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 ) ． 【解答】解：（1）如图所示，△ 1 1 1A B C 即为所求，点 1A 的坐标为 (0,2) ； （2）如图所示，△ 2 2 1A B C 即为所求，点 2A 的坐标为 ( 3, 3)  ； （3）如图， 2 24 4 4 2BC    ， △ 1 1 1A B C 在旋转过程中扫过的面积为： 290 (4 2) 1 3 4 8 6360 2        ． 23．（6 分）如图，已知二次函数 2y x bx c    的图象经过点 ( 1,0)A  ， B (3,0) ，与 y 轴 交于点 C ． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点 P ，使 PAB ABC   ，若存在请直接写出点 P 的坐标．若不存 在，请说明理由． 【解答】解：（1）根据题意得 1 0 9 3 0 b c b c         ， 解得 2 3 b c    ． 故抛物线的解析式为 2 2 3y x x    ； （2）二次函数 2 2 3y x x    的对称轴是 ( 1 3) 2 1x      ， 当 0x  时， 3y  ， 则 (0,3)C ， 点 C 关于对称轴的对应点 1(2,3)P ， 设直线 BC 的解析式为 3y kx  ， 则 3 3 0k   ， 解得 1k   ． 则直线 BC 的解析式为 3y x   ， 设与 BC 平行的直线 AP 的解析式为 y x m   ， 则1 0m  ， 解得 1m   ． 则与 BC 平行的直线 AP 的解析式为 1y x   ， 联立抛物线解析式得 2 1 2 3 y x y x x         ， 解得 1 1 4 5 x y     ， 2 2 1 0 x y     （舍去）． 2 (4, 5)P  ． 综上所述， 1(2,3)P ， 2 (4, 5)P  ． 24．（7 分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全 校跳绳平均成绩是每分钟 99 次，某班班长统计了全班 50 名学生一分钟跳绳成绩，列出的频 数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）． 求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数； （2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范 围； （3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少． 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 该 班 一 分 钟 跳 绳 的 平 均 次 数 至 少 是 ： 60 4 80 13 100 19 120 7 140 5 160 2 100.850             ， 100.8 100 ， 超过全校的平均次数； （2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为 4 13 19 36   ，所以中位数一定在 100 ~120 范围内； （3）该班 60 秒跳绳成绩大于或等于 100 次的有：19 7 5 2 33    （人 ) ， 故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是 33 50 ． 25．（8 分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武 汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离 y （单位：千米）与快 递车所用时间 x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早 1 小时出发，到达武汉后用 2 小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚 1 小时． （1）求 ME 的函数解析式； （2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间． （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案） 【解答】解：（1）设 ME 的函数解析式为 ( 0)y kx b k   ，由 ME 经过 (0,50) ， (3,200) 可 得： 50 3 200 b k b     ，解得 50 50 k b    ， ME 的解析式为 50 50y x  ； （2）设 BC 的函数解析式为 y mx n  ，由 BC 经过 (4,0) ， (6,200) 可得： 4 0 6 200 m n m n      ，解得 100 400 m n     ， BC 的函数解析式为 100 400y x  ； 设 FG 的函数解析式为 y px q  ，由 FG 经过 (5,200) ， (9,0) 可得： 5 200 9 0 p q p q      ，解得 50 450 p q     ， FG 的函数解析式为 50 450y x   ， 解方程组 100 400 50 450 y x y x       得 17 3 500 3 x y     ， 同理可得 7x h ， 答：货车返回时与快递车图中相遇的时间 17 3 h ， 7h ； （3） (9 7) 50 100( )km   ， 答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km ． 26．（8 分）如图①，在 Rt ABC 中， 90ACB   ， AC BC ，点 D 、 E 分别在 AC 、 BC 边上， DC EC ，连接 DE 、 AE 、 BD ，点 M 、 N 、 P 分别是 AE 、 BD 、 AB 的中点， 连接 PM 、 PN 、 MN ． （1） BE 与 MN 的数量关系是 2BE NM ． （2）将 DEC 绕点 C 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断 BE 与 MN 有怎样的数量关系？ 写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明． 【解答】解：（1）如图①中， AM ME ， AP PB ， / /PM BE ， 1 2PM BE ， BN DN ， AP PB ， / /PN AD ， 1 2PN AD ， AC BC ， CD CE ， AD BE  ， PM PN  ， 90ACB   ， AC BC  ， / /PM BC ， / /PN AC ， PM PN  ， PMN 的等腰直角三角形， 2MN PM  ， 12 2MN BE   ， 2BE MN  ， 故答案为 2BE MN ． （2）如图②中，结论仍然成立． 理由：连接 AD ，延长 BE 交 AD 于点 H ． ABC 和 CDE 是等腰直角三角形， CD CE  ， CA CB ， 90ACB DCE     ， ACB ACE DCE ACE       ， ACD ECB   ， ( )ECB DCA AAS   ， BE AD  ， DAC EBC   ， 180 ( )AHB HAB ABH       180 (45 )HAC ABH        180 (45 )HBC ABH         180 90    90  ， BH AD  ， M 、 N 、 P 分别为 AE 、 BD 、 AB 的中点， / /PM BE ， 1 2PM BE ， / /PN AD ， 1 2PN AD ， PM PN  ， 90MPN   ， 22 2 22BE PM MN MN     ． 27．（10 分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、 乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克 m 元，售价每千克 16 元；乙种蔬 菜进价每千克 n 元，售价每千克 18 元． （1）该超市购进甲种蔬菜 15 千克和乙种蔬菜 20 千克需要 430 元；购进甲种蔬菜 10 千克和 乙种蔬菜 8 千克需要 212 元，求 m ， n的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 千克，且投入资金不少于 1160 元又不多于 1168 元，设购买甲种蔬菜 x 千克 (x 为正整数），求有哪几种购买方案． （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于 20% ，求 a 的最大值． 【解答】解：（1）依题意，得： 15 20 430 10 8 212 m n m n      ， 解得： 10 14 m n    ． 答： m 的值为 10， n 的值为 14． （2）依题意，得： 10 14(100 ) 1160 10 14(100 ) 1168 x x x x      … „ ， 解得： 58 60x„ „ ． 又 x 为正整数， x 可以为 58，59，60， 共有 3 种购买方案，方案 1：购进 58 千克甲种蔬菜，42 千克乙种蔬菜；方案 2：购进 59 千克甲种蔬菜，41 千克乙种蔬菜；方案 3：购进 60 千克甲种蔬菜，40 千克乙种蔬菜． （3）购买方案 1 的总利润为 (16 10) 58 (18 14) 42 516      （元 ) ； 购买方案 2 的总利润为 (16 10) 59 (18 14) 41 518      （元 ) ； 购买方案 3 的总利润为 (16 10) 60 (18 14) 40 520      （元 ) ． 516 518 520  ， 利润最大值为 520 元，即售出甲种蔬菜 60 千克，乙种蔬菜 40 千克． 依题意，得： (16 10 2 ) 60 (18 14 ) 40 (10 60 14 40) 20%a a          … ， 解得： 9 5a„ ． 答： a 的最大值为 9 5 ． 28．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 长是 2 3 18 0x x   的根， 连接 BD ， 30DBC   ，并过点 C 作 CN BD ，垂足为 N ，动点 P 从 B 点以每秒 2 个单 位长度的速度沿 BD 方向匀速运动到 D 点为止；点 M 沿线段 DA 以每秒 3 个单位长度的速 度由点 D 向点 A 匀速运动，到点 A 为止，点 P 与点 M 同时出发，设运动时间为 t 秒 ( 0)t  ． （1）线段 CN  3 3 ； （2）连接 PM 和 MN ，求 PMN 的面积 s 与运动时间 t 的函数关系式； （3）在整个运动过程中，当 PMN 是以 PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点 P 的坐标． 【解答】解：（1） AB 长是 2 3 18 0x x   的根， 6AB  ， 四边形 ABCD 是矩形， AD BC  ， 6AB CD  ， 90BCD   ， 30DBC   ， 2 12BD CD   ， 3 6 3BC CD  ， 30DBC   ， CN BD ， 1 3 32CN BC   ， 故答案为： 3 3 ． （2）如图，过点 M 作 MH BD 于 H ， / /AD BC ， 30ADB DBC     ， 1 3 2 2MH MD t   ， 30DBC   ， CN BD ， 3 9BN CN   ， 当 90 2t  时， PMN 的面积 21 3 3 9 3(9 2 )2 2 2 4s t t t t       ； 当 9 2t  时，点 P 与点 N 重合， 0s  ， 当 9 62 t „ 时， PMN 的面积 21 3 3 9 3(2 9)2 2 2 4s t t t t      ； （3）如图，过点 P 作 PE BC 于 E ， 当 9 2PN PM t   时， 2 2 2PM MH PH  ， 2 2 23 3(9 2 ) ( ) (12 2 )2 2t t t t      ， 3t  或 7 3t  ， 6BP  或 14 3 ， 当 6BP  时， 30DBC   ， PE BC ， 1 32PE BP   ， 3 3 3BE PE  ， 点 (3 3P ， 3) ， 当 14 3BP  时， 同理可求点 7 3( 3P ， 7)3 ， 当 9 2PN NM t   时， 2 2 2NM MH NH  ， 2 2 23 3(9 2 ) ( ) ( 3)2 2t t t     ， 3t  或 24（不合题意舍去）， 6BP  ， 点 (3 3P ， 3) ， 综上所述：点 P 坐标为 (3 3 ， 3) 或 7 3( 3 ， 7)3 ．