2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题24 多边形与平行四边形 19页

多边形与平行四边形 一.选择题 ‎1. （2020•四川省自贡市•4分）如果一个角的度数比它补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是 （）‎ A. 50° B. 70° C. 130° D. 160°‎ ‎【解析】设这个角为，其补角为，根据题意可得 解之得，故答案为C ‎2. （2020•四川省自贡市•4分）如图，在平行四边形中，，是锐角，于点，是的中点，连接；若，则的长为 （）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】延长EF，DA交于G，连接DE，可得△AFG≌△BFE，设，则，可得DF是线段GE的垂直平分线，∴，在Rt△GAE中，‎ 在Rt△AED中，，所以，解得，∴，故答案为B ‎ ‎ ‎3. (2020•山东省泰安市•4分)如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为(　　)‎ A．lcm B．cm C．(2－3)cm D．(2－)cm ‎【分析】根据直角三角形的三角函数得出BG，HE，进而利用梯形的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：过F作FH⊥BC于H，‎ ‎∵高AG＝2cm，∠B＝45°，∴BG＝AG＝2cm，∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，‎ ‎∴EH＝，∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，‎ ‎∵AG⊥BC，FH⊥BC，∴AG∥FH，∵AG＝FH，∴四边形AGHF是矩形，‎ ‎∴AF＝GH，∴BC＝BG+GH+HE+CE＝2+2AF+2＝6，∴AF＝2－(cm)，故选D．‎ ‎【点评】此题考查梯形，关键是根据直角三角形的三角函数得出BG，HE解答．‎ ‎4.（2020•广东省•3分）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为 A．4   B．5   C．6   D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】（n-2）×180°=540°，解得n=5．‎ ‎【考点】n边形的内角和 ‎5．（2020山东省德州市4分）下列命题：‎ ‎①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；‎ ‎②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；‎ ‎③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；‎ ‎④对角线相等的平行四边形是矩形．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】根据平行四边形的判定、菱形的判定、正方形和矩形的判定判断即可．‎ ‎【解答】解：①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；‎ ‎②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；‎ ‎③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题；‎ ‎④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．‎ ‎6. （2020•山东济宁市•3分）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为【 】‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 多边形内角和定理．‎ ‎【分析】设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）=1080，‎ 解此方程即可求得答案：n=8．故选C．‎ ‎7.（2020•山东临沂市•3分）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（　　）‎ A．S1+S2＞ ‎ B．S1+S2＜ ‎ C．S1+S2＝ ‎ D．S1+S2的大小与P点位置有关 ‎【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1.S2之间的关系，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝BC，‎ ‎∴S＝BC•EF，，，‎ ‎∵EF＝PE+PF，AD＝BC，‎ ‎∴S1+S2＝，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．‎ ‎8.（2020•广西省玉林市•3分）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．‎ 求证：DE∥BC，且DE＝BC．‎ 证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：‎ ‎①∴DFBC；‎ ‎②∴CFAD．即CFBD；‎ ‎③∴四边形DBCF是平行四边形；‎ ‎④∴DE∥BC，且DE＝BC．‎ 则正确的证明顺序应是：（　　）‎ A．②→③→①→④ B．②→①→③→④ C．①→③→④→② D．①→③→②→④‎ ‎【分析】证出四边形ADCF是平行四边形，得出CFAD．即CFBD，则四边形DBCF是平行四边形，得出DFBC，即可得出结论．‎ ‎【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，‎ ‎∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，‎ ‎∴AD＝BD，AE＝EC，‎ ‎∴四边形ADCF是平行四边形，‎ ‎∴CFAD．即CFBD，‎ ‎∴四边形DBCF是平行四边形，‎ ‎∴DFBC，‎ ‎∴DE∥BC，且DE＝BC．‎ ‎∴正确的证明顺序是②→③→①→④，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理的证明；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．‎ ‎9. （2020•北京市•2分）正五边形的外角和为（　　）‎ A．180° B．360° C．540° D．720°‎ ‎【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．‎ ‎【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，‎ 故正五边形的外角和的度数为360°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．‎ ‎10. （2020•四川省自贡市•4分）如果一个角的度数比它补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是 （）‎ A. 50° B. 70° C. 130° D. 160°‎ ‎【解析】设这个角为，其补角为，根据题意可得 解之得，故答案为C ‎11. （2020•四川省自贡市•4分）如图，在平行四边形中，，是锐角，于点，是的中点，连接；若，则的长为 （）‎ A. B.‎ C.D.‎ ‎【解析】延长EF，DA交于G，连接DE，可得△AFG≌△BFE，设，则，可得DF是线段GE的垂直平分线，∴，在Rt△GAE中，‎ 在Rt△AED中，，所以，解得，‎ ‎∴，故答案为B 二.填空题 ‎1. （2020•四川省遂宁市•4分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为　36　度．‎ ‎【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1440，即可求得n＝10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：设此多边形为n边形，‎ 根据题意得：180（n﹣2）＝1440，‎ 解得：n＝10，‎ ‎∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．‎ 故答案为：36．‎ ‎【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．‎ ‎2. （2020·天津市·3分）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为　　．‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的长．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，‎ ‎∵AD＝3，AB＝CF＝2，‎ ‎∴CD＝2，BC＝3，‎ ‎∴BF＝BC+CF＝5，‎ ‎∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，‎ ‎∴BF＝BE＝5，DG＝EG，‎ 延长CG交BE于点H，‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴∠CDG＝∠HEG，‎ 在△DCG和△EHG中，‎ ‎，‎ ‎∴△DCG≌△EHG（ASA），‎ ‎∴DC＝EH，CG＝HG，‎ ‎∵CD＝2，BE＝5，‎ ‎∴HE＝2，BH＝3，‎ ‎∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，‎ ‎∴△CBH是等边三角形，‎ ‎∴CH＝BC＝3，‎ ‎∴CG＝CH＝，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．‎ ‎1.（2020•内蒙古包头市•3分）如图，在平行四边形中，的平分线与的平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为______．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平行线的性质和角平分线的性质，得到∠BEC=90°，然后利用勾股定理，即可求出答案．‎ ‎【详解】解：如图，在平行四边形中，‎ ‎∴，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，‎ ‎∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=180°‎ ‎∵BE.CE分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，‎ ‎∴∠ABE=∠CBE，∠DCE=∠BCE，‎ ‎∴∠AEB=∠ABE，∠DEC =∠DCE，∠CBE+∠BCE=90°‎ ‎∴AB=AE=2，DE=DC=2，∠BEC=90°，‎ ‎∴AD=2+2=4，‎ ‎∴BC=AD=4，‎ 在Rt△BCE中，由勾股定理，得 ‎；‎ 故答案为：16．‎ ‎【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题．‎ ‎3. (2020•山东省枣庄市•4分)各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a+b－1(a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数)计算，这个公式称为“皮克(Pick ‎)定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝　 　．‎ ‎【分析】分别统计出多边形内部的格点数a和边界上的格点数b，再代入公式S＝a+b－1，即可得出格点多边形的面积．‎ ‎【解答】解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，‎ ‎∴a＝4，b＝6，∴该五边形的面积S＝4+×6－1＝6，故答案为6．‎ ‎【点评】本题考查格点多边形面积的计算，解题的关键是根据图形正确统计出a，b的值．‎ ‎1.（2020•广东省广州市•3分）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．‎ ‎【答案】(4，3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案.‎ ‎【详解】过点A作AH⊥x轴于点H，‎ ‎∵A（1，3），‎ ‎∴AH=3，‎ 由平移得AB∥CD，AB=CD，‎ ‎∴四边形ABDC是平行四边形，‎ ‎∴AC=BD，‎ ‎∵，‎ ‎∴BD=3，‎ ‎∴AC=3，‎ ‎∴C(4，3)‎ 故答案：(4，3).‎ ‎【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.‎ ‎4. （2020•陕西•3分）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　144°　．‎ ‎【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．‎ ‎【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，‎ 所以∠C＝＝108°，BC＝DC，‎ 所以∠BDC＝＝36°，‎ 所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，‎ 故答案为：144°．‎ ‎【点评】本题考查了正五边形．解题的关键是掌握正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．熟记定义是解题的关键．‎ ‎5. （2020•四川省甘孜州•4分）如图，在中，过点C作，垂足为E，若，则的度数为____．‎ ‎【答案】50°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平行四边形的性质得出∠B=∠EAD=40°，由角的互余关系得出∠BCE=90°-∠B即可．‎ ‎【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠B=∠EAD=40°，‎ ‎∵CE⊥AB，‎ ‎∴∠BCE=90°-∠B=50°；‎ 故答案为：50°．‎ ‎【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的内角和；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠B的度数是解决问题的关键．‎ ‎6. （2020•山东东营市•4分）如图，为平行四边形边上一点，分别为上的点，且的面积分别记为．若则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 证明△PEF∽△PAD，再结合△PEF的面积为2可求出△PAD的面积，进而求出平行四边形ABCD的面积，再用平行四边形ABCD的面积减去△PAD的面积即可求解．‎ ‎【详解】解：∵‎ ‎∴，且∠APD=∠EPF，‎ ‎∴△PEF∽△PAD，‎ 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且△PEF的面积为2可知，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 过P点作平行四边形ABCD的底AD上的高PH，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，‎ 即平行四边形ABCD的面积为，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了平行四边形性质，相似三角形的判定及性质等，熟练掌握其性质是解决本题的关键．‎ ‎7. （2020•福建省•4分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝　30　度．‎ ‎【分析】由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．‎ ‎【解答】解：正六边形的每个内角的度数为：＝120°，‎ 所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，‎ 故答案为：30．‎ ‎【点评】本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．‎ ‎8. （2020•四川省凉山州•4分）如图，▱ABCD的对角线AC.BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于　16　．‎ ‎【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝4，则AB+AD＝2AE+2OE＝8，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，‎ ‎∵OE∥AB，‎ ‎∴OE是△ABD的中位线，‎ ‎∴AB＝2OE，AD＝2AE，‎ ‎∵△AOE的周长等于5，‎ ‎∴OA+AE+OE＝5，‎ ‎∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，‎ ‎∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，‎ ‎∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；‎ 故答案为：16．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．‎ 三.解答题 ‎1.（2020•宁夏省•6分）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA＝AB．‎ ‎【分析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明△AFE≌△DCE，根据全等的性质再证明AF＝DC，从而证明AF＝AB．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB＝DC，AB∥DC．‎ ‎∴∠FEA＝∠DEC，∠F＝∠ECD．‎ 又∵EA＝ED，‎ ‎∴△AFE≌△DCE．‎ ‎∴AF＝DC．‎ ‎∴AF＝AB．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的性质及全等三角形等知识，是比较基础的证明题．‎ ‎2.（2020•广东省•10分）如题24图，点B是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A.C．反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB.BC分别交于点D.E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF、BG． ‎ ‎（1）填空：k=_2_______；‎ ‎（2）求△BDF的面积；‎ ‎（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．‎ ‎【答案】‎ ‎（2）解：过点D作DP⊥x轴交于点P 由题意得，S矩形OBC=AB•AO=k=8，S矩形ADPO=AD•AO=k=2‎ ‎∴=即BD=AB ‎∵S△BDF=BD•AO=AB•AO=3‎ ‎（3）连接OE 由题意得S△OEC=OC•CE=1，S△OBC=OC•CB=4‎ ‎∴即CE=BE ‎∵∠DEB=∠CEF，∠DBE=∠FCE ‎∴△DEB∽△FEC ‎∴CF=BD ‎∵OC=GC，AB=OC ‎∴FG=AB-CF=BD-BD=BD ‎∵AB∥OG ‎∴BD∥FG ‎∴四边形BDFG为平行四边形 ‎【解析】反比例函数k的几何意义，三角形面积的表示，清楚相似比与线段比的关 ‎【考点】反比例函数、相似三角形、三角形的面积比、平行四边形的判定 ‎2.（2020•贵州省安顺市•10分）如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．‎ ‎（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；‎ ‎（2）连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．‎ ‎【分析】（1）先根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，然后证明AD＝EF可判断四边形AEFD是平行四边形；‎ ‎（2）连接DE，如图，先利用勾股定理计算出AE＝2，再证明△ABE∽△DEA，利用相似比求出AD，然后根据平行四边形的面积公式计算．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，AD＝BC，‎ ‎∵BE＝CF，‎ ‎∴BE+EC＝EC+EF，即BC＝EF，‎ ‎∴AD＝EF，‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形；‎ ‎（2）解：连接DE，如图，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠B＝90°，‎ 在Rt△ABE中，AE＝＝2，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠AEB＝∠EAD，‎ ‎∵∠B＝∠AED＝90°，‎ ‎∴△ABE∽△DEA，‎ ‎∴AE：AD＝BE：AE，‎ ‎∴AD＝＝10，‎ ‎∴四边形AEFD的面积＝AB×AD＝2×10＝20．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的判定和矩形的性质．‎ ‎3. （2020•四川省乐山市•12分）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．‎ ‎（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ；‎ ‎（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？‎ ‎（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．‎ ‎【答案】（1）；（2）补图见解析，仍然成立，证明见解析；（3），证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论；‎ ‎（2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；‎ ‎（3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得，得出，，再根据，，推出，即可得证．‎ ‎【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OA＝OC，‎ ‎∵AE⊥BP，CF⊥BP，‎ ‎∴∠AEO＝∠CFO＝90°，‎ ‎∵∠AOE＝∠COF，‎ ‎∴△AOE≌△COF（AAS），‎ ‎∴OE＝OF； ‎ ‎（2）补全图形如图所示，仍然成立，‎ 证明如下：延长交于点，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵点为的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ‎ ‎∵，‎ ‎∴；‎ ‎（3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，‎ 证明如下：延长交的延长线于点，如图所示，‎ ‎ ‎ 由（2） 可知 ，‎ ‎∴，，‎ 又∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决．‎