2021年中考数学专题复习 专题18 等腰、等边三角形问题（教师版含解析） 22页

专题 18 等腰、等边三角形问题 一、等腰三角形 1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶 角，底边和腰的夹角叫底角. 2.等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)． 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”)． 3.等腰三角形的性质的作用 性质 1 证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质 2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 4.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 5.等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”). 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的 相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 二、等边三角形 1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形． 2. 性质 性质 1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°； 性质 2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。 3.判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形； (3)有两个角是 60°的三角形是等边三角形。 三、解题方法要领 1.等腰(边)三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在 等腰(边)三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰(边)三角形，然后利用其 定义和有关性质，快捷地证出结论。 2.常用的辅助线有：(1)作顶角的平分线、底边上的高线、中线。(2)在三角形的中线问 题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。 3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边 或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。 【例题 1】(2020•临沂)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝( ) A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】D 【解析】根据等腰三角形的性质可求∠ACB，再根据平行线的性质可求∠BCD． ∵在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ACB＝70°， ∵CD∥AB， ∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°， ∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°． 【对点练习】如 图 所 示 ， 点 D 是 △ ABC 的 边 AC 上 一 点 (不 含 端 点 )， AD=BD， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( ) A． AC＞ BC B． AC=BC C． ∠ A＞ ∠ ABC D． ∠ A=∠ ABC 【答案】A 【解析】本 题 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 性 质 ：等 腰 三 角 形 的 两 腰 相 等 ；等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角 相 等 ； 等 腰 三 角 形 的 顶 角 平 分 线 、 底 边 上 的 中 线 、 底 边 上 的 高 相 互 重 合 ． 根 据 等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角 相 等 ， 由 AD=BD 得 到 ∠ A=∠ ABD， 所 以 ∠ ABC＞ ∠ A， 则 对 各 C、 D 选 项 进 行 判 断 ； 根 据 大 边 对 大 角 可 对 A、 B 进 行 判 断 ． ∵ AD=BD， ∴ ∠ A=∠ ABD， ∴ ∠ ABC＞ ∠ A， 所 以 C 选 项 和 D 选 项 错 误 ； ∴ AC＞ BC， 所 以 A 选 项 正 确 ； B 选 项 错 误 ． 【例题 2】(2020•宁波)△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形 ABC 内．若求五边形 DECHF 的周长，则只需知道( ) A．△ABC 的周长 B．△AFH 的周长 C．四边形 FBGH 的周长 D．四边形 ADEC 的周长 【答案】A 【解析】证明△AFH≌△CHG(AAS)，得出 AF＝CH．由题意可知 BE＝FH，则得出五边形 DECHF 的周长 ＝AB+BC，则可得出答案． ∵△GFH 为等边三角形， ∴FH＝GH，∠FHG＝60°， ∴∠AHF+∠GHC＝120°， ∵△ABC 为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°， ∴∠GHC+∠HGC＝120°， ∴∠AHF＝∠HGC， ∴△AFH≌△CHG(AAS)， ∴AF＝CH． ∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形， ∴BE＝FH， ∴五边形 DECHF 的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF， ＝(BD+DF+AF)+(CE+BE)， ＝AB+BC． ∴只需知道△ABC 的周长即可． 【对点练习】如图所示，在等边三角形 ABC 的边 BC、AC 上分别取点 D、E，使 BD=CE，AD 与 BE 相交于 点 P．则∠APE 的度数为 °． 【答案】60 【解析】根据 BD=CE 可得 CD=AE，即可证明△ACD≌△BAE，得∠CAD=∠ABE，再根据内角和为 180°的 性质即可解题。 ∵BD=CE， ∴BC﹣BD=AC﹣CE， 即 CD=AE， 在△ACD 与△BAE 中， ， ∴△ACD≌△BAE(SAS)， ∴∠CAD=∠ABE， ∵∠CAD+∠APE+∠AEB=180°， ∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°， ∴∠APE=∠BAE=60° 【例题 3】(2020•台州)如图，已知 AB＝AC，AD＝AE，BD 和 CE 相交于点 O． (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)判断△BOC 的形状，并说明理由． 【答案】见解析。 【分析】(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE； (2)由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠ OCB，可得 BO＝CO，即可得结论． 【解答】证明：(1)∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)； (2)△BOC 是等腰三角形， 理由如下： ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴BO＝CO， ∴△BOC 是等腰三角形． 【对点练习】如图，已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与 BD 交于点 O，AC=BD.求证： (1)BC=AD； (2)△OAB 是等腰三角形. 【答案】见解析。 【解析】证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠D=∠C=90°. 在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中， AB BA AC BD      ， ， ∴△ACB≌△BDA(HL). ∴BC=AD. (2)由△ACB≌△BDA，得∠CAB=∠DBA， ∴△OAB 是等腰三角形. 【对点练习】已知：在△ABC 中，AB=AC，D 为 AC 的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点 E，F， 且 DE=DF．求证：△ABC 是等边三角形． 【答案】见解析。 【解析】只要证明 Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出 BA=BC，又 AB=AC，即可推出 AB=BC=AC； 证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点 E，F， ∴∠AED=∠CFD=90°， ∵D 为 AC 的中点， ∴AD=DC， 在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF， ∴∠A=∠C， ∴BA=BC，∵AB=AC， ∴AB=BC=AC， ∴△ABC 是等边三角形． 【对点练习】如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC． (1)求∠ECD 的度数；(2)若 CE=5，求 BC 长． 【答案】(1)∠ECD 的度数是 36°； (2)BC 长是 5． 【解析】(1)∵DE 垂直平分 AC ∴CE=AE， ∴∠ECD=∠A=36° (2)∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°， ∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°， ∴∠BEC=∠B， ∴BC=EC=5． 一、选择题 1．(2020•聊城)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝65°，点 D 是 BC 边上任意一点，过点 D 作 DF∥AB 交 AC 于点 E，则∠FEC 的度数是( ) A．120° B．130° C．145° D．150° 【答案】B 【解析】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝65°，由平行线的性质得出∠CDE＝∠B＝65°，再由三角形 的外角性质即可得出答案． ∵AB＝AC，∠C＝65°， ∴∠B＝∠C＝65°， ∵DF∥AB， ∴∠CDE＝∠B＝65°， ∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°. 2．(2020•南充)如图，在等腰△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则 CD ＝( ) A． Ro B． ㈠o C．a﹣b D．b﹣a 【答案】C 【解析】根据等腰三角形的性质和判定得出 BD＝BC＝AD，进而解答即可． ∵在等腰△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°， ∴∠ABD＝36°＝∠A， ∴BD＝AD， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C， ∴BD＝BC， ∵AB＝AC＝a，BC＝b， ∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b 3．(2020•徐州)如图，AB 是 ⊙ O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，OC⊥OA，OC 交 AB 于点 P．若∠BPC＝ 70°，则∠ABC 的度数等于( ) A．75° B．70° C．65° D．60° 【答案】B 【解析】先利用对顶角相等和互余得到∠A＝20°，再利用等腰三角形的性质得到∠OBA＝∠A＝20°，然 后根据切线的性质得到 OB⊥BC，从而利用互余计算出∠ABC 的度数． ∵OC⊥OA，∴∠AOC＝90°， ∵∠APO＝∠BPC＝70°，∴∠A＝90°﹣70°＝20°， ∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠A＝20°， ∵BC 为 ⊙ O 的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°． 4.已 知 等 边 三 角 形 的 边 长 为 3，点 P 为 等 边 三 角 形 内 任 意 一 点 ，则 点 P 到 三 边 的 距 离 之 和 为 ( ) A． B． C． D． 不 能 确 定 【答案】B 【解析】本 题 考 查 了 等 边 三 角 形 的 性 质 ，根 据 三 角 形 的 面 积 求 点 P 到 三 边 的 距 离 之 和 等 于 等 边 三 角 形 的 高 是 解 题 的 关 键 ， 作 出 图 形 更 形 象 直 观 ． 作 出 图 形 ， 根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 求 出 高 AH 的 长 ， 再 根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 求 出 点 P 到 三 边 的 距 离 之 和 等 于 高 线 的 长 度 ， 从 而 得 解 ． 如 图 ， ∵ 等 边 三 角 形 的 边 长 为 3， ∴ 高 线 AH=3× = ， S △ A B C = B C• AH= AB• PD+ BC• PE+ AC• PF， ∴ × 3• AH= × 3• PD+ × 3• PE+ × 3• PF， ∴ PD+PE+PF=AH= ， 即 点 P 到 三 角 形 三 边 距 离 之 和 为 ． 5.(2019•浙江衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能 三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点固 定，OC=CD=DE，点 D，E 可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE 的度数是( ) A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】D 【解析】考点是三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质。 ∵OC=CD=DE， ∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC， 设∠O=∠ODC=x， ∴∠DCE=∠DEC=2x， ∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x， ∵∠BDE=75°， ∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°， 即 x+180°-4x+75°=180°， 解得：x=25°， ∠CDE=180°-4x=80°. 6.(2019•湖南长沙)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长 为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠CAD 的度数是( ) A．20°B．30°C．45° D．60° 【答案】B 【解析】在△ABC 中，∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， 由作图可知 MN 为 AB 的中垂线， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30° 二、填空题 7．(2020•台州)如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为 6，E，F 是边 BC 上的三等分点．分别过点 E，F 沿着 平行于 BA，CA 方向各剪一刀，则剪下的△DEF 的周长是 ． 【答案】6 【解析】根据三等分点的定义可求 EF 的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解． ∵等边三角形纸片 ABC 的边长为 6，E，F 是边 BC 上的三等分点， ∴EF＝2， ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴△DEF 是等边三角形， ∴剪下的△DEF 的周长是 2×3＝6． 8．(2020•牡丹江)如图，在 Rt△ABC 中，CA＝CB，M 是 AB 的中点，点 D 在 BM 上，AE⊥CD，BF⊥CD， 垂足分别为 E，F，连接 EM．则下列结论中： ① BF＝CE； ② ∠AEM＝∠DEM； ③ AE﹣CE ME； ④ DE2+DF2＝2DM2； ⑤ 若 AE 平分∠BAC，则 EF：BF ：1； ⑥ CF•DM＝BM•DE， 正确的有 ．(只填序号) 【解析】 ①②③④⑤⑥ ． 【分析】证明△BCF≌△CAE，得到 BF＝CE，可判断 ① ；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF 为等 腰直角三角形，得到 EF EM，可判断 ③ ，同时得到∠MEF＝∠MFE＝45°，可判断 ② ；再证明△DFM ≌△NEM，得到△DMN 为等腰直角三角形，得到 DN ，DM，可判断 ④ ；根据角平分线的定义可逐步 推断出 DE＝EM，再证明△ADE≌△ACE，得到 DE＝CE，则有 ，从而判断 ⑤ ；最后证明△CDM∽ADE，得到 ，结合 BM＝CM，AE＝CF，可判断 ⑥ ． 【解析】∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠ACE＝90°， ∵∠BCF+∠CBF＝90°， ∴∠ACE＝∠CBF， 又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC， ∴△BCF≌△CAE(AAS)， ∴BF＝CE，故 ① 正确； 由全等可得：AE＝CF，BF＝CE， ∴AE﹣CE＝CF＝CE＝EF， 连接 FM，CM， ∵点 M 是 AB 中点， ∴CM AB＝BM＝AM，CM⊥AB， 在△BDF 和△CDM 中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM， ∴∠DBF＝∠DCM， 又 BM＝CM，BF＝CE， ∴△BFM≌△CEM(SAS)， ∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME， ∵∠BMC＝90°， ∴∠EMF＝90°，即△EMF 为等腰直角三角形， ∴EF EM＝AE﹣CE，故 ③ 正确，∠MEF＝∠MFE＝45°， ∵∠AEC＝90°， ∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故 ② 正确， 设 AE 与 CM 交于点 N，连接 DN， ∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°， ∴△DFM≌△NEM(ASA)， ∴DF＝EN，DM＝MN， ∴△DMN 为等腰直角三角形， ∴DN DM，而∠DEA＝90°， ∴DE2+DF2＝DN2＝2DM2，故 ④ 正确； ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝45°， ∵AE 平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∠ADE＝67.5°， ∵∠DEM＝45°， ∴∠EMD＝67.5°，即 DE＝EM， ∵AE＝AE，∠AED＝∠AEC，∠DAE＝∠CAE， ∴△ADE≌△ACE(ASA)， ∴DE＝CE， ∵△MEF 为等腰直角三角形， ∴EF EM， ∴ ，故 ⑤ 正确； ∵∠CDM＝∠ADE，∠CMD＝∠AED＝90°， ∴△CDM∽ADE， ∴ ， ∵BM＝CM，AE＝CF， ∴ ， ∴CF•DM＝BM•DE，故 ⑥ 正确。 9．如图所示，D 是等边△ABC 的 AC 边上的中点，点 E 在 BC 的延长线上，DE=DB，△ABC 的周长是 9，则 ∠E= °，CE= ． 【答案】30； 【解析】由△ABC 为等边三角形，且 BD 为边 AC 的中线，根据“三线合一”得到 BD 平分∠ABC，而∠ABC 为 60°，得到∠DBE 为 30°，又因为 DE=DB，根据等边对等角得到∠E 与∠DBE 相等，故∠E 也为 30°； 由等边三角形的三边相等且周长为 9，求出 AC 的长为 3，且∠ACB 为 60°，根据∠ACB 为△DCE 的外角， 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出∠CDE 也为 30°，根据等角对等边得到 CD=CE， 都等于边长 AC 的一半，从而求出 CE 的值 解：∵△ABC 为等边三角形，D 为 AC 边上的中点， ∴BD 为∠ABC 的平分线，且∠ABC=60°， 即∠DBE=30°，又 DE=DB， ∴∠E=∠DBE=30°， ∵等边△ABC 的周长为 9，∴AC=3，且∠ACB=60°， ∴∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，即∠CDE=∠E， ∴CD=CE= AC= ． 10.(2019 黑龙江绥化)如图,在△ABC 中,AB＝AC,点 D 在 AC 上,且 BD＝BC＝AD,则∠A＝______度. 【答案】16 【解析】∵BD＝AD,设∠A＝∠ABD＝x,∴∠BDC＝2x,∵BD＝BC,∴∠C＝∠BDC＝2x,∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠C ＝2x,∴x+2x+2x＝180°,∴x＝36°. 三、解答题 11．(2020•绍兴)问题：如图，在△ABD 中，BA＝BD．在 BD 的延长线上取点 E，C，作△AEC，使 EA＝EC．若 ∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC 的度数． 答案：∠DAC＝45°． 思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗？ 说明理由． (2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条 件不变，求∠DAC 的度数． 【答案】见解析。 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠AED＝2∠C， ① 求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣(45°+∠C) ＝45°﹣∠C， ② 由 ① ， ② 即可得到结论； (2)设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解析】(1)∠DAC 的度数不会改变； ∵EA＝EC， ∴∠AED＝2∠C， ① ∵∠BAE＝90°， ∴∠BAD [180°﹣(90°﹣2∠C)]＝45°+∠C， ∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣(45°+∠C)＝45°﹣∠C， ② 由 ① ， ② 得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°； (2)设∠ABC＝m°， 则∠BAD (180°﹣m°)＝90° ㈠ m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°， ∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90° R m°， ∵EA＝EC， ∴∠CAE AEB＝90° ㈠ n° ㈠ m°， ∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90° R m°+90° ㈠ n° ㈠ m° n°． 12．(2020•凉山州)如图，点 P、Q 分别是等边△ABC 边 AB、BC 上的动点(端点除外)，点 P、点 Q 以相同的 速度，同时从点 A、点 B 出发． (1)如图 1，连接 AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP； (2)如图 1，当点 P、Q 分别在 AB、BC 边上运动时，AQ、CP 相交于点 M，∠QMC 的大小是否变化？若变 化，请说明理由；若不变，求出它的度数； (3)如图 2，当点 P、Q 在 AB、BC 的延长线上运动时，直线 AQ、CP 相交于 M，∠QMC 的大小是否变化？ 若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 【答案】见解析。 【分析】(1)根据等边三角形的性质，利用 SAS 证明△ABQ≌△CAP 即可； (2)先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°； (3)先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°． 【解析】(1)证明：如图 1，∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA， 又∵点 P、Q 运动速度相同， ∴AP＝BQ， 在△ABQ 与△CAP 中， 䁡 ᦙ ᦙ 䁡 ， ∴△ABQ≌△CAP(SAS)； (2)点 P、Q 在 AB、BC 边上运动的过程中，∠QMC 不变． 理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∵∠QMC 是△ACM 的外角， ∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC ∵∠BAC＝60°， ∴∠QMC＝60°； (3)如图 2，点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动时，∠QMC 不变 理由：同理可得，△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∵∠QMC 是△APM 的外角， ∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM， ∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°， 即若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，∠QMC 的度数为 120°．