九年级上册青岛版数学课件3-4直线与圆的位置关系（2） 18页

3.4直线与圆的位置关系（2） 砂轮上打磨工件时飞出的火星 右图中让你感受到 了直线与圆的哪种 位置关系？ 【导入新课】 Ｏ A B C 问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆 的切线定义过点A作圆O的切线？ 观察：（1） 圆心O到直线AB的距离 和圆的半径有什么数量关系? （2)二者位置有什么关系？为什么？ 【讲授新课】 过半径的外端并且垂直于半径 的直线是圆的切线. Ｏ A B C 切线的判定定理 应用格式 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. l A O. l A B A O l (1) (2) (3) (1)不是，因为 没有垂直. (2),(3)不是，因为没有经过半径 的外端点A. 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这 条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 注意 判一判 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共 点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的 距离等于半径(即d=r)时，直线与 圆相切； 3.判定定理：过半径的外端并且垂直 于半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要点归纳 典例精析 例1 如图,直线AB是☉O上的点A,且 AB=OA，∠OBA=45°, AT=BA． 求证：直线AB是☉O的切线. 解析：直线AB经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. A O B 证明：∵AB=OA，∠OAB＝45°， ∴∠AOB＝∠OBA＝45°， ∴∠OAB=90°. 即OA⊥AB. 又∵点A在圆上， ∴ 直线AB是☉O的切线.（切线的判定定理） 如图,AB是☉O的直径,∠ABT=45°, AT=BA． 求证:AT是☉O的切线. AT B O 证明：∵AT=AB，∴∠ABT＝∠ATB，又∵∠ABT＝45°， ∴∠ATB=45°. 解析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可. ∴AT是☉O的切线． ∴∠TAB＝180°-∠ABT-∠ATB=90°. 即AT⊥AB. 做一做 已知：直线AB经过☉O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求 证：直线AB是☉O的切线. 分析：由于AB过☉O上的点C，所以连接OC， 只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是☉O的半径, ∴ AB是☉O的切线. 典例精析 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC中点，☉O与AB 相切于 E.求证：AC 是☉O 的切线． B O C E A分析：根据切线的判定定理， 要证明AC是☉O的切线，只要 证明由点O向AC所作的垂线段 OF是☉O的半径就可以了，而 OE是☉O的半径，因此只需要 证明OF=OE. F 证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵☉O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC ， 　　O 是BC 中点． ∴AO 平分∠BAC， F B O C E A ∴OE＝OF. ∵OE 是☉O 半径， OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是☉O的切线． 又OE⊥AB ，OF⊥AC. (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 例1 例2 有切线时常用辅助线添加方法 (1) 见切点，连半径，得垂直. 切线的其它重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 知识要点 1.判断下列命题是否正确. ⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） ⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） ⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线. （ ） ⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） ⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ） × × √ √ √ 【练习】 3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径， ∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则 ∠ADP的度数为（ ） A．40° B．35° C．30° D．45° 2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与 ☉O的位置关系是 . A P O 第2题 P O 第3题 D A B C 相切 C 证明：连接OP. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OBP=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为☉O的切线. 4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交边BC 于P， PE⊥AC于E. 求证:PE是☉O的切线. 5.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF. （1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的 条件是（只需写出两种情况）： ① _________ ；② _____________ . （2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是 ☉O的切线. BA⊥EF ∠CAE=∠B A F E O A F E O B C B C 图1 图2 证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为 ☉O的直径. ∴ ∠D+ ∠DAC=90 °, ∵ ∠D与∠B同对 , ∴ ∠D= ∠B, 又∵ ∠CAE= ∠B, ∴ ∠D= ∠CAE, ∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°, ∴EF是☉O的切线. AC 切 线 的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线. 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 【小结】