【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）8锐角三角函数性质 10页

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 锐角三角函数 了解锐角三角函数（正弦、余弦、 正切、余切），知道特殊角的三角 函数值 由某个角的一个三角函数值，会 求这个角其余两个三角函数值； 会求含有特殊角的三角函数值的 计算 能用三角函数解决 与直角三角形有关 的简单问题 模块一 三角函数基础 一、锐角三角函数的定义 如图所示，在 Rt ABC△ 中，a、b、c 分别为 A 、 B 、 C 的对边． （1）正弦： Rt ABC 中，锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦，记作 sin A ，即 sin aA c  ． （2）余弦： Rt ABC 中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦，记作 cos A ，即 cos bA c  ． （3）正切： Rt ABC 中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切，记作 tan A ，即 tan aA b  ． 注意： ① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与 A 、 cos 与 A 、 tan 与 A 的乘积． ③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的 比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、特殊角三角函数 三角函数 0 30 45 60 90 锐角三角函数性质 2 这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围 在 Rt ABC 中， 90C   ， 0 0 0a b c a c b c    ， ， ， ， ，又sin aA c  ，cos bA c  ，tan aA b  ，所 以 0 sin 1 0 cos 1 tan 0A A A    ， ， ． 四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 2 2sin cos 1A A  ， sintan cos AA A  2．互余角三角函数关系： (1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：  sin cos 90A A   ； (2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：  cos sin 90A A   ； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：  tan cot 90A A   ． 3．锐角三角函数值的变化规律： (1)A、B 是锐角，若 A  B，则 sin A  sin B ；若 A  B，则 sin A  sin B (2) A、B 是锐角，若 A  B，则 cos A  cos B ；若 A  B，则 cos A  cos B (3) A、B 是锐角，若 A  B，则 tan tanA B ；若 A  B，则 tan tanA B 【例 1】 如图，在 Rt ABC 中， ACB = 90 ，CD AB 于 D ，则 sin A =   AC =   BC ， sin B =   CD =   AC ， sin DCB =     ， sin ACD =     ， tan A =   AC =   CD ， tan B =   CD =   AC ． sin A 0 1 2 2 2 3 2 1 cos A 1 3 2 2 2 1 2 0 tan A 0 3 3 1 3  3 【巩固】在 Rt ABC 中， 90C  ， sin A = 2 3 ， AB =9，则 BC = ． 【例 2】 如图，在 Rt ABC△ 中， 90C   ， 1BC  ， 2AB  ，则下列结论正确的是（ ）． A． 3sin 2A  B． 1tan 2A  C． 3cos 2B  D． tan 3B  【巩固】（2011 江苏连云港）如图， ABC△ 的顶点都在方格纸的格点上，则 sin A =______． 【例 3】 （2011 山东烟台）如果 ABC△ 中， sin A = cos B = 2 2 ，则下列最确切的结论是（ ） A． ABC△ 是直角三角形 B． ABC△ 是等腰三角形 C． ABC△ 是等腰直角三角形 D． ABC△ 是锐角三角形 【巩固】已知 为锐角，且 1cos(90 ) 2    ，则 的度数是（ ） A．30 B． 45 C． 60 D．90 【巩固】在 ABC△ 中， A 、 B 都是锐角，且 sin A = 1 2 ， cos B = 3 2 ，则 ABC△ 是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 4 【例 4】 ABC 中，a b c、 、 分别是 A B C  、 、 的对边。已知 10a  ， 3 2b   ， 3 2c   ，则 sin sinb B c C 的值等于 ． 【例 5】 已知 cos19 30 = 0 9426． ，则 sin 70 30 = ． 【巩固】在 ABC△ 中 90C   ，若 sin A + cos B = 2 ，则 A 等于（ ） A．30 B． 45 C． 60 D． 75 【例 6】 若 A 的补角是 A 的 3 倍，则sin A = ． 【巩固】  的补角是 120°，则   ______， sin  ______． 【例 7】  为锐角，且满足 sin 3cos  ，求 sin cos  的值． 【巩固】若  为直角三角形中的一个锐角， tan 3  ，则 cos  ______． ． 模块二 比较大小 【例 8】 比较下列各式的大小． （1） sin53 和 cos53 ； （2） 当 A 是锐角时， sin A 和 tan A 5 【巩固】(2011 广东茂名)如图，已知： 45 90A    ，则下列各式成立的是（ ） A． sin cosA A B．sin cosA A C．sin tanA A D． sin cosA A 模块三 化简求值 【例 9】 求下列各式的值： （1） 22cos 30 2sin60 cos45    ； （2） 2 2 21 1cos 45 cos 30 sin 45cos60 sin90         【巩固】计算（1） 2cos 45 tan60 cos30    ； （2） sin 60 tan 45cos30    6 【例 10】 已知 3tan 4   ，且 为锐角，求 sin cos 1 cot 1 tan      的值． 模块四 三角函数与代数综合 【例 11】 已知：sin cos sin cosm n      ， ，则 m n， 之间的关系是（ ） A． m n B． 2 1m n  C． 2 22m n  D． 2 1 2m n  模块五 三角函数与几何综合 【例 12】 （2011 江苏南京）如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点 A ，再以 A 为 圆心， AO 长为半径画弧，两弧交于点 B ，画射线 OB ，则 cos AOB 的值等于_________． 【例 13】 如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 AD 、BD 相交于点 P ，若 DPB = ，那么 CD AB 等于（ ） A．sin B． cos C． tan D． 1 tan 7 【例 14】 （2011 安徽芜湖中考）如图，直径为 10 的 A 经过点 (0,5)C 和点 (0,0)O ，B 是 y 轴右侧 A 优弧上一点，则 OBC 的余弦值为( )． A． 1 2 B． 3 4 C． 3 2 D． 4 5 【例 15】 如图，在 ABC△ 中， AD 是 BC 边上的高， tan cosB DAC  （1）求证： AC BD （2）若 12sin 13C  ， 12BC  ，求 AD 的长． 【巩固】如图，一块三角形土地，已知两边长与夹角，求这块土地的面积．（精确到 1 2cm ，参考数据： sin 50 0.7660  ） 【例 16】 如图，在 Rt ABC 中， 90ACB   ， A B   ，沿 Rt ABC 的斜边 AB 上的中线CM 将 CMA△ 折叠，使点 A 落在点 D 处，若 CD 恰好与 MB 垂直，则 tan A 的值为 _________． 8 课堂检测 1．直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 cos A 的值是（ ） A． 3 4 B． 4 3 C． 3 5 D． 4 5 2．在 ABC△ 中，若  23sin 1 tan 02A B    ，则 C 的度数是（ ） A． 45 B． 60 C． 75 D．105 3．已知 为锐角，且 2cos 3   ，则 的取值范围是 ( ) A． 0 30    B． 30 45    C． 45 60    D． 60 90    总结复习 9 1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ． ② ． ③ ． 课后作业 1．（2011 安徽芜湖）计算： 2011 31 5( 1) ( ) (cos68 ) 3 3 8sin 602           2．（2011 甘肃兰州）已知 是锐角，且 3sin( 15 ) 2     ．计算 0 118 4cos ( 3.14) tan ( )3         的 值． 3．已知 cos 0.5  ，那么锐角 的取值范围是（ ） A． 60 90    B． 0 60    C． 30 90    D． 0 30    4．（2011贵州安顺）如图，点 (0,4), (0,0), (5,0)E O C 在 A 上， BE 是 A 上的一条弦，则 tan OBE = ． 5．如图所示，在 Rt ABC 中， 90C   ， 45A   ，点 D 在 AC 上， 60BDC   ， 1AD  ，求 BD 、DC 的长． 10