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- 2021-11-11 发布
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第五节 小船过河问题初探
一、船速与船相对于水的速度
小船过河问题,涉及三个速度:河水的流速 v水 、船相对于水的速度 v船 、船相对地面
的速度 v ,现对三个速度理解如下:
(1)船在静止的河水中,如果船关闭发动机或者人不划桨,则船没有动力,船将静止在
水中,相对于水静止,对地也静止。
(2)船在流动的河水中,如果船关闭发动机或者人不划桨,则船没有动力,船将顺水漂
流,相对于水静止,对地速度等于水速。
(3)船在流动的河水中,如果船开动发动机或者人划桨,则船将相对于水运动,船对地
速度 v 与水速 v水 、船相对于水的速度 v船 的关系如图 3.83 所示。其中,
船相对于水的速度 v船 也就是船在静水中的速度,只与船本身有关,v船
的方向总是沿着船头所指的方向。
例 1 如图 3.84 所示,河两岸相互平行,水流速度恒定不变,船行驶时相对水的速度大
小始终不变。一开始船从岸边 A 点出发,船身始终垂直河岸,船
恰好沿 AB 航线到达对岸 B 点耗时为 1t ,AB 与河岸的夹角为 60
调整船速方向,从 B 点出发沿直线 BA 返航回到 A 点耗时 2t ,则
1 2:t t 为( )。
A.1:1 B.1:2
C.1:3 D.1:4
分析与解 由 A 点出发时,船身始终垂直河岸,即船相对水的速度 v船 垂直于河岸,船
相对地面的速度 1v 沿着 AB 方向,画出 v水 , v船 , 1v 所围成的三角形如图 3.85 所示,可知
3v v船 水 , 1 2v v 水 ,则 1
1 2
AB ABs st v v
水
。当船由 B 点返回时,其对地速度 2v 沿着 BA 方
向,v水 ,v船 , 2v 围成的三角形如图 3.85 所示,因为 v水 与 2v 夹角为120 ,且 3v v船 水 ,
可知这一个等腰三角形,即 2v v 水 ,因此 2
2
AB ABs st v v
水
,可得 1 2: 1: 2t t ,本题正确选
项为 B。
实际上,我们也可以将船在静水中的速度 v船 沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解。
如图3.86所示,设船与河岸夹角为 , v水 为水流速度,则 cosv v 船 水 为船实际上沿水流
方向的运动速度, sinv 船 为船垂直于河岸方向的运动速度。
二、小船过河的两个典型问题
1.过河时间最短问题
渡 河 时 间 只 取 决 于 在 垂 直 河 岸 方 向 上 的 船 速 , 即
sin
dt v
船
,当 90 时,渡河时间最短, min
dt v
船
,此时
船头应正对着对岸前进,如图 3.87 所示。船沿河岸方向前进的距
离为 min
v ds v t v
水
水
船
。
2.渡河距离最短问题
河宽 d 是所有渡河距离中最短的,但是否在任何情况下渡河距离最短的一定是河宽 d
呢?下面就这个问题进行如下分析:
要使渡河距离最小为河宽 d ,只有使船对地面的速度垂直河岸,如图 3.88 所示,则
cosv v 船 水 ,cos v
v
水
船
,因为 cos 1 ,因此只有 v v船 水 ,
小船才能够垂直河岸渡河,此时渡河的最短距离为河宽 d ,渡河
时间 = sin
d dt v v
船对地 船
。
由以上分析可知,当 v v船 水 时,小船将不能垂直河岸渡河,但此时仍存在最小的渡河
距离。要使得渡河距离最小,应该让小船相对地面的速度 v船对地 与河岸的夹角尽量大,可以
用以下方法求解最小渡河距离:以水流速度 v水 的末端为圆心,以小船在静水中的速度 v船 的
大小为半径作圆,过速度的起点作该圆的切线,此时
让船速与过切点的半径平行,如图 3.89 所示,从而小
船实际运动的速度(对地速度 v船对地 对)与河岸方向的
夹角最大,即 v船 与 v船对地 垂直时,小船渡河距离最短。
由相似三角形知识可得 vs
d v
水
船
,解得 v ds v
水
船
,船与河岸的夹角 满足 cos v
v
船
水
。
渡河时间仍可以采用上面的方法求得:
sin
s dt v v
船对地 船
。
例2 某河流河道笔直,河宽为 100md ,水流速度为 3m / sv 水 ,船在静水中的速
度是 4m / sv 船 ,求:
(1)欲使船渡河时间最短,船应怎样渡河?最短时间是多少?船沿着河岸运动的距离为
多少?船实际通过的距离为多少?
(2)欲使船航行距离最短,船应怎样渡河?渡河时间为多长?
(3)如果水速增为 6m / s ,则如何渡河船通过的距离最短?最短距离为多少?
分析与解 (1)当船头正对着对岸航行时,船渡河时间最短,此时 v船 与河岸垂直,如图
3.90(a)所示,则最短的渡河时间 min
100= s 25s4
dt v
船
,船沿着河岸移动的距离 s 与水流
速度 v水 有关, min 3 25m 75ms v t 水 ,船实际通过的距离l 与船对地速度 v合 有关,
2 2 2 2= 4 3 m / s=5m / sv v v 合 船 水 , 则 船 实 际 通 过 的 距 离
2 2
minl v t v v 合 船 水 min 125mt 。
(2)欲使船渡河航行距离最短,则船对地速度 v合 最好垂直河岸,由于船速 v船 大于水速
v水 ,因此可画出图 3.90(b)所示的速度关系图,其中船速 v船 与河岸夹角为 ,则
3cos = 4
v
v
水
船
, 2 2= = 7m / sv v v合 船 水 ,此时渡河时间 100 100 7= s s77
dt v
合
。
(3)水速增为 1 6m / sv 时,船速 v船 小于水速 v水 ,船不能垂直河岸渡河,此时可以以
水速 v水 的末端为圆心,船速 v船 为半径作圆,则当船对地速度 v合 与半圆相切时,船渡河距
离最小,此时 v合 与 v船 垂直,如图 3.90(c)所示,设船速 v船 与河岸夹角为 ,则 2cos = 3
v
v
船
水
,
2 2= =2 5m / sv v v合 水 船 ,此时的渡河时间 100 ssin 54 3
dt v
船
15 5s ,渡河距离
2 5 15 5m 150ml v t 合 。
例 3 (上海第 30 届大同杯初赛)如图 3.91 所示,河宽为 L ,河水流速为 u ,甲、乙两
船同时出发渡河且相对水的速度均为 v ,出发时两船相距为 d ,行驶过程中两船船身均与岸
边成 45,乙船最终到达正对岸的 A 点;两船始终没有相遇。则下列说法正确的是( )
A. : 2 :1v u
B.两船行驶的路程相等
C.两船同时到达河对岸
D.
2
dL
分析与解 由乙可以垂直到达对岸,可知乙沿着河岸的分速度
cos45v 与水速u 相等,即 cos45v u ,可得 1 2cos45
v
u
,选项 A 正确。两船垂
直河岸的分速度均为 sin 45v ,因此到达对岸的时间均为
sin 45
Lt v
,两船同时到达河岸,
选项 C 正确。相对地面,甲船沿着河岸的速度为 sin 45 2v u v ,乙船没有沿着河岸的
速度,因此两船沿着河岸运动的距离不等,而垂直河岸的距离相等,因此两船行驶的路程必
不相等,B 选项错误。由于甲、乙两船在垂直于河岸方向的运动情况完全相同,且两船运动
过程中始终没有相遇,则甲船在到达对岸时,其沿着河岸发生的距离必小于 d ,于是有
2vt d ,即 2 sin 45
Lvt dv
,因此得
2
dL ,选项 D 正确。本题正确选项为 ACD。
例 4 (上海第 28 届大同杯初赛)如图 3.92 所示,河岸相互平行,相距为 d ,水流速度
为 1v ,船相对水的速度为 2v 。船从岸边 A 点出发,船头始终垂直对岸,最终到达对岸 B 点。
若保持 2v 的大小不变,适当改变 2v 的方向,仍然从 A 点出发,发现航线与刚才恰好一致,
但渡河时间变为原来的两倍,则可以判断( )。
A. 1 2: 2:1v v
B.改变 2v 的方向,可以使最短渡河时间为
2
d
v
。
C.改变 2v 的方向,可以使最短渡河距离为 2d
D.改变 2v 的方向,可以使船到达对岸时向下游“漂移”的最短距离为 2d
分析与解 当船头垂直对岸时,船对水的速度 2v 、水速 1v 以及此时船对地的速度 v 构
成一直角三角形,如图 3.93 所示。此时渡河最短时间为
2
d
v
,选项 B 正确。当仅改变 2v 方向
使得船仍沿着航线 AB 前进时,可知此时船对水的速度 2v 、水速 1v 以及此时船对地的速度 v
又构成一个三角形,且由于渡河时间加倍,则必有 2v v ,结合图 3.93 中的几何关系,可
知航线 AB 与河岸所夹的锐角为30 ,由此可得 1 23v v ,选项 A 错误。由于船对水速度 2v
小于水速 1v ,若要渡河时船向下游“漂移”的距离 s 最短,须使 2v 与此时的对地速度 v垂
直。如图 3.94 所示,由几何关系可知 22v v ,利用相似三角形知识可得
2
2s v
d v
。
因此 D 选项正确。本题正确选项为 BD。
以上例题中河水流速均为定值,若河水流速变化,则船的运动轨迹不再是直线,此时问
题较为复杂。
例 5 (上海第 27 届大同杯初赛)如图 3.95 所示,小船从码头 A 处出发渡河,船头始终
垂直河岸。若河宽为 d ,船在静水中的速度 v船 恒定不变,河水的流速与到河岸的垂直距离
x 成正比,即水速 u kx (
2
dx , k 为常量)。渡河过程中小船沿岸向下游移动了距离 s 并
最终到达对岸码头 B ,则( )。
A.
2
4
kdv s
船 B.
2
2
kdv s
船
C.渡河时间t 为 2s
kd
D.渡河时间t 为 4s
kd
分析与解 设小船经时间t 离开 A 处的岸边的距离为 x ,且
2
dx ,则 x v t 船 ,小船沿
着河岸方向的速度与水速相同, u kx kv t 船 ,可见小船沿着河岸方向的分运动是匀加速
直线运动,小船运动轨迹如图 3.96 曲线所示,其中 AO 段曲线与OB 段曲线关于 O 点成中
心对称。当 1
2
d
t v
船
时,小船运动到 O 点,此时 1 1
12
2
d
u kv t kv kdv
船 船
船
。 10 ~ t 时间内
小船沿着河岸前进的距离为
2
1
1 1
100 2 2
2 2 2 8
dkdus kdvt t v v
船 船
解得
2
4
kdv s
船 ,选项 A 正确。小船渡河时间 4d st v kd
船
,选项 D 正确。本题正确选
项为 AD。
练习题
1.小船在 200m 宽的河中横渡,水流速度是 4m / s ,船在静水中的航速是5m / s ,则
下列判断正确的是( )。
A.小船过河所需的最短时间是 40s
B.要使小船过河的位移最短,船头应始终正对着对岸
C.要使小船过河的位移最短,过河所需的时间是50s
D.如果水流速度增大为 6m / s ,小船过河所需的最短时间将增大
2.(上海第 31 届大同杯初赛)如图 3.97 所示,河两岸平行,河内水速保持u 不变,在河
的南岸 P 处同时开出甲、乙两艘小船,小船相对水的速度均为 v ,船头分别指向对岸下游的
A , B 两点,两船分别到达对岸 B ,V 两点处,则( )。
A. AB BC
B. AB BC
C. AB BC
D.由于不知道 v 与u 之间的大小关系,无法判断 AB 与 BC 的大小关系
3.(上海第29届大同杯初赛)甲、乙两艘小船从河岸 A 处出发,水速恒定,两小船相对
水的速度相等,两小船分别沿直线到达河对岸 B ,C 处,且 B 相对 C 是上游。关于两船过
河时间 t甲 和t乙 关系的判断,正确的是( )。
A.若 B ,C 均处于 A 的上游,则t甲 可能小于t乙
B.若 B , C 均处于 A 的上游,则 t甲 一定大于 t乙
C.若 B , C 均处于 A 的下游,则 t甲 可能等于 t乙
D.若 B ,C 均处于 A 的下游,则t甲 一定小于t乙
4.(上海第 26 届大同杯初赛)在宽度为 d 的河中水速为 1v ,船速为 2v ,船过河的最短路
程为 s ,则下列关系中正确的是( )。
A.若 1 2v v , 2
1
vs dv
B.若 1 2v v , 1
2
vs dv
C.若 1 2v v , s d D.若 1 2v v , 2 2
1 2
1
ds v vv
5.(上海第 23 届大同杯初赛)一般情况下,河水越靠近河的中
央,水速越大,越靠近河岸,水速越小,如图 3.98 所示。假设水
速与离河岸的距离成正比,一艘船船头始终垂直河岸方向(船相对
水的速度不变),从河岸 A 点向对岸驶去并到达对岸下游处的 B 点,
则下列四个选项中,能合理描述其行进路径的是( )。
A B C D
6.(上海第24届大同杯初赛)一条河道被一行窄而浅
的沙石隔成两条流速不同的支流。船从岸边 A 点开始渡
河到对岸,船相对水的速度大小始终不变。已知船渡河
的最短路径如图3.99所示,船最终到达了对岸 B 点。船
先后渡过两条支流的时间恰好相等,且 53 ,
37 ,则两条支流的水速之比 1 2:v v ________;两
条支流的宽度之比 1 2:d d ________。
7.王聪同学为了测量某河流的水速,找来一条小船,他首先保持小船对水以恒定的速
度行驶。第一次,保持船头始终垂直河岸划行,经10min 到达正对岸下游120m 处;第二
次,船头始终保持指向与上游河岸成 角划行,经12.5min 到达正对岸。由此,请你帮王
聪同学计算计算,水速 u ________,船对水的速度 v ________,河宽 L ________。
8.(上海第20届大同杯初赛)如图3.100所示,某河流两岸相距 120md ,河水流速为
1 2m / sv ,某人要从岸边 A 点到对岸下游某处 B 点, A , B 之间的距离为 150ms 。
此人在水中的游泳速度为 2 1.2m / sv ,在岸上奔跑的速度
为 3 5m / sv 。如果此人要用最短的时间过河,则他从 A 点
到 B 点需用时间为________s ;如果此人要用最短的路程到
达 B 点,则他从 A 点到 B 点的路程为________ m 。
参考答案
1.A。当船头朝向正对岸行驶时,过河的时间最短,最短时间 min
200 s 40s5
dt v
船
,
且最短渡河时间与水流速度无关。以最短时间渡河时,船将向下游“漂移”。要使过河位移
最短,应将 v船 朝向合适的方向,以使得 v船 平行于河岸的分速度等于水流速度。本题中应
将 5m / sv 船 分解为垂直河岸的速度 1 3m / sv 和朝向上游的分速度 2 4m / sv ,这样船
方能垂直渡河。垂直渡河所需时间
2
200 s3
dt v
。
2.A。甲小船船头指向 A 点,即其相对水的速度 v 沿若 PA 方向,甲船最终到达 B 点,
即甲船相对地面的速度沿着 PB 方向,由此画出船对水的速度 v 、水速u 和船对地面的速度
1v 的三角形关系如图 3.101 所示。同理,可画出乙船对水的速度 v 、水速u 和船对地面的速
度 2v 的三角形关系。比较图 3.101 中几何关系可知,乙船渡河
时其垂直于河岸的分速度较小,因此渡河时间 t t乙 甲 。若水
不流动,则船头正对 A 点行驶时,船会到达 A 点,因此 AB 段
可认为仅由水的流动引起,则 AB ut 甲 ,同理 BC ut 乙 ,可
见 AB BC ,选项 A 正确。
3.BC。当 B , C 均在 A 点的上游时,必有 v v船 水 ,以 v水 的末端为圆心, v船 的大
小为半径画圆,画出如图 3.102 所示的水速 v水 ,船对水的速度 v船 以及甲、乙两船相对地面
的速度 1v , 2v 的速度三角形关系,可知甲船由 A 到达 B 时,垂直于河岸的速度较小,因此
甲船渡河时间较长,t甲 一定大于t乙 ,B 选项正确。当 B ,C 均在 A 点的下游时,水速 v水 、
船对水的速度 v船 以及甲、乙两船相对地面的速度 1v , 2v 可能如图 3.103 所示,可知甲、乙
两船此时垂直河岸的速度大小相等,因此有 t甲 可能等于t乙 。因此本题正确选项为 BC。
4.BC。当水速与船速满足 1 2v v 时,可使船垂直渡河,最小渡河距离等于河宽,即 s d 。
当水速与船速满足 1 2v v 时,船不能垂直河岸渡河,当船速 2v 与船的合速度垂直时,可使
船渡河距离最短,结合数学知识可知此时渡河最短距离 1
2
vs dv
,本题正确选项为BC。
5.C。船的对地速度 v 为 v船 , v水 的合成,且 v 始终沿着运动轨迹的切线方向。如图
3.104 所示,设 v 与河岸夹角为 ,则有 v
v
船
水
,由于水速与离河岸的距离成正比,因此船
越靠近河中心, v水 越大, 越小。选项 C 正确。
6.3:4;3:4。设船在两侧支流中对地速度分别为 AOv 和 OBv ,由题知船渡河的最短
路径不等于河宽,则可判断船速 v船 小于两条支流的水速 1v , 2v ,此种情况下要使渡河距离
最短,一定要满足烟与船对地的速度垂直,因此画出如图 3.105 所示的速度三角形,结合几
何关系,可得, 1 sin
vv 船 , 2 sin
vv 船 ,因此 1
2
sin 3
sin 4
v
v
。把 v船 沿着河岸和垂直于
河岸分解,设经过一条支流的时间为t ,可得两支流河宽 1 cosd v t 船 , 2 cosd v t 船 ,
因此 1
2
cos 3
cos 4
d
d
。
7.12m / min , 20m / min , 200m 。略。
8.122;270。要用最短的时间过河,人游泳的速度 2v 必须垂直正对岸,人相对地面的
速度 v 即为水速 1v 和人游泳速度 2v 的合成,如图 3.106 所示,设人在对岸 D 点登岸,然后
从 D 点以速度 3v 跑向 B 点。结合勾股定理可得 90mCBs ,又由三角形相似关系可知
1
2
CDs v
d v
, 解 得 200mCDs 。 因 此 人 从 A 点 到 B 点 的 时 间 为
2 3
120 s1.2
BDsdt v v
200 90 s5
122s 。
如果此人要用最短的路程到达 B 点,则此人应先在渡河时取得最小渡河距离,到达对
岸后,再沿着河岸到达 B 点。由于人游泳速度 2v 小于水速 1v ,若要人渡河距离最短,则需
满足 2v 与人对地速度 v 垂直,如图 3.107 所示。设人此时的登岸点为 E ,则根据题给数据
可知 ACE△ 与 1v , 1v ,v 所组成的速度三角形相似,有 2
1 AE
v d
v s
,得 200mAEs ,由勾
股定理得 160mCEs ,因此 160m 90m 70mBEs ,所以到达 B 点的最短距离应为
AE BEs s 270m 。
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