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- 2021-11-10 发布
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24.3一元二次方程根与系数的
关系
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
1.复习一元二次方程的根的判别式和求根公式.
2.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点)
3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题.(难点)
问题1
求根公式是什么?根的个数怎么确定的?
一元二次方程的解法有哪些,步骤呢?
问题2
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
方程 x1 x2 x1+ x2 x1∙x2
x2-3x+2=0
x2-2x-3=0
x2-5x +4=0
问题1:你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2与x1 • x2系数
有什么规律?
2 1 3 2
-1 3 2 -3
1 4 5 4
方 程 x1 x2 xx 21 xx 21.
0169 2 xx
0143 2 xx
0273 2 xx
3
1
3
1
3
2
9
1
3
72
3
4
3
1
3
1 -2
3
7 3
2
问题2 x1+ x2,x1∙x2与系数有什么规律?
3
72
猜想:当二次项系数为1时,方程 x2+px+q=0的两根为x1, x2.
qxxpxx 2121
归纳
a
bxx 21
a
cxx 21
2 24 4
2 2
b b ac b b ac
a a
2 0( 0)ax bx c a 中
2 24 4
2
b b ac b b ac
a
2
2
b
a
b
a
1 2x x
2 2
1 2
4 4,2 2
b b ac b b acx xa a
1 2x x 2 24 4
2 2
b b ac b b ac
a a
2 2 2
2
( ) ( 4 )
4
b b ac
a
2 2
2
( 4 )
4
b b ac
a
2
4
4
ac
a
c
a
韦达定理的两个重要推论:
推论1:如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么
x1+x2=-p,x1·x2=q.
推论2:以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项
系数为1)是x2-(x1+x2)·x+x1·x2=0
一元二次方程根与系数关系的应用
类型一 直接运用根与系数的关
系
例1 不解方程,求下列方程两根的和与积.
2
2
2
(1) 6 15 0;
(2)3 7 9 0;
(3)5 1 4 .
x x
x x
x x
1 2 1 26, 15;x x x x
1 2 1 2
7 , 5;3x x x x
1 2 1 2
5 1, .4 4x x x x
在使用根与系数的关系时,应注意:
⑴不是一般式的要先化成一般式;
⑵在使用x1+x2=- 时,注意“- ”不要漏写.a
b
注意
类型二 求关于两根的对称式或代数式的
值
例2 不解方程,求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 1 2 2
22 2
1 2 1 2 1 2
2
1 2
1 2 1 2
3 1, .2 2
1 2 ,
2
3 1 132 ;2 2 4
1 1 3 12 3.2 2
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
∵
解:根据根与系数的关系可知:
类型三 求方程中字母系数的值
例3 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1,求它的另一个根
及m的值.
解:设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2,其中x1=1.
所以:x1 + x2=1+x2=6,
即:x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
得:m=15.
答:方程的另一个根是5,m=15.
,3
m
1.方程 有一个正根,一个负
根,求m的取值范围.
解:由已知,
24 4 ( 1) 0m m m ; Δ=
1 2
1 0mx x m
;
即 m>0;
m-1<0.
∴0
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