中考卷-2020中考数学试题（解析版）（125） 25页

扬州市 2020年初中毕业、升学统一考试数学试题 说明： 1．本试卷共 6页，包含选择题（第 1题~第 8题，共 8题）、非选择题（第 9题~第 28题，共 20题）两部分．本卷满分 150分，考试时间为 120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡 一并交回． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷 的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位号． 3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用 2B铅笔作答、非选择题在指定位 置用 0．5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效． 4．如有作图需要，请用 2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有 8小题，每小题 3分，共 24分．在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1.实数 3的相反数是（ ） A. 3 B. 1 3 C. 3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据相反数的定义判断即可． 【详解】3的相反数是﹣3． 故选 A． 【点睛】本题考查相反数的定义，关键在于牢记相反数基础知识． 2.下列各式中，计算结果为 6m 的是（ ） A. 32m m B. 3 3m m C. 12 2m m D.  32m 【答案】D 【解析】 【分析】 根据同底数幂的乘方和除法运算法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】A． 2 53m mm  ，不符合题意 B． 3 3 32m m m  ，不符合题意 C． 12 2 10m m m  ，不符合题意 D．  32 6m m ，符合题意 故选：D 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除， 底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结 果作为系数，字母部分保持不变． 3.在平面直角坐标系中，点  2 2, 3P x   所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案． 【详解】∵x2＋2＞0， ∴点 P（x2＋2，−3）所在的象限是第四象限． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键． 4.“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、 标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图 形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称图形的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，属于基础概念题型，熟知轴对称图形的概念是解题关键． 5.某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如下尚不完整的调查问卷： 调查问卷 ________年________月________日 你平时最喜欢的一种体育运动项目是（ ）（单选） A． B． C． D．其他运动项目 准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项 目，选取合理的是（ ） A.①②③ B.①③⑤ C.②③④ D.②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】 在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中找到三个互不包含，互不交叉的项目即可． 【详解】解：∵①室外体育运动，包含了②篮球和③足球， ⑤球类运动，包含了②篮球和③足球， ∴只有选择②③④，调查问卷的选项之间才没有交叉重合， 故选：C． 【点睛】本题考查收集调查数据的过程与方法，理解题意，准确掌握收集数据的方法是解题的关键． 6.如图，小明从点 A出发沿直线前进 10米到达点 B，向左转 45后又沿直线前进 10米到达点 C，再向左转 45后沿直线前进 10米到达点 D……照这样走下去，小明第一次回到出发点 A时所走的路程为（ ） A. 100米 B. 80米 C. 60米 D. 40米 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用 360°除以 45°求出边数，然后再乘以 10米即可． 【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进 10米后再向左转 45， ∴他走过的图形是正多边形，边数 n=360°÷45°=8， ∴小明第一次回到出发点 A时所走的路程=8×10=80米． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小明走过的图形是正多边形是解题的关 键． 7.如图，由边长为 1的小正方形构成的网格中，点 A，B，C都在格点上，以 AB为直径的圆经过点 C、D， 则 sin ADC 的值为（ ） A. 2 13 13 B. 3 13 13 C. 2 3 D. 3 2 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝ ADC ，在 Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正 弦值． 【详解】∵ ADC 和∠ABC所对的弧长都是AC， ∴根据圆周角定理知，∠ABC＝ ADC ， ∴在Rt△ACB中，AB= 2 2 2 22 3 13AC BC    根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝ 2 2 13 1313 AC AB   ， ∴ sin ADC = 2 13 13 ， 故选 A． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求 ADC 的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题． 8.小明同学利用计算机软件绘制函数  2 axy x b   （a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可 以推断常数 a、b的值满足（ ） A. 0a  ， 0b  B. 0a  ， 0b  C. 0a  ， 0b  D. 0a  ， 0b  【答案】C 【解析】 【分析】 根据图像过二、四象限可判断 a的取值，根据 x在负半轴的图像，可判断 b的取值． 【详解】∵图像过二、四象限 ∴a＜0， ∵x在负半轴时，图像不连续 ∴b＞0 故选 C． 【点睛】此题主要考查函数图像的综合判断，解题的关键是熟知函数图像与变量之间的关系． 二、填空题（本大题共有 10小题，每小题 3分，共 30分．不需写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上） 9.2020年 6月 23日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射．据统计，国内已有超过 6500000辆 营运车辆导航设施应用北斗系统，数据 6500000用科学记数法表示为________． 【答案】6.5×106 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数．确定 n的值时，要看把原数变成 a时， 小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝 对值＜1时，n是负数． 【详解】解：6500000用科学记数法表示应为：6.5×106， 故答案为：6.5×106． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整 数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值． 10.分解因式： 3 22a a a   ______． 【答案】 2( 1)a a  【解析】 【分析】 先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】原式= 2 2( 2 1) ( 1)a a a a a    ， 故答案为： 2( 1)a a  ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． 11.代数式 2 3 x  在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是________． 【答案】 2x   【解析】 【分析】 根据二次根式的非负性计算即可得到结果． 【详解】由题可得： 2 0x   ， 即 2 0x   ， 解得： 2x   ． 故答案为 2x   ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，准确理解非负性的含义是解题的关键． 12.方程  21 9x  的根是_______． 【答案】 1 22, 4x x   【解析】 【分析】 利用直接开平方法解方程. 【详解】解：  21 9x  1 3x   1 3x    ， ∴ 1 22, 4x x   ， 故答案为： 1 22, 4x x   . 【点睛】此题考查一元二次方程的解法：直接开平方法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题 的关键. 13.圆锥的底面半径为 3，侧面积为12 ，则这个圆锥的母线长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】 根据圆锥的底面半径可以求出底面周长即为展开后的弧长,侧面积即为展开后扇形的面积,再根据扇形的面 积公式求出扇形的半径即为圆锥的母线． 【详解】∵底面半径为 3, ∴底面周长=2×3π=6π． ∴圆锥的母线= 2 12 4 6     ． 故答案为:4． 【点睛】本题考查圆锥与扇形的结合,关键在于理解圆锥周长是扇形弧长,圆锥母线是扇形半径． 14.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载 的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高 1丈（1 丈 10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根 3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________ 尺高． 【答案】 91 20 【解析】 【分析】 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面 x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即 可． 【详解】解：设竹子折断处离地面 x尺，则斜边为（10-x）尺， 根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2， 解得： 91 20 x  ； 故答案为： 91 20 ． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解 题． 15.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用 黑白打印机打印于边长为 2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷 点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ________ 2cm ． 【答案】2.4 【解析】 【分析】 求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得 60%计算即可； 【详解】∵正方形的二维码的边长为 2cm， ∴正方形二维码的面积为 24cm ， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得 60%， ∴黑色部分的面积约为： 24 60%=2.4cm ， 故答案为 22.4cm ． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键． 16.如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度 3cmb  ，则螺帽边长 a ________cm． 【答案】 3 【解析】 【分析】 根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得 CD的长，根据锐角三 角函数的余弦，可得答案． 【详解】解：如图：作 BD⊥AC于 D 由正六边形，得 ∠ABC=120°，AB=BC=a， ∠BCD=∠BAC=30°． 由 AC=3，得 CD= 3 2 ． cos∠BCD= CD BC = 3 2 ，即 3 32 2a  ， 解得 a= 3， 故答案为： 3． 【点睛】本题考查正多边形和圆，利用正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的 性质，余弦函数． 17.如图，在 ABC 中，按以下步骤作图： ①以点 B为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB、BC于点 D、E． ②分别以点 D、E为圆心，大于 1 2 DE的同样长为半径作弧，两弧交于点 F． ③作射线 BF交 AC于点 G． 如果 8AB  ， 12BC  ， ABG 的面积为 18，则 CBG 的面积为________． 【答案】 410 5 【解析】 【分析】 由作图步骤可知 BG为∠ABC 的角平分线，过 G作 GH⊥BC,GM⊥AB，可得 GM=GH ,然后再结合已知条件和三角形的面积公式求得 GH，最后运用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由作图作法可知：BG为∠ABC的角平分线 过 G作 GH⊥BC,GM⊥AB ∴GM=GH ∵S△ABC=S△ABG+ S△BCG=18 ∴ 1 1 18 2 2 AB GM BC GH    , ∵ 8AB  ， 12BC  ， ∴ 1 18 12 18 2 2 GH GH    ,解得：GH= 9 5 ∴ CBG 的面积为 1 9 412 10 2 5 5    ． 故答案为 410 5 ． 【点睛】本题考查了角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线 定理是解答本题的关键． 18.如图，在 ABCD 中， 60B  ， 10AB  ， 8BC  ，点 E为边 AB上的一个动点，连接 ED并延长 至点 F，使得 1 4 DF DE ，以 EC、EF为邻边构造 EFGC ，连接 EG，则 EG的最小值为________． 【答案】9 3． 【解析】 【分析】 连接 FC，作 DM//FC，得△DEM∽△FEO，△DMN∽△CON，进一步得出 DM= 4 5 FO，EO= 9 8 EN ，过 C 作 CH⊥AB于 H，可求出 CH= 4 3，根据题意，EG必过点 N，当 EN⊥CD时，EG最小，此时四边形 EHCN 是矩形，故可得 EN=CH= 4 3，代入 EO= 9 8 EN 求出 EO即可得到结论． 【详解】解：连接 FC，交 EG于点 O，过点 D作 DM//FC，交 EG于点M，如图所示， ∵ 1 4 DF DE ∴ 4 5 DE EF ∵DM//FC， ∴△DEM∽△FEO， ∴ 4 5 DM DE EM FO EF EO    ， ∵DM//FC， ∴△DMN∽△CON， ∴ MN DM NO OC  , ∵四边形 ECGF是平行四边形， ∴CO=FO， ∴ 4 5 MN DM NO OF   ∴ 4 45 5 EN EOEN EM EO EN EO EN      , ∴ 9 8 EO EN , 过点 C作 CH⊥AB于点 H， 在 Rt△CBH，∠B=60︒，BC=8， ∴CH=BCsin60︒=4 3， 根据题意得，EG必过点 N，当 EN⊥CD时，EG最小，此时四边形 EHCN 是矩形， ∴EN=CH=4 3， ∴EO= 9 94 3 3 8 2   , ∴EG=2EO=9 3． 故答案为：9 3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本大题共有 10小题，共 96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19.计算或化简： （1） 112sin 60 12 2         （2） 2 2 1 1x x x x x     【答案】（1） 2 3 ；（2）1 【解析】 【分析】 （1）先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算法则对各项进行化简计算，再进行加减 计算即可； （2）先将除法变为乘法，根据分式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） 112sin 60 12 2         32 2 2 3 2     3 2 2 3   2 3  （2） 2 2 1 1x x x x x           11 1 1 x xx x x x      1 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算和分式的混合运算，解题的关键 是要熟练掌握运算法则． 20.解不等式组 5 0 3 1 2 1 2 x x x        ，并写出它的最大负整数解． 【答案】不等式组的解集为 x≤−5；最大负整数解为-5 【解析】 【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集，从而得出答案． 【详解】解不等式 x＋5≤0，得 x≤−5， 解不等式 3 1 2 1 2 x x   ，得：x≤−3， 则不等式组的解集为 x≤−5， 所以不等式组的最大负整数解为−5． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取 大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21.扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟 练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中表示 A等级的扇形圆心角为________ ； （2）补全条形统计图； （3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有 2000名学生，试估计该校需要培 训的学生人数． 【答案】（1）500；108；（2）见解析；（3）估计该校需要培训的学生人数为 200人 【解析】 【分析】 （1）根据条形统计图中 A项为 150人，扇形统计图中 A项为 30%，计算出样本容量；扇形统计图中计算 360°的 30%即 360°×30%即可； （2）根据扇形统计图中 B选项占 40%，求出条形统计图中 B选项的人数，补全条形统计图即可； （3）抽取的样本中“不太熟练或不熟练”的同学所占的百分比为 50 500 ×100%，由此估计 2000名学生所占的 百分比也为 50 500 ×100%，进而求出该校需要培训的学生人数． 【详解】解：（1）150÷30%=500（人）， 360°×30%=108°， 故答案为：500；108； （2）500×40%=200（人），补全条形统计图如下： （3） 50 500 ×100%×2000=200（人） ∴估计该校需要培训的学生人数为 200人． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体等知识，熟练掌握条形统计图与 扇形统计图的之间的关系是解题的关键． 22.防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了 A、B、C三个测温通道，某 天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园． （1）小明从 A测温通道通过的概率是________； （2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率． 【答案】(1) 1 3 ;(2) 1 3 ． 【解析】 【分析】 (1) 因为共开设了 A、B、C三个测温通道，小明从 A测温通道通过的概率是 1 3 ． (2)根据题意画出树状图，再根据所得结果算出概率即可． 【详解】(1) 因为共开设了 A、B、C三个测温通道，小明从 A测温通道通过的概率是 1 3 ， 故答案为： 1 3 ． (2)由题意画出树状图： 由图可知，小明和小丽从同一个测温通道通过的概率= 3 1 9 3  ． 【点睛】本题考查概率的计算和树状图的画法，关键在于理解题意，由图得出相关概率． 23.如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多 40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单． 【答案】每件 40元，进货单见解析． 【解析】 【分析】 设乙的进价每件为 x元，分别表示乙的数量，甲的数量，利用数量关系列方程解方程即可． 【详解】解：设乙的进价每件为 x元，乙的数量为 3200 x 件， 则甲的进价为每件1.5x元，甲的数量为 7200 1.5x 件，所以： 7200 3200 40 1.5x x   6 240,x  40x  ， 经检验： 40x  是原方程的根， 3200 72001.5 60, 80, 120, 1.5 x x x     所以：乙商品的进价为每件 40元． 所以：进货单如下： 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额 甲 60 120 7200 乙 40 80 3200 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握列分式方程解应用题是解题的关键． 24.如图， ABCD 的对角线 AC，BD相交于点 O，过点 O作 EF AC ，分别交 AB，DC于点 E、F，连 接 AF、CE． （1）若 3 2 OE  ，求 EF的长； （2）判断四边形 AECF的形状，并说明理由． 【答案】（1）3；（2）菱形，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）只要证明 AOE COF  即可得到结果； （2）先判断四边形 AECF 是平行四边形，再根据对角线互相垂直且平分证明是菱形，即可得到结论； 【详解】（1）∵四边形 ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线， ∴ EAO FCO  ，OA=OC， 又∵ EF AC ， ∴ AOE COF   ， 在△AOE和△COF中， EAO FCO OA OC AOE COF         ， ∴  △ △AOE COF ASA ． ∴FO=EO， 又∵ 3 2 OE  ， ∴ 3 2 2 3 2 EF OE    ． 故 EF的长为 3． （2）由（1）可得， AOE COF  ，四边形 ABCD是平行四边形， ∴FC AE ，FC∥AE， ∴四边形 AECF是平行四边形， 又 EF AC ，OE=OF，OA=OC， ∴平行四边形 AECF是菱形． 【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的性质应用，准确运用全等三角形的性质及菱形的判定是解题的 关键． 25.如图， ABC 内接于 O ， 60B  ，点 E在直径 CD的延长线上，且 AE AC ． （1）试判断 AE与 O 的位置关系，并说明理由； （2）若 6AC  ，求阴影部分的面积． 【答案】（1）AE与⊙O相切，理由见详解；（2） 6 3 2S  阴影 ． 【解析】 【分析】 （1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得 出∠EAO=90°，即可得出答案； （2）连接 AD，利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据 AOES S S 阴影 扇AOD ，即可求出阴影部分的面 积． 【详解】（1）AE与⊙O相切，理由如下： 连接 AO， ∵∠B=60°， ∴∠AOC=120°， ∵AO=CO，AE=AC， ∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°， ∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°， ∴∠EAC=120°， ∴∠EAO=90°， ∴AE是⊙O的切线； （2）连接 AD，则 60ADC B    ， ∴∠DAC=90°， ∴CD为⊙O的直径， 在 Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°， ∴ 3cos30 2 AC CD    ， ∴ 4 3CD  ， ∴ 2 3OA OD OC   ，∠AOD=60°， ∴ 21 60 (2 3)6 2 3 2 360AOES S S          阴影 扇AOD ∴ 6 3 2S  阴影 ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解 题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题． 26.阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数 x、y满足3 5x y  ①， 2 3 7x y  ②，求 4x y 和7 5x y 的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运 算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数 式的值，如由①②可得 4 2x y   ，由①② 2 可得 7 5 19x y  ．这样的解题思想就是通常所说的“整 体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组 2 7 2 8 x y x y      ，则 x y  ________， x y  ________； （2）某班级组织活动购买小奖品，买 20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需 32元，买 39支铅笔、5块橡 皮、3本日记本共需 58元，则购买 5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ （3）对于实数 x、y，定义新运算： *x y ax by c   ，其中 a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和 乘法运算．已知3*5 15 ， 4*7 28 ，那么1*1 ________． 【答案】（1）-1，5；（2）购买 5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 30元；（3）-11 【解析】 【分析】 （1）已知 2 7 2 8 x y x y      ① ② ，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得 x-y，①+②即可求得 x+y的值； （2）设每支铅笔 x元，每块橡皮 y元，每本日记本 z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”， 即可求解； （3）根据 *x y ax by c   ，可得3*5 3 5 15a b c    ， 4*7 4 7 28a b c    ，1*1 a b c   ， 根据“整体思想”，即可求得 a b c  的值． 【详解】（1） 2 7 2 8 x y x y      ① ② ①-②，得 x-y=-1 ①+②，得 3x+3y=15 ∴x+y=5 故答案为：-1，5 （2）设每支铅笔 x元，每块橡皮 y元，每本日记本 z元，则 20 3 2 32 39 5 3 58 x y z x y z        ① ② ①×2，得 40x+6y+4z=64③ ③-②，得 x+y+z=6 ∴5(x+y+z)=30 ∴购买 5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 30元 答：购买 5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 30元 （3）∵ *x y ax by c   ∴3*5 3 5 15a b c    ①，4*7 4 7 28a b c    ②，1*1 a b c   ∴②-①，得 2 13a b  ③ ∴5 10 65a b  ④ ①+②，得7 12 2 43a b c   ⑤ ⑤-④，得 2 2 2 22a b c    ∴ 11a b c    故答案为：-11 【点睛】本题考查了利用“整体思想”解二元二次方程组，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题 还可以通过适当变形整体求得代数式的值，引入了新运算，根据定义结合“整体思想”求代数式的值． 27.如图 1，已知点 O在四边形 ABCD的边 AB上，且 2OA OB OC OD    ，OC平分 BOD ，与 BD 交于点 G，AC分别与 BD、OD交于点 E、F． （1）求证： / /OC AD； （2）如图 2，若DE DF ，求 AE AF 的值； （3）当四边形 ABCD的周长取最大值时，求 DE DF 的值． 【答案】（1）见详解；（2） 2 ；（3） 2 3 3 【解析】 【分析】 （1）先由三角形外角得出∠BOD=∠DAO+∠ODA，然后根据OA=OD，OC平分∠BOD得出∠DAO=∠ODA， ∠COD=∠COB，可得∠COD=∠ODA，即可证明； （2）先证明△BOG≌△DOG，得出∠ADB=∠OGB=90°，然后证明△AFO∽△AED，得出 ∠AOD=∠ADB=90°， AD AE AO AF  ，根据勾股定理得出 AD=2 2 ，即可求出答案； （3）先设 AD=2x，OG=x，则 CG=2-x，BG= 2 2-OGOB = 24-x ，BC= 2 2+CGBG = 8 4x =CD，然 后得出四边形 ABCD的周长=4+2x+4 2 x ，令 2 x =t≥0，即 x=2-t2，可得四边形 ABCD的周长=-2（t-1） 2+10，得出 x=2-t2=1，即 AD=2，然后证明△ADF≌△COF，得出 DF=OF= 1 2 OD=1，根据△ADO是等边三 角形，得出∠DAE=30°，可得 3tan30 3 DE DA   ，求出 DE= 2 3 3 ，即可得出答案． 【详解】（1）由三角形外角可得∠BOD=∠DAO+∠ODA， ∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ODA， ∵OC平分∠BOD， ∴∠COD=∠COB， ∴∠COD=∠ODA， ∴OC∥AD； （2）∵OC平分 BOD ， ∴∠COD=∠COB， 在△BOG与△DOG中 OB OD BOG DOG OG OG      ∠ ∠ ， ∴△BOG≌△DOG， ∴∠BGO=∠DGO=90°， ∵AD∥OC， ∴∠ADB=∠OGB=90°，∠DAC=∠OCA， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OAC， ∵DE=DF， ∴∠DFE=∠DEF， ∵∠DFE=∠AFO， ∴∠AFO=∠DEF， ∴△AFO∽△AED， ∴∠AOD=∠ADB=90°， AD AE AO AF  ， ∵OA=OD=2， ∴根据勾股定理可得 AD=2 2 ， ∴ 2 2= 2 AD AE AO AF  = 2 ； （3）∵OA=OB，OC∥AD， ∴根据三角形中位线可设 AD=2x，OG=x，则 CG=2-x，BG= 2 2-OGOB = 24-x ， ∴BC= 2 2+CGBG = 8 4x =CD， ∴四边形 ABCD的周长=AB+AD+DC+BC =4+2x+2 8 4x =4+2x+4 2 x 令 2 x =t≥0，即 x=2-t2， ∴四边形 ABCD的周长=4+2x+4 2 x =4+2（2-t2）+4t =-2t2+4t+8 =-2（t-1）2+10， 当 t=1时，四边形 ABCD的周长取得最大值，最大值为 10， 此时 x=2-t2=1， ∴AD=2， ∵OC∥AD， ∴∠ADF=∠COF，∠DAF=∠OCF， ∵AD=OC=2， ∴△ADF≌△COF ∴DF=OF= 1 2 OD=1， ∵AD=OC=OA=OD， ∴△ADO是等边三角形， 由（2）可知∠DAF=∠OAF，∠ADE=90°， ∴在 Rt△ADE中，∠DAE=30°， ∴ 3tan30 3 DE DA   ， ∴DE= 2 3 3 ， ∴ DE DF = 2 3 3 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定 与性质，等腰三角形的性质，二次函数的性质，涉及的知识点比较复杂，综合性较强，灵活运用这些知识 点是解题关键． 28.如图，已知点  1,2A 、   5, 0B n n  ，点 P为线段 AB上的一个动点，反比例函数  0ky x x   的图 像经过点 P．小明说：“点 P从点 A运动至点 B的过程中，k值逐渐增大，当点 P在点 A位置时 k值最小， 在点 B位置时 k值最大．” （1）当 1n  时． ①求线段 AB所在直线的函数表达式． ②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的 k 的最小值和最大值． （2）若小明的说法完全正确，求 n的取值范围． 【答案】（1）① 1 9 4 4 y x   ；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当 9 2 x  时， k有最大值 81 16 ；当 1x  时， k有最小值 2；（2） 10 9 n  ； 【解析】 【分析】 （1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线 AB为 1 9 4 4 y x   ，则 21 9 4 4 k x x   ，利用二次函数的性质，即可求出答案； （2）根据题意，求出直线 AB的直线为 2 10 4 4 n ny x    ，设点 P为（x， k x ），则得到 22 10 4 4 n nk x x    ，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴 5 2 b a   ，即 可求出 n的取值范围． 【详解】解：（1）当 1n  时，点 B为（5，1）， ①设直线 AB为 y ax b  ，则 2 5 1 a b a b      ，解得： 1 4 9 4 a b        ， ∴ 1 9 4 4 y x   ； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得 1 9 4 4 y x   ， 设点 P为（x， k x ），由点 P在线段 AB上则 1 9 4 4 k x x    ， ∴ 2 21 9 1 9 81( ) 4 4 4 2 16 k x x x       ； ∵ 1 0 4   ， ∴当 9 2 x  时， k有最大值 81 16 ； 当 1x  时， k有最小值 2； ∴点 P从点 A运动至点 B的过程中，k值先增大后减小，当点 P在点 A位置时 k值最小，在 9 2 x  的位置 时 k值最大． （2）∵  1,2A 、  5,B n ， 设直线 AB为 y ax b  ，则 2 5 a b a b n      ，解得： 2 4 10 4 na nb       ， ∴ 2 10 4 4 n ny x    ， 设点 P为（x， k x ），由点 P在线段 AB上则 22 10 4 4 n nk x x    ， 当 2 0 4 n   ，即 n=2时， 2k x ，则 k随 x的增大而增大，如何题意； 当 n≠2时，则对称轴为： 10 104 2 2 4 2 n nx n n       ； ∵点 P从点 A运动至点 B的过程中，k值逐渐增大，当点 P在点 A位置时 k值最小，在点 B位置时 k值最 大． 即 k在1 5x≤ ≤ 中，k随 x的增大而增大； 当 2 0 4 n   时，有 ∴ 2 0 4 10 1 2 4 n n n        ，解得： 2 6 n n     ， ∴不等式组的解集为： 2n  ； 当 2 0 4 n   时，有 ∴ 2 0 4 10 5 2 4 n n n        ，解得： 10 2 9 n  ， ∴综合上述，n的取值范围为： 10 9 n  ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关 键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．