九年级下册数学人教版课件28-1 锐角三角函数（第1课时） 34页

人教版 数学 九年级 下册 鞋跟多高合适 美国人体工程研究学人员调查发现， 当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左 右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到 脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？ 11˚ 导入新知 1. 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与 斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实. 2. 理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法. 素养目标 3. 会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值， 并且能利用正弦求直角三角形的边长. 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管， 在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平 面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长 的水管？ 分析：这个问题可以归 结为，在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠A＝30°， BC＝35m，求AB 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一 半”，即 可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管． A B C 探究新知 知识点 正弦的定义 解： B A C 30° 35m 【思考】在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？ A B C 50m35m B ' C ' AB'＝2B'C' ＝2×50＝100(m). 探究新知 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管 三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 . 1 2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°， 所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得: 因此 . 在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直 角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°， ∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ， 你能得出什么结论？ AB BC A BC 探究新知 , , 探究新知 归纳总结 综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当 ∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一 个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等 于 ，也是一个固定值. 【思考】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它 的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究新知 A B C A' B' C' 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°， ∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下 吗？ BC AB B' C' A' B' 探究新知 因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此 在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值． AB BC A' B' B' C'  BC B' C' AB A'B'  探究新知 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的 对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即 例如，当∠A＝30°时，我们有 ； 2 130sinsin  A 当∠A＝45°时，我们有 . 2 245sinsin  A A B C c a b 对 边 斜边 归纳： 探究新知 ∠A的对边 斜边 sin A = a= c 注意 • sinA是一个完整的符号，它表示∠A 的正弦，记号里习惯省去角的符号 “∠”； • sinA没有单位，它表示一个比值，即 直角三角形中∠A的对边与斜边的比； • sinA不表示“sin”乘“A”. 探究新知 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB 的值． 解：（1）在Rt△ABC中， 534 2222  BCACAB 因此 5 3sin  AB BCA 5 4sin  AB ACB （2）在Rt△ABC中， 13 5sin  AB BCA 12513 2222  BCABAC 因此 13 12sin  AB ACB 探究新知 素养考点 1 利用正弦的定义求有关角的正弦值 A B C 3 4 （1） A B C 13 5（2） 求sinA就是 要确定∠A 的对边与斜 边的比；求 sinB就是要 确定∠B的 对边与斜边 的比., , , , . . 判断对错: A 10m 6m B C (1) （ ） (2) （ ） (3)sin A=0.6m （ ） (4)sin B=0.8 （ ） √ √ × × sin A是一个比值（注意比的顺序），无单位； 2)如图②， （ ） × 巩固练习 AB BCA sin AB BCA sin AB BCB sin A B C 1) 如图① 图① 图② 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍， sinA 的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 C 1 100 巩固练习 例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA . A (3，0) 在Rt△APO中，由勾股定理得 2 2 2 23 4 5.OP OA AP     因此 4sin . 5 AP OP    α 探究新知 素养考点 2 在平面直角坐标系内求锐角的正弦值 探究新知 方法点拨 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值， 一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三 角形，再结合勾股定理求解. A B x y 在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则 sin∠OAB等于____ 4 5 3 4 5 巩固练习 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ， BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积. 1s in 3 A  A B C 提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的 长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后 再利用勾股定理，求出 AC 的长度， 进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积. 素养考点 3 探究新知 利用正弦求直角三角形的边长 ∴ AB = 3BC =3×3=9. 2 2 2 2= 9 3 6 2.AC AB BC   ∴ ∴ 6 2 2 2sin . 9 3 ACB AB    ∴ 1 1= 6 2 3=9 2. 2 2ABCS AC BC   △ 探究新知 A B C 解：∵在 Rt△ABC 中， 1sin 3 ，A 1 3 BC AB ∴ . 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k， sinB = h，AB = c，则 BC = ck，AC = ch. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k， sinB = h，BC=a，则 归纳： 探究新知 A B C aAB k  ， ahAC k  . 8 巩固练习 如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10， ， BC的长是 ． A Ｃ B 5 3sin B 解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾股定理得 即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm. 故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm. 所以 △ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm). 探究新知 素养考点 4 利用方程和正弦求直角三角形中线段的长度 xxxBCABAC 24)7()25( 2222  例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm， ，求这 个三角形的周长． 7sin 25 A  如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, , AC=12. 求sinB的值. 5 13解:在Rt △ABC中, 设AB=13x，BC=5x, 由勾股定理得：(5x)2+122=(13x)2. A B C 12 巩固练习 解得x=1.所以AB=13，BC=5. 13 5sin A 12sin . 13  ACB AB 因此 连接中考 A 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则 sinB=（　　） A． B． C． D． 5 3 5 4 7 3 4 3 A B C 2. 如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称 为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是 _______． 连接中考 5 5 1. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于( ) O x y P (a，b) α A. B. C. D. a b b a 2 2 a a b 2 2 b a b D 课堂检测 基 础 巩 固 题 2. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则 锐角 A 的正弦值 （ ） A. 扩大 2 倍 B.不变 C. 缩小 D. 无法确定 B 1 2 课堂检测 D A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2 课堂检测 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°， ，BC=6，则 AB 的长为 （ ） 3sin 5 A  4. 在△ABC中，∠C=90°，如果 ，AB=6， 那么BC=_____. 1sin 3 A  5. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值 为 . 10 10 课堂检测 解析：∵ ， ， ，20AB 18BC 2AC 10 10 20 2sin  AB ACABC∴ . ∴ AB 2 ＝ BC 2＋AC 2. ∴ ∠ACB＝90°. 如图，在 △ABC中， AB= BC = 5， ，求 △ABC 的面积. D 5 5 C B A 解：作BD⊥AC于点D， 4sin 5 4 5 BD AB A     ，∴ 2 2 2 25 4 3.AD AB BD     又∵ △ABC 为等腰三角形, BD⊥AC, ∴ AC=2AD=6， ∴S△ABC=AC×BD÷2=12. 课堂检测 能 力 提 升 题 5 4sin A 5 4sin A∵ ， 求一个角的正弦值，除了用 定义直接求外，还可以转化 为求和它相等角的正弦值. 　如图, ∠C=90°，CD⊥AB. sinB可以由哪两条线段之比得到? 若AC=5,CD=3,求sinB的值. ┌ A C BD 解: ∵∠B =∠ACD, ∴sinB = sin∠ACD. 在Rt△ACD中, ， 课堂检测 拓 广 探 索 题 435 2222  CDACAD ∴ . 4sin 5 B  5 4sin  AC ADACD∴ , 正弦函数 正弦函数的概念 正弦函数的应用 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 ∠A的对边 斜边sin A = 课堂小结 课后作业 作业 内容 教 材 作 业 从课后习题中选取 自 主 安 排 配套练习册练习