北师大版数学九年级上册同步练习课件-第2章 一元二次方程-第2章 5一元一次方程的根与系数的关系 21页

第二章　一元二次方程 *5　一元二次方程的根与系数的关系(一课时) 2 § (4)已知两数的和与积，求这两个数； § (5)证明方程系数之间的特殊关系； § (6)二次三项式的因式分解． § 运用根与系数的关系，可以减小运算量，避 免进行无理数的计算． § 注意：在应用根与系数的关系时，不要忽视 隐含条件：Δ≥0，a≠0. 3 § 【典例1】已知x1、x2是关于x的方程x2－kx ＋5(k－5)＝0的两个正实数根，且2x1＋x2＝ 7，求k的值． § 分析：利用已知条件和一元二次方程根与系 数的关系求出k的值，再代入方程中验证，看 是否符合题意．也可以先根据方程根的情况 求出k的取值范围，再利用已知条件求出k的 值． 4 § 解答：(方法一)∵2x1＋x2＝7，且x1＋x2＝k，∴x1＝7－k. § 将x1＝7－k代入原方程，得 § (7－k)2－k(7－k)＋5(k－5)＝0， § 即k2－8k＋12＝0. § 解得k＝2或k＝6. § 当k＝2时，Δ＝64＞0，x1x2＝－15＜0，即x1、x2异号，不合题意，舍 去； § 当k＝6时，Δ＝16＞0，x1x2＝5＞0，且x1＋x2＝6＞0，即x1、x2同时为 正． § ∴k＝6. 5 6 § 分析：(1)用根的判别式证明；(2)利用根与系 数的关系可求出一元二次方程的两根之和与 两根之积，得出方程②，由a是方程②的根可 得出含a的方程，再将原代数式化简求值． 7 § 解答：(1)∵Δ＝4(k＋1)2－4(k2＋2k－1)＝4k2＋8k＋4－4k2－8k＋4＝8＞0， § ∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根． § (2)∵x1、x2为方程①的两个实数根， § ∴x1＋x2＝2(k＋1)， § x1x2＝k2＋2k－1， § ∴x1＋x2－2k＝2(k＋1)－2k＝2， § (x1－k)(x2－k)＝x1x2－k(x1＋x2)＋k2＝k2＋2k－1－2k(k＋1)＋k2＝－1， § ∴方程②为y2－2y－1＝0. 8 § 点评：此题的综合性很强，它考查了一元二 次方程根的判别式、根与系数的关系、根的 定义及代数式的求值等知识．由a2－2a－1 ＝0，得a2＝2a＋1，达到了降次的目的． 9 10 A 　 B 　 11 D 　 D 　 § 5．已知m、n是方程x2＋3x－2＝0的两个实数根，则m2＋4m＋n＋2mn的值为 § (　　) § A．1 B．3 § C．－5 D．－9 § 6．已知实数x1、x2满足x1＋x2＝11，x1x2＝30，则以x1、x2为根 的一元二次方程是(　　) § A．x2－11x＋30＝0 B．x2＋11x＋30＝0 § C．x2＋11x－30＝0 D．x2－11x－30＝0 12 C 　 A 　 13 D 　 A 　 14 2　 7　 －1 x2－10x＋9＝0　 18　 15 § 14．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实数根． § (1)求m的取值范围； § (2)如果方程的两个实数根为x1、x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值 范围． § 解：(1)根据题意，得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，解得m≤4.　(2)∵x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1,2x1x2＋x1＋x2≥20，∴2(2m＋1)＋6≥20，解得 m≥3.∵m≤4，∴3≤m≤4. 16 17 § 16．已知方程x2－mx＋m＋5＝0有两个实数根α、β，方程 x2－(8m＋1)x＋15m＋7＝0有两个实数根α、γ，且β≠γ，求 α2βγ的值． § 解：∵α是两个方程的公共根，∴α2－mα＋m＋5＝0，① α2 －(8m＋1)α＋15m＋7＝0.②　①－②，得(7m＋1)α＝2(7m ＋1)．若7m＋1＝0，则β＝γ，这与题设矛盾，∴7m＋1≠0， 此时α＝2.将α＝2代入①，得m＝9.由根与系数的关系可知 αβ＝m＋5，αγ＝15m＋7.∴α2βγ＝αβ·αγ＝(m＋5)·(15m ＋7)＝(9＋5)×(15×9＋7)＝1988. 18 19 20 21