人教版九年级上册数学同步练习课件-第24章 圆-24直线和圆的位置关系 26页

第二十四章　圆 24.2　点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2　直线和圆的位置关系 第三课时　切线的判定和性质 § 知识点1　切线的判定定理 § 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线． § 提示：切线的判定方法及辅助线作法：①知 道直线过圆上一点，连接这一点和圆心(即是 半径)，证明这条半径和直线垂直，即证得这 条直线是圆的切线；②不知道直线是否过圆 上一点，过圆心作这条直线的垂线段，证明 这条垂线段等于半径，即证得这条直线是圆 的切线． 2 § 【典例1】如图，在⊙ O中，AB为直径， OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延 长线上有点E，且EF＝DE. § 求证：DE是⊙ O的切线． § 分析：连接OD，由EF＝ED得到∠EFD＝ ∠EDF，再利用对顶角相等得∠EFD＝ ∠CFO，则∠CFO＝∠EDF，由于∠OCF＋ ∠CFO＝90°，∠OCF＝∠ODF，则 ∠ODC＋∠EDF＝90°，于是根据切线的判 定定理可得DE是⊙O的切线． 3 § 证明：连接OD． § ∵EF＝DE，∴∠EFD＝∠EDF. § ∵∠EFD＝∠CFO， § ∴∠CFO＝∠EDF. § ∵OC⊥OF， § ∴∠OCF＋∠CFO＝90°. § 又∵OC＝OD，∴∠OCF＝∠ODF， § ∴∠ODE＝∠ODC＋∠EDF＝90°， § ∴OD⊥DE， § 故DE是⊙O的切线． 4 § 知识点2　切线的性质定理 § 圆的切线垂直于经过切点的半径． § 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点． § 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心． § 综上所述，如果圆中的一条直线满足以下三 个条件中的任意两条：①垂直于切线；② 过 切点；③过圆心，那么就一定满足第三条． 5 § 【典例2】如图，已知四边形ABCD为菱形， △ABD的外接圆⊙ O与CD相切于点D，交AC 于点E. § (1)判断⊙ O与BC的位置关系，并说明理由； § (2)若CE＝2，求⊙ O的半径r. 6 § 解答：(1)⊙O与BC相切． § 理由如下：连接OD、OB． § ∵⊙O与CD相切于点D，∴OD⊥CD，即 ∠ODC＝90°. § ∵四边形ABCD为菱形， § ∴AC垂直平分BD，AD＝CD＝CB， § ∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上． § ∵OD＝OB，OC＝OC，CB＝CD， § ∴△OBC≌△ODC， § ∴∠OBC＝∠ODC＝90°. § 又∵OB为半径， § ∴⊙O与BC相切． 7 8 § 点评：(1)切线的判定定理与切线的性质定理 互为逆定理．(2)结合前面所学知识，判定一 条直线是否为圆的切线共有三种方法：①和 圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；② 与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ③切线的判定定理． 9 § 1．如图，直线l是⊙ O的切线，A为切点，B 为直线l上一点，连接OB交⊙ O于点C．若AB ＝12，OA＝5，则BC的长为 (　　) § A．5　 B．6　 § C．7　 D．8 10 D　 § 2．【2018·江苏常州中考】如图，AB是⊙ O 的直径，MN是⊙ O的切线，切点为N，如果 ∠MNB＝52°，则∠NOA的度数为 (　　) § A．76°　 B．56°　 § C．54°　 D．52° 11 A　 § 3．如图，两个同心圆的半径分别为3 cm和5 cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB＝ (　　) § A．8 cm　 B．6 cm　 § C．5 cm　 D．4 cm 12 A　 § 4．如图，AB是⊙ O的直径，直线PA与⊙ O 相切于点A，PO交⊙ O于点C，连接BC．若 ∠P＝40°，则∠ABC的度数为 (　　) § A．20°　 B．25°　 § C．40°　 D．50° 13 B　 14 B　 15 D　 § 7．【2018·江苏无锡中考】如图，矩形 ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点 的圆O与边AB、CD分别交于点E、F，给出 下列说法：(1)AC与BD的交点是圆O的圆心； (2)AF与DE的交点是圆O的圆心；(3)BC与圆 O相切，其中正确说法的个数是 (　　) § A．0　 B．1　 § C．2　 D．3 16 C　 17 D　 § 9．如图，⊙ O的半径为3，P是直径CB延长 线上一点，PO＝5，PA切⊙ O于点A，则PA ＝_____. 18 4　 19 10．如图，A、B是⊙ O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝ 120°，那么当∠CAB＝________时，AC与⊙ O相切．60°　 § 11．如图，△ABC的一边AB是⊙ O的直径， 请你添加一个条件，使BC是⊙ O的切线，你 所添加的条件为 ______________________________. 20 ∠ABC＝90°(答案不唯一)　 § 12．如图，已知AB是⊙ O的直径，点C在 ⊙ O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P， 连接AC，若∠A＝30°，PC＝3，则BP的长 为______. 21 § 13．如图，∠APB＝30°，点O是射线PB上 的一点，OP＝5 cm，若将以点O为圆心， 1.5 cm为半径的⊙ O沿BP方向移动，当⊙ O 与直线PA相切时，圆心O移动的距离为 ________cm. 22 2或8　 § 14．【2018·湖南邵阳中考】如图所示，AB 是⊙ O的直径，点C为⊙ O上一点，过点B作 BD⊥CD，垂足为点D，连接BC，BC平分 ∠ABD． § 求证：CD为⊙ O的切线． § 证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝ ∠DBC．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠OCB＝∠DBC， ∴OC∥BD．∵BD⊥CD，∴OC⊥CD， ∴CD为⊙O的切线． 23 § 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O 在AC上，以OA为半径的⊙ O交AB于点D， BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F， 连接DE. § (1)判断直线DE与⊙ O的位置关系，并说明理 由； § (2)若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的 长． 24 § 解：(1)直线DE与⊙O相切．理由如下：连接 OD．∵OD＝OA，∴∠A＝∠ODA．∵EF是 BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝ ∠EDB．∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠ODA＋∠EDB＝90°，∴∠ODE＝ 180°－90°＝90°，∴直线DE与⊙O相 切．　(2)连接OE.设DE＝x，则EB＝ED＝x， CE＝8－x.∵∠C＝∠ODE＝90°，∴OC2 ＋CE2＝OE2＝OD2＋DE2，∴42＋(8－x)2＝ 22＋x2，解得x＝4.75，故DE＝4.75. 25 § 解：(1)直线DE与⊙O相切．理由如下：连接 OD．∵OD＝OA，∴∠A＝∠ODA．∵EF是 BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝ ∠EDB．∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠ODA＋∠EDB＝90°，∴∠ODE＝ 180°－90°＝90°，∴直线DE与⊙O相 切．　(2)连接OE.设DE＝x，则EB＝ED＝x， CE＝8－x.∵∠C＝∠ODE＝90°，∴OC2 ＋CE2＝OE2＝OD2＋DE2，∴42＋(8－x)2＝ 22＋x2，解得x＝4.75，故DE＝4.75. 26