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  • 2021-11-11 发布

2020年湖南省衡阳市中考数学试卷

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湖南省衡阳市 2020 年中考数学试题 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,满分 36 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.-3 相反数是( ) A. 3 B. -3 C. 1 3 D. 1 3  【答案】A 【解析】 【分析】 根据相反数的定义可得答案. 【详解】解: 3 的相反数是3. 故选 A. 【点睛】本题考查的是相反数的定义,掌握相反数的定义是解题的关键. 2.下列各式中,计算正确的是( ) A. 3 2 5a a a  B. 3 2a a a  C.  32 5a a D. 2 3 5a a a  【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类项法则,幂的乘方法则、同底数幂的乘方法则依次判断即可 【详解】A. 3a 和 2a 不是同类项,不能合并,此选项错误; B. 3a 和 2a 不是同类项,不能合并,此选项错误; C. 32 6a a ,此选项错误; D. 2 3 5a a a  ,此选项正确, 故选:D. 【点睛】本题考查同类项合并、同底数幂的乘法、幂的乘方,根据法则计算是解答的关键. 3.2019 年 12 月 12 日,国务院新闻办公室发布,南水北调工程全面通水 5 周年来,直接受益人口超过 1.2 亿 人,其中 1.2 亿用科学记数法表示为( ) A. 81.2 10 B. 71.2 10 C. 91.2 10 D. 81.2 10 【答案】A 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 10 na  的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10 时,n 是正数;当原数的绝 对值<1 时,n 是负数. 【详解】1.2 亿=120000000=1.2×108. 故选:A. 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 10 na  的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 4.下列各式中正确的是( ) A. 2 2   B. 4 2  C. 3 9 3 D. 03 1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的知识对逐项排除即可. 【详解】解:A. 2 2    ,故 A 选项错误; B. 4 2 ,故 B 选项错误; C. 3 27 3 ,故 B 选项错误; D. 03 1 ,故 D 选项正确. 故选:D. 【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的相关知识,掌握这些基础知识是解答本题的 关键. 5.下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据把一个图形绕某一点旋转 180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心 对称图形,这个点叫做对称中心;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图 形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可. 【详解】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误; B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误; C、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确; D、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误; 故选:C. 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠 后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分重合. 6.要使分式 1 1x  有意义,则 x 的取值范围是( ) A. 1x  B. 1x  C. 1x  D. 0x  【答案】B 【解析】 【分析】 根据分式有意义的条件即可解答. 【详解】根据题意可知, 1 0x   ,即 1x  . 故选:B. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件,熟知分式有意义,分母不为 0 是解决问题的关键. 7.如图,在四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,下列条件不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是( ) A. AB∥DC,AB=DC B. AB=DC,AD=BC C. AB∥DC,AD=BC D. OA=OC,OB=OD 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平行四边形的判定方法逐项分析即可. 【详解】A. ∵ AB∥DC,AB=DC,∴四边形 ABCD 是平行四边形; B. ∵ AB=DC,AD=BC,∴四边形 ABCD 是平行四边形; C.等腰梯形 ABCD 满足 AB∥DC,AD=BC,但四边形 ABCD 是平行四边形; D. OA=OC,OB=OD,∴四边形 ABCD 是平行四边形; 故选 C. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定,平行四边形的判定方法有:①两组对边分别平行的四边形是 平行四边形;②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;③两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ④对角线互相平分的四边形是平行四边形;⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 8.下列不是三棱柱展开图的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三棱柱的两底展开是三角形,侧面展开是三个四边形,可得答案. 【详解】解:A、B、D 中间三个长方形能围成三棱柱的侧面,两个三角形围成三棱柱的上、下两底面,故 均能围成三棱柱,均是三棱柱的表面展开图.C 围成三棱柱时,两个三角形重合为同一底面,而另一底面 没有.故 C 不能围成三棱柱. 故选 C. 【点睛】本题考查了几何体的展开图,注意两底面是对面,展开是两个全等的三角形,侧面展开是三个矩 形. 9.不等式组 1 0,        2 1 3 2 x x x      ① ② 的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先解不等式组,然后在数轴上表示出来即可判断. 【详解】解: 1 0       2 1 3 2 x x x      ① ② , 解①得:x≤1, 解②得:x>-2, 则不等式组的解集是:−2<x≤1. 在数轴上表示为: 故选:C. 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集和在数轴上表示解集,分别求出每个不等式的解,根据“同大取 大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了”找出解集.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”, “>”要用空心圆点表示. 10.反比例函数 ky x  经过点 (2,1) ,则下列说法错误..的是( ) A. 2k  B. 函数图象分布在第一、三象限 C. 当 0x  时, y 随 x 的增大而增大 D. 当 0x  时, y 随 x 的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】 将点(2,1)代入 ky x  中求出 k 值,再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可. 【详解】将点(2,1)代入 ky x  中,解得:k=2, A.k=2,此说法正确,不符合题意; B.k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限,此书说法正确,不符合题意; C.k=2﹥0 且 x﹥0,函数图象位于第一象限,且 y 随 x 的增大而减小,此说法错误,符合题意; D.k=2﹥0 且 x﹥0,函数图象位于第一象限,且 y 随 x 的增大而减小,此说法正确,不符合题意; 故选:C. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质,熟练掌握反比例函数的性质,理解函数图象上的点与解析式的关 系是解答的关键. 11.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长 35 米、宽 20 米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一 横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为 600 平方米,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为 x 米,则根 据题意,列方程为( ) A. 235 20 35 20 2 600x x x     B. 35 20 35 2 20 600x x     C. (35 2 )(20 ) 600x x   D. (35 )(20 2 ) 600x x   【答案】C 【解析】 【分析】 把阴影部分分别移到矩形的上边和左边,可得种植面积为一个矩形,根据种植的面积为 600 列出方程即可. 【详解】解:如图,设小道的宽为 xm, 则种植部分的长为 35 2x m ,宽为 20 ,x m 由题意得: (35 2 )(20 ) 600x x   . 故选 C. 【点睛】考查一元二次方程的应用;利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点;得到种植 面积的长与宽是解决本题的关键. 12.如图 1,在平面直角坐标系中, ABCD 在第一象限,且 //BC x 轴.直线 y x 从原点O 出发沿 x 轴正 方向平移.在平移过程中,直线被 ABCD 截得的线段长度 n 与直线在 x 轴上平移的距离 m 的函数图象如 图 2 所示.那么 ABCD 的面积为( ) A. 3 B. 3 2 C. 6 D. 6 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图象可以得到当移动的距离是 4 时,直线经过点 A;当移动距离是 6 时,直线经过 B,在移动距离是 7 时经过 D,则 AD=7-4=3,当直线经过 D 点,设交 BC 与 N.则 DN=2,作 DM⊥AB 于点 M.利用三角函数即 可求得 DM 即平行四边形的高,然后利用平行四边形的面积公式即可求解. 【详解】解:根据图象可以得到当移动的距离是 4 时,直线经过点 A 当移动距离是 6 时,直线经过 B 当移动距离是 7 时经过 D,则 AD=7-4=3 如图:设交 BC 与 N,则 DN=2,作 DM⊥AB 于点 M, ∵移动直线为 y=x ∴∠NDM=45° ∴DM=cos∠NDM·ND= 2 2 22 ´ = ∴ ABCD 的面积为 AD×DM=3× 2 =3 2 . 故答案为 B. 【点睛】本题考查了平移变换、解直角三角形等知识,其中根据平移变换确定 AD的长是解答本题的关键. 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,满分 18 分.) 13.因式分解: 2a a  __________. 【答案】a(a+1) 【解析】 【分析】 提取 a 即可因式分解. 【详解】 2a a  a(a+1) 故填:a(a+1). 【点睛】此题主要考查因式分解,解题的关键是熟知提取公因式法因式分解. 14.计算: 2x x xx    _________. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据分式的四则混合运算法则计算即可. 【详解】解:  2 2 1 1x x x x x x x x xx           . 故答案为 1. 【点睛】本题考查了分式的四则混合运算的法则,掌握分式四则混合运算法则是解答本题的关键. 15.已知一个 n 边形的每一个外角都为 30°,则 n 等于_________. 【答案】12 【解析】 【分析】 根据多边形的外角和是 360°求出多边形的边数即可. 【详解】解:360°÷30°=12. 故答案为 12. 【点睛】本题考查了多边形外角和特征,掌握多边形的外角和为 360°是解答本题的关键. 16.一副三角板如图摆放,且 //AB CD ,则∠1 的度数为_________. 【答案】105 . 【解析】 【分析】 如图,把顶点标注字母,由平行线的性质求解 AEF ,再利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解:如图,把顶点标注字母, // , 45 ,AB CD D  Q 45 ,AEF D     60 ,GAB   1 60 45 105 .GAB AEF           故答案为:105 . 【点睛】本题考查的是平行线的性质,三角形的外角的性质,掌握以上知识是解题的关键. 17.某班有 52 名学生,其中男生人数是女生人数的 2 倍少 17 人,则女生有_________名. 【答案】23 【解析】 【分析】 关系式为:男生人数+女生人数=52,男生人数=2×女生人数-17.把相关数值代入即可求解. 【详解】设男生人数为 x 人,女生人数为 y 人.由此可得方程组 52 2 17 x y x y   = = . 解得, 29 23 x y    所以,男生有 29 人,女生有 23 人, 故答案为:23. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识,解答本题的关键是仔细审题得到等量关系, 根据等量关系建立方程. 18.如图,在平面直角坐标系中,点 1P 的坐标 2 2,2 2       ,将线段 1OP 绕点O 按顺时针方向旋转 45°,再将 其长度伸长为 1OP 的 2 倍,得到线段 2OP ;又将线段 2OP 绕点O 按顺时针方向旋转 45°,长度伸长为 2OP 的 2 倍,得到线段 3OP ;如此下去,得到线段 4OP 、 5OP ,……, nOP( n 为正整数),则点 2020P 的坐标是_________. 【答案】(0,-22019) 【解析】 【分析】 根据题意得出 OP1=1,OP2=2,OP3=4,如此下去,得到线段 OP3=4=22,OP4=8=23…,OPn=2n-1,再利用旋 转角度得出点 P2020 的坐标与点 P4 的坐标在同一直线上,进而得出答案. 【详解】解:∵点 P1 的坐标为 2 2,2 2       ,将线段 OP1 绕点 O 按顺时针方向旋转 45°,再将其长度伸长为 OP1 的 2 倍,得到线段 OP1; ∴OP1=1,OP2=2, ∴OP3=4,如此下去,得到线段 OP4=23,OP5=24…, ∴OPn=2n-1, 由题意可得出线段每旋转 8 次旋转一周, ∵2020÷8=252…4, ∴点 P2020 的坐标与点 P4 的坐标在同一直线上,正好在 y 轴负半轴上, ∴点 P2020 的坐标是(0,-22019). 故答案为:(0,-22019). 【点睛】此题主要考查了点的变化规律,根据题意得出点 P2014 的坐标与点 P6 的坐标在同一直线上是解题关 键. 三、解答题(本大题共 8 个小题,19~20 题每题 6 分,21-24 题每题 8 分,25 题 10 分,26 题 12 分,满分 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19.化简: ( ) ( )( )b a b a b a b    . 【答案】 2a ab 【解析】 【分析】 根据整式的四则混合运算法则以及平方差公式解答即可. 【详解】解: ( ) ( )( )b a b a b a b    = 2 2 2ab b a b   = 2a ab . 【点睛】本题考查了整式的四则混合运算、平方差公式等知识,灵活运用整式的四则混合运算法则是解答 本题的关键. 20.一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的 2 个黑球和 n 个白球,搅匀后从盒子里随机摸出一个球, 摸到白球的概率为 1 3 . (1)求 n 的值; (2)所有球放入盒中,搅匀后随机从中摸出 1 个球,放回搅匀,再随机摸出第 2 个球,求两次摸球摸到一 个白球和一个黑球的概率,请用画树状图或列表的方法进行说明. 【答案】(1)1;(2) 4 9 . 【解析】 【分析】 (1)根据概率公式列方程求解即可; (2)先画出树状图确定所有情况数和所求情况数,然后再运用概率公式求解即可. 【详解】解:(1)由题意得 1 2 3 n n  ,解得 n=1; (2)根据题意画出树状图如下: 所以共有 9 种情况,其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有 4 种情况,则 两次摸球摸到一个白球和一个 黑球的概率 4 9 . 【点睛】本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率,根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答 本题的关键. 21.如图,在 ABC 中, B C   ,过 BC 的中点 D 作 DE AB , DF AC ,垂足分别为点 E 、 F . (1)求证: DE DF ; (2)若 40BDE  ,求 BAC 的度数. 【答案】(1)证明见解析;(2) BAC =80° 【解析】 【分析】 (1)利用已知条件和等腰三角形的性质证明 BDE CDF  ,根据全等三角形的性质即可证明; (2)根据三角形内角和定理得∠B=50°,所以∠C=50°,在△ABC 中利用三角形内角和定理即可求解. 【详解】解:(1)证明:∵点 D 为 BC 的中点, ∴BD=CD, ∵ DE AB , DF AC , ∴∠DEB=∠DFC=90° 在△BDE 和△CDF 中, DEB DFC B C BD CD         ∴  BDE CDF AAS  , ∴ DE DF . (2)∵ 40BDE   ∴∠B=180°-(∠BDE+∠BED)=50°, ∴∠C=50°, 在△ABC 中, BAC =180°-(∠B+∠C)=80°, 故 BAC =80°. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理,熟练掌握等腰三角 形的性质并灵活应用是解题的关键. 22.病毒虽无情,人间有大爱.2020 年,在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中,全国(除湖北省外)共有 30 个省(区、市)及军队的医务人员在党中央全面部署下,白衣执甲,前赴后继支援湖北省.全国 30 个省(区、 市)各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图(不完整)和扇形统计图如下:(数据分成 6 组: 100 500x  ,500 900x  , 900 1300x  ,1300 1700x  ,1700 2100x  , 2100 2500x  .) 根据以上信息回答问题: (1)补全频数分布直方图. (2)求扇形统计图中派出人数大于等于 100 小于 500 所占圆心角度数. 据新华网报道在支援湖北省的医务人员大军中,有“90 后”也有“00 后”,他们是青春的力量,时代的脊梁.小 华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90 后”医务人员的数据: C 市派出的 1614 名医护人员中有 404 人是“90 后”; H 市派出的 338 名医护人员中有 103 人是“90 后”; B 市某医院派出的 148 名医护人员中有 83 人是“90 后”. (3)请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员(按 4.2 万人计)中,“90 后”大约有 多少万人?(写出计算过程,结果精确到 0.1 万人) 【答案】(1)补图见解析;(2)36 ;(3)1.2 万人. 【解析】 【分析】 (1)根据总数等于各组频数之和即可求出“1300 1700x  ”组得频数,进而补全频数分布直方图; (2)由频数直方图可得“100 500x  ”的频数为 3,再将 360°乘以该组所占比例即可; (3)根据样本估计总体,可得到 90 后”大约有 1.2 万人. 【详解】解:(1)“1300 1700x  ”组得频数为:30-3-10-10-2-1=4, 补全频数分布直方图如图. (2)由频数直方图可知支援武汉的医务人员在“100 500x  ”之间的有 3 个, 所占百分比为: 3 100% 10%30   , 故其所占圆心角度数=360 10% 36   . (3)支援湖北省的全体医务人员“90 后”大约有 404 103 834.2 100% 1.18 1.21614 338 148       (万人), 故:支援湖北省的全体医务人员“90 后”大约有 1.万人. 【点睛】本题考查了频数(率)分布直方图和扇形统计图的综合运用及样本估计总体.读懂统计图,从不 同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.频数分布直方图可以清楚地看出落在各组的频数,各组 的频数和等于总数. 23.小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上,当是示屏的边缘线 OB 与底板的边缘线OA所在水平线的夹 角为 120°时,感觉最舒适(如图①).侧面示意图为图②;使用时为了散热,他在底板下面垫入散热架,如 图③,点 B 、O 、C 在同一直线上, 24cmOA OB  , BC AC , 30OAC   . (1)求OC 的长; (2)如图④,垫入散热架后,要使显示屏的边缘线 OB 与水平线的夹角仍保持 120°,求点 B到 AC 的距 离.(结果保留根号) 【答案】(1)12cm;(2)点 B到 AC 的距离为(12+12 3 )cm. 【解析】 【分析】 (1)在 Rt△AOC 中,由 30 度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可; (2)过点 O 作 OM∥AC,过点 B′作 B′E⊥AC 交 AC 的延长线于点 E,交 OM 于点 D,B′E 即为点 B到 AC 的距离,根据题意求出∠OB′D=30°,四边形 OCED 为矩形,根据 B′E=B′D+DE 求解即可. 【详解】解:(1)∵ 24cmOA  , BC AC , 30OAC   ∴ 1 122OC OA cm  . 即 OC 的长度为 12cm. (2)如图,过点 O 作 OM∥AC,过点 B′作 B′E⊥AC 交 AC 的延长线于点 E,交 OM 于点 D,B′E 即为点 B 到 AC 的距离, ∵OM∥AC,B′E⊥AC, ∴B′E⊥OD, ∵MN∥AC, ∴∠NOA=∠OAC=30°, ∵∠AOB=120°, ∴∠NOB=90°, ∵∠NOB′=120°, ∴∠BOB′=120°-90°=30°, ∵BC⊥AC,B′E⊥AE,MN∥AE, ∴BC∥B′E,四边形 OCED 为矩形, ∴∠OB′D=∠BOB′=30°,DE=OC=12cm, 在 Rt△B′OD 中,∵∠OB′D=30°,B′O=BO=24cm, ∴ B'D 3cos OB'D= =B'O 2 ∠ B′D= 12 3cm , B′E=B′D+DE=  12 3 12 cm , 答:点 B到 AC 的距离为 12 3 12 cm . 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质和直角三角形中 30 度角所对的直角边长度是斜 边的一半,解题的关键是灵活应用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 24.如图,在 ABC 中, 90C   ,AD 平分 BAC 交 BC 于点 D ,过点 A 和点 D 的圆,圆心O 在线段 AB 上, O 交 AB 于点 E ,交 AC 于点 F . (1)判断 BC 与 O 的位置关系,并说明理由; (2)若 8AD  , 10AE  ,求 BD 的长. 【答案】(1) BC 与 O 相切.证明见解析;(2)120.7 【解析】 【分析】 (1)利用角平分线的定义证明 ,OAD CAD   结合等腰三角形的性质证明 ,ODA CAD   从而证明 / / ,OD AC 结合 90C   可得答案; (2)连接 DE ,先利用勾股定理求解 DE 的长,再证明 ,BDE BAD ∽ 利用相似三角形的性质列方程组 求解即可得到答案. 【详解】解:(1) BC 与 O 相切. 理由如下: 如图,连接 OD , AD 平分 BAC , ,OAD CAD   ,OA ODQ ,ODA OAD   ,ODA CAD   / / ,OD AC 90 ,C   90 ,ODB C     DQ 在 O 上, BC 是 O 的切线. (2)连接 ,DE AE∵ 为 O 的直径, 90 ,ADE   8AD  , 10AE  , 2 2 6,DE AE AD    90 ,ODB ADE     90 ,BDE ODE ADO ODE         ,BDE ADO   ,OD OA ,ADO DAO   ,BDE DAO   ,B B   ,BDE BAD ∽ ,BD DE BE BA AD BD    6 ,10 8 BD BE BE BD     2 6 8 ,10 BD BE BD BE BE    解得: 120.7BD  所以: BD 的长为:120.7 【点睛】本题考查的切线的判定与性质,圆的基本性质,圆周角定理,三角形相似的判定与性质,勾股定 理的应用,掌握以上知识是解题的关键. 25.在平面直角坐标系 xOy 中,关于 x 的二次函数 2y x px q  的图象过点 ( 1,0) , (2,0) . (1)求这个二次函数的表达式; (2)求当 2 1x   时, y 的最大值与最小值的差; (3)一次函数 (2 ) 2y m x m    的图象与二次函数 2y x px q  的图象交点的横坐标分别是 a 和b , 且 3a b  ,求 m 的取值范围. 【答案】(1) 2y x x 2   ;(2) 25 4 ;(3) 1m  . 【解析】 【分析】 (1)利用待定系数法将点 ( 1,0) , (2,0) 代入解析式中解方程组即可; (2)根据(1)中函数关系式得到对称轴 1 2x  ,从而知在 2 1x   中,当 x=-2 时,y 有最大值,当 1 2x  时,y 有最小值,求之相减即可; (3)根据两函数相交可得出 x 与 m 的函数关系式,根据有两个交点可得出  >0,根据根与系数的关系可 得出 a,b 的值,然后根据 3a b  ,整理得出 m 的取值范围. 【详解】解:(1)∵ 2y x px q  的图象过点 ( 1,0) , (2,0) , ∴ 1 0 4 2 0 p q p q        解得 1 2 p q      ∴ 2y x x 2   (2)由(1)得,二次函数对称轴为 1 2x  ∴当 2 1x   时,y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4, y 的最小值为 21 1 922 2 4         ∴ y 的最大值与最小值的差为 9 254 4 4       ; (3)由题意及(1)得   2 2 2 2 y m x m y x x          整理得    2 3 4 0x m x m     即  ( 1) 4 0x x m      ∵一次函数 (2 ) 2y m x m    的图象与二次函数 2y x px q  的图象交点的横坐标分别是 a 和b , ∴    23 4 4 0m m      化简得 2 10 25 0m m   即 25 0m   解得 m≠5 ∴a,b 为方程  ( 1) 4 0x x m      的两个解 又∵ 3a b  ∴a=-1,b=4-m 即 4-m>3 ∴m<1 综上所述,m 的取值范围为 1m  . 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象的性质,根与系数的关系等知识.解 题的关键是熟记二次函数图象的性质. 26.如图 1,平面直角坐标系 xOy 中,等腰 ABC 的底边 BC 在 x 轴上, 8BC  ,顶点 A 在 y 的正半轴上, 2OA  ,一动点 E 从 (3,0) 出发,以每秒 1 个单位的速度沿CB 向左运动,到达OB 的中点停止.另一动 点 F 从点C 出发,以相同的速度沿 CB 向左运动,到达点O 停止.已知点 E 、 F 同时出发,以 EF 为边作 正方形 EFGH ,使正方形 EFGH 和 ABC 在 BC 的同侧.设运动的时间为 t 秒( 0t  ). (1)当点 H 落在 AC 边上时,求 t 的值; (2)设正方形 EFGH 与 ABC 重叠面积为 S ,请问是存在 t 值,使得 91 36S  ?若存在,求出t 值;若不 存在,请说明理由; (3)如图 2,取 AC 的中点 D ,连结 OD ,当点 E 、 F 开始运动时,点 M 从点O 出发,以每秒 2 5 个单 位的速度沿OD DC CD DO   运动,到达点O 停止运动.请问在点 E 的整个运动过程中,点 M 可能在 正方形 EFGH 内(含边界)吗?如果可能,求出点 M 在正方形 EFGH 内(含边界)的时长;若不可能, 请说明理由. 【答案】(1)t=1;(2)存在, 14 3t  ,理由见解析;(3)可能, 3 5 ≤t≤1 或 t=4,理由见解析 【解析】 【分析】 (1)用待定系数法求出直线 AC 的解析式,根据题意用 t 表示出点 H 的坐标,代入求解即可; (2)根据已知,当点 F 运动到点 O 停止运动前,重叠最大面积是边长为 1 的正方形的面积,即不存在 t, 使重叠面积为 91 36S  ,故 t﹥4,用待定系数法求出直线 AB 的解析式,求出点 H 落在 BC 边上时的 t 值,求 出此时重叠面积为 16 9 ﹤ 91 36 ,进一步求出重叠面积关于 t 的表达式,代入解 t 的方程即可解得 t 值; (3)由已知求得点 D(2,1),AC= 2 5 ,OD=OC=OA= 5 ,再求出 OC 解析式,结合图形分情况讨论即 可得出符合条件的时长. 【详解】(1)由题意,A(0,2),B(-4,0),C(4,0), 设直线 AC 的函数解析式为 y=kx+b, 将点 A、C 坐标代入,得: 4 0 2 k b b     ,解得: 1 2 2 k b      , ∴直线 AC 的函数解析式为 1 22y x   , 当点 H 落在 AC 边上时,点 E(3-t,0),点 H(3-t,1), 将点 H 代入 1 22y x   ,得: 11 (3 ) 22 t    ,解得:t=1; (2)存在, 14 3t  ,使得 91 36S  . 根据已知,当点 F 运动到点 O 停止运动前,重叠最大面积是边长为 1 的正方形的面积,即不存在 t,使重叠 面积为 91 36S  ,故 t﹥4, 设直线 AB 的函数解析式为 y=mx+n, 将点 A、B 坐标代入,得: 4 0 2 m n n      ,解得: 1 2 2 m n     , ∴直线 AC 的函数解析式为 1 22y x  , 当 t﹥4 时,点 E(3-t,0)点 H(3-t,t-3),G(0,t-3), 当点 H 落在 AB 边上时,将点 H 代入 1 22y x  ,得: 13 (3 ) 22t t    ,解得: 13 3t  ; 此时重叠的面积为 2 213 16( 3) ( 3)3 9t     , ∵ 16 9 ﹤ 91 36 ,∴13 3 ﹤t﹤5, 如图 1,设 GH 交 AB 于 S,EH 交 AB 于 T, 将 y=t-3 代入 1 22y x  得: 13 22t x   , 解得:x=2t-10, ∴点 S(2t-10,t-3), 将 x=3-t 代入 1 22y x  得: 1 1(3 ) 2 (7 )2 2y t t     , ∴点 T 1(3 , (7 ))2t t  , ∴AG=5-t,SG=10-2t,BE=7-t,ET= 1 (7 )2 t , 21 1 (7 )2 4BETS BE ET t     , 21 (5 )2ASGS AG SG t     所以重叠面积 S= AOB BET ASGS S S    =4- 21 (7 )4 t - 2(5 )t = 25 27 133 4 2 4t t   , 由 25 27 133 4 2 4t t   = 91 36 得: 1 14 3t  , 2 92 15t  ﹥5(舍去), ∴ 14 3t  ; (3)可能, 3 5 ≤t≤1 或 t=4. ∵点 D 为 AC 的中点,且 OA=2,OC=4, ∴点 D(2,1),AC= 2 5 ,OD=OC=OA= 5 , 易求得 OD 的解析式为 1 2y x , 当 0﹤t﹤1 时,如图 2,设点 M 为 EH 与 OD 的交点,由题意,OM= 2 5t , 将 x=3-t 代入 1 2y x 中得: 1 (3 )2y t  , ∴OE=3-t,EM= 1 (3 )2 t , 由勾股定理得: 2 2 2OE EM OM  即 2 2 21(3 ) (3 ) (2 5 )4t t t    , 解得:t  3 5 , 当 t=1 时,由(1)知,点 M 与点 H 都运动到 D 点处,符合题意; ∴当 3 5 ≤t≤1 时,点 M 可能在正方形 EFGH 内(含边界), ,当 1﹤t﹤4 时,点 M 不可能在正方形 EFGH 内(含边界), 当 t=4 时,点 M 运动返回到点 O 处,此时点 F 也运动到点 O 处,符合题意, 综上,当 3 5 ≤t≤1 或 t=4 时,点 M 可能在正方形 EFGH 内(含边界). 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合,涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形 的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识,解答的关键是认真审题,提取相关信息,利用待定 系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路,进而推理、探究、发现和计算.