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  • 2021-11-10 发布

中考数学专题复习——分类讨论问题

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- 1 - 中考数学专题复习——分类讨论问题 一、教学目标 使学生养成分类讨论思想,并掌握一定的分类技巧,以及常见题型的分类方 法。形成一定的分类体系,对待问题能有更严谨、缜密的思维。 二、教学重点 对常见题型分类方法的掌握;能够灵活运用一般的分类技巧。 三、教学难点 对于分类的“界点”、“标准”把握不准确,容易出现重复解、漏解等现象。 四、板书设计 1:分式方程无解的分类讨论问题; 2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题; 3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题; 4:分类问题在动点问题中的应用; 4.1 常见平面问题中动点问题的分类讨论; 4.2 组合图形(二次函数、一次函数、平面图形等组合)中动点问题的分 类。 五、教学用具 打印互动背景资料、三角板、多媒体。 六、作业布置 附后 1:分式方程无解的分类讨论问题 - 2 - 例题 1:(2011 武汉)    a3 4 93 3 2 无解,求 xx ax x 解:去分母,得: 1.6,8 01a31-a 21-31-a 21- 211-a )3(4)3(3     aaa x xaxx 或者 或或由已知 )( 猜想:把“无解”改为“有增根”如何解? 68  aa 或 例题 2:(2011 郴州)  a211 2 无解,求 x a x 2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例题 3:(2010 上海)已知方程 01)12(22  xmxm 有实数根,求 m 的取 值范围。 (1) 当 02 m 时,即 m=0 时,方程为一元一次方程 x+1=0,有实数根 x= 1 (2) 当 02 m 时 , 方 程 为 一 元 二 次 方 程 , 根 据 有 实 数 根 的 条 件 得 : 4 1-m,0144)12( 22  即mmm ,且 02 m 综(1)(2)得, 4 1m 常见病症:(很多同学会从(2)直接开始而且会忽略 02 m 的条件) 总结:字母系数的取值范围是否要讨论,要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两 种(1)前置式,即“二次方程”;(2)后置式,即“两实数根”。这都是表明是二次方程, 不需要讨论,但切不可忽视二次项系数不为零的要求,本题是根据二次项系数是否为零进行 讨论的。 例题 4:(2011 益阳)当 m 是什么整数时,关于 x 的一元二次方程 0442  xmx 与 05444 22  mmmxx 的根都是整数。 - 3 - A BC 解 : 因 为 是 一 元 二 次 方 程 , 所 以 二 次 项 系 数 不 为 0 , 即 02 m , 0m , 1.m,01  解得 同理, .4 5m,02  解得 1m4 5  且 0m ,又因为 m 为整数 .11或取  m (1)当 m=—1 时,第一个方程的根为 222 x 不是整数,所以 m=—1 舍去。 (2)当 m=1 时,方程 1、2 的根均为整数,所以 m=1. 练习:已知关于x的一元二次方程 01)1( 2  xxm 有实数根,则m的取值范围是: 1m4 5 0 01       且mm 3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题 例题:5:(2011 青海)方程 01892  xx 的两个根是等腰三角形的底和腰, 则这个三角形的周长为( ) A 12 B 12 或 15 C 15 D 不能确定 例题 6:(2011 武汉)三角形一边长 AB 为 13cm,另一边 AC 为 15cm,BC 上的高为 12cm,求此三角形的面积。(54 或 84) 例题 7:(2011 湘西)若两圆相切,圆心距是 7,其中一圆的半径为 4,则另 一圆的半径为:3 或 11. 例题 8:(2011 四校联考)一条绳子对折后成右图 A、B, A.B 上一点 C,且有 BC=2AC,将其从 C 点剪断,得到的线段中最长的一段为 40cm,请问这条绳子的长 度为:60cm 或 120cm 4:动点问题的分类分类讨论问题 4.1:常见平面问题中动点问题的分类讨论; - 4 - A B1p CD 2p 4p 3p 例题 9:(2011 永州)正方形 ABCD 的边长为 10cm,一动点 P 从点 A 出发, 以 2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图,回到 A 点停止,求点 P 运动 t 秒时, P,D 两点间的距离。 解:点 P 从 A 点出发,分别走到 B,C,D,A 所 用时间是 秒, 秒, 秒, 秒,即 5 秒, 10 秒,15 秒,20 秒。 ∴(1)当 0≤t<5 时,点 P 在线段 AB 上,|PD|=|P1D|= (cm) (2)当 5≤t<10 时,点 P 在线段 BC 上,|PD|=|P2D|= (3)当 10≤t<15 时,点 P 在线段 CD 上,|PD|=|P3D|=30-2t (4)当 15≤t≤20 时,点 P 在线段 DA 上,|PD|=|P4D|=2t-30 综上得:|PD|= 总结:本题从运动的观点,考查了动点 P 与定点 D 之间的距离,应根据 P 点 的不同位置构造出不同的几何图形,将线段 PD 放在直角三角形中求解或直接观 察图形求解。 4.2:组合图形(一次函数、二次函数与平面图形等组合)中动点问题的分类。 例题 10:(2010 福建)已知一次函数 333 3  xy 与 x 轴、y 轴的交点分 别为 A、B,试在 x 轴上找一点 P,使△PAB 为等腰三角形。 分析:本题中△PAB 由于 P 点位置不确定而没有确定,而且等腰三角形中哪 两条是腰也没有确定。△PAB 是等腰三角形有几种可能?我们可以按腰的可能情 况加以分类:(1)PA=PB;(2)PA=AB;(3)PB=AB。先可以求出 B 点坐标 - 5 - A B C O Q M E A B C D N ( )0 3 3, ,A 点坐标(9,0)。设 P 点坐标为 )0( ,x ,利用两点间距离公式可对 三 种 分 类 情 况 分 别 列 出 方 程 , 求 出 P 点 坐 标 有 四 解 , 分 别 为 )0369()0369()03()09( ,、,、,、,  。(不适合条件的解已舍去) 总结:解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种 可能位置,紧扣条件,分类画出各种符合条件的图形。另外,由点的运动变化也 会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置,从而需对不同位置 分别求其结果,否则漏解。 例 11:(2010 湖北)如图,正方形 ABCD 的边长是 2,BE=CE,MN=1,线段 MN 的两端在 CD、AD 上滑动.当 DM= 时,△ABE 与以 D、 M、N 为项点的三角形相似。 分析与解答 勾股定理可得 AE= 5 .当△ABE 与 以 D、M、N 为项点的三角形相似时,DM 可以与 BE 是 对应边,也可以与 AB 是对应边,所以本题分两种情况: (1) 当 DM 与 BE 是对应边时, DM MN AB AE  , 即 1 5,1 55 DM DM  .(2)当 DM 与 AB 是对应边时, DM MN AB AE  ,即 1 2 5,2 55 DM DM  故 DM 的长是 5 2 5 5 5 或 . 例题 12:(2011 湘潭)如图,直线 y=3x+3 交 x 轴于 A 点,交 y 轴于 B 点, 过 A,B 两点的抛物线交 x 轴于另一点 C(3,0). (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使三角形 ABQ 是等腰三角形?若存 在,求出符合条件的 Q 点坐标;若不存在,请说明理由。 - 6 - 说明 从以上各例可以看出,分灯思想在几何中的较为广泛.这类试题的解题思 路是:对具有位置关系的几何图形,要有分类讨论的意识,在熟悉几何问题所需 要的基础知识的前提下,正确应用分类思想方法,恰当地选择分类标准,是准确 全面求解的根本保证. 解析:(1)抛物线解析式的求法:1,三点式;2,顶点式(h,k);3,交点式。 易得: 32)3,0()3)(1( 2  xxyBxxay 在抛物线上再结合点 (2) 依题意得 10AB ,抛物线的对称轴为 x=1,设 Q(1,y) 1) 以 AQ 为底,则有 AB=QB,及 22 )3(110  y 解得,y=0 或 y=6,又 因为点(1,6)在直线 AB 上(舍去),所以此时存在一点 Q(1,0) 2) 以 BQ 为底,同理则有 AB=AQ,解的 Q(1, 6 ) Q(1, 6 ) 3) 以 AB 为底,同理则有 QA=QB,存在点 Q(1,1). 综上,共存在四个点分别为:(1,0)、(1,1)、(1, 6 ) 、(1, 6 ) - 7 - 【作业训练】 1.已知等腰△ABC 的周长为 18 ㎝,BC=8 ㎝.若△ABC≌△A´B´C´,则△A´B ´C´中一定有一定有条边等于( ) A.7 ㎝ B.2 ㎝或 7 ㎝ C.5 ㎝ D.2 ㎝或 7 ㎝ 2.(2010 衡阳)若等腰三角形的两个角度的比是 1:2,则这个三角形的顶角 为( )度。 A 30 B 60 C 30 或 90 D 60 3.A、B 两地相距 450 千米,甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发,相向 而行.已知甲车速度为 120 千米/时,乙车速度为 80 千米/时,以过 t 小时两车相 距 50 千米,则 t 的值是( ) A.2 或 2.5 B.2 或 10 C.10 或 12.5 D.2 或 12.5 4.已知⊙O 的半径为 2,点 P 是⊙O 外一点,OP 的长为 3,那么以 P 这圆心, 且与⊙O 相切的圆的半径一定是( ) A.1 或 5 B.1 C.5 D.不能确定 5.(2011 株洲市)两圆的圆心距 d=5,他们的半径分别是一元二次方程 0452  xx 的两根,判断这两圆的位置关系: . 6.已知点P是半径为 2 的⊙O外一点,PA 是⊙O 的切线,切点为 A,且 PA=2, 在⊙O 内作了长为 2 2 的弦 AB,连续 PB,则 PB 的长为 7.(2010 四校联考)在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,一边上的中线 BD 将这 个三角形的周长分为 15 和 12 两部分,则这个三角形的底边长为:. 8:变换例题 12,请问是否在 x 轴,y 轴上存在点 P,使得 P,B,C 三点组成的图 形为等腰三角形,请说明理由。 【参考答案】 - 8 - 1.D 2 .C 3. A 4.A 5.外切 6. 2或2 5 7. 7 或 11