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- 2021-11-11 发布
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华师版九年级数学下册期中测试题及答案
(考试时间:120分钟 满分:120分)
第Ⅰ卷(选择题 共24分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列说法中不正确的是 ( B )
A.圆是对称图形 B.三点确定一个圆
C.半径相等的两个圆是等圆 D.每个圆都有无数条对称轴
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是 ( B )
A.-2<x<2 B.-4<x<2
C.x>2或x<-2 D.x<-4或x>2
3.如图,AD,BC是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动.设∠APB=y(单位:度),那么y与点P运动的时间x(单位:秒)的关系图是 ( B )
4.将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是 ( D )
A.b>8 B.b>-8 C.b≥8 D.b≥-8
5.四位同学在研究函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现-1是方程ax2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是
( B )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.如图,在⊙O中,AE是直径,半径OC垂直于弦AB于点D,连结BE,若AB=2,CD=1,则BE的长是 ( B )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC相切于点D,E,则AD为 ( B )
A.2.5 B.1.6 C.1.5 D.1
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列命题中正确的是 ( D )
A.a>b>c
B.一次函数y=ax+c的图象不经过第四象限
C.m(am+b)+b<a(m是任意实数)
D.3b+2c>0
第Ⅱ卷(非选择题 共96分)
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.抛物线y=2(x-2)2+k的顶点A在直线y=2x-3上,则顶点A的坐标为__(2,1)__.
10.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根是__x1=1,x2=2__.
11.已知点A(0,y1),B(1,y2),C(3,y3)在抛物线y=ax2-2ax+1(a<0)上,则y1,y2,y3的大小关系是__y3<y1<y2__(用“<”连结).
12.如图,AB是⊙O的直径,C,D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,∠ACE的度数为__30°__.
13.如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC=__2__.
14.如图,⊙O的半径为1 cm,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则图中阴影部分的面积为____cm2(结果保留π).
15.如图,在平面直角坐标系xOy中,若动点P在抛物线y=ax2上,⊙P恒过点F(0,n),且与直线y=-n始终保持相切,则n=____(用含a的代数式表示).
16.如图,二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧,其图象与x轴交于点A(-1,0)和C(x2,0),且与y轴交于点B(0,-2),小强得到以下结论:①0<a<2;②-1<b<0;③c=-1;④当|a|=|b|时,x2>-1.以上结论中,正确的结论序号是__①④__.
三、解答题(共72分)
17.(8分)如图,某次体育测试中,一名男生推铅球的路线是抛物线,最高点为(6,5),出手处点A的坐标为(0,2).
(1)求函数表达式;
(2)问铅球可推出多远?
解:(1)y=-(x-6)2+5.
(2)铅球可推出(6+2)m.
18.(8分)如图,已知A,B,C,D,E是⊙O上五点,⊙O的直径BE=2,∠BCD=120°,点A为的中点,延长BA到点P,使BA=AP,连结PE.
(1)求线段BD的长;
(2)求证:直线PE是⊙O的切线.
(1)解:连结DE,
∵B,C,D,E四点共圆,∠BCD=120°,
∴∠BED=60°,
∵BE为直径,
∴∠BDE=90°,
∵sin ∠BED=,
∴BD=BE·sin ∠BED=3.
(2) 证明:连结AE,∵BE为直径,∴∠BAE=90°,
∵=,∴∠ABE=∠AEB=45°,
又∵AB=AP,∴BE=PE,
∴∠P=∠ABE=45°,∴∠BEP=90°,
∵OE为⊙O的半径,∴直线PE是⊙O的切线.
19.(8分)如图,点D是△ABC的BC边上一点,连结AD,作△ABD的处接圆,将△ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在圆上.
(1)求证:AE=AB;
(2)若∠CAB=90°,cos ∠ADB=,BE=2,求BC的长.
(1)证明:连结AE.由折叠知,∠ADC=∠ADE,
∵A,B,E,D四点共圆,∴∠ABE+∠ADE=180°,
又∠ADB+∠ADC=180°,∴∠ABE=∠ADB,
又∠AEB=∠ADB,∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB.
(2)解:由折叠知AC=AE,由(1)知AE=AB,
∴AC=AB,过A点作AM⊥BE于点M,
则EM=BM=BE=1,cos ∠AEB=,
∴AE===3,
∴AC=AB=AE=3,又∠CAB=90°,∴BC=3.
20.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点O为BC的中点,AC与半圆O相切于点D.
(1)求证:AB是半圆O所在圆的切线;
(2)若cos ∠ABC=,AB=12,求半圆O所在圆的半径.
(1) 证明:连结OA,OD,过点O作OM⊥AB于点M,
∵AB=AC,OB=OC,∴AO平分∠BAC,
∵AC与半圆相切,∴OD⊥AC,
又∵OM⊥AB,∴OM=OD,
∴AB是半圆O所在圆的切线.
(2) 解:∵AB=AC,OB=OC,∴OA⊥BC,
∴cos ∠ABC=,即=,
∴OB=8,OA==4,
∵S△AOB=AB·OM=OA·OB,
∴OM==,
即半圆O所在圆的半径为.
21.(8分)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,4),且与直线y=-x+1相交于A,B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(-3,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过点N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,若BM与CN互相垂直平分,求点N的坐标.
解:(1)当x=-3时,y=-×(-3)+1=,
∴B点的坐标为,
当x=0时,y=-×0+1=1,
∴A点的坐标为(0,1),
把(0,1),(-1,4),分别代入y=ax2+bx+c,
求得a=-,b=-,c=1,
∴y=-x2-x+1.
(1) 设N,
则M,P点的坐标分别是,(m,0),
∴MN=PN-PM=-m2-m+1-=-m2-m,连结BN,CM,则四边形BCMN是菱形,
∴MN=BC=,CM=BC=,
即-m2-m=,且+(m+3)2=,
解得m=-1,∴点N的坐标为(-1,4).
22.(10分)(襄阳中考)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,点E为⊙O上一点,过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CB=CE.
(1)求证:DA=DE;
(2)若AB=6,CD=4,求图中阴影部分的面积.
(1) 证明:∵BN是⊙O的切线,∴∠OBC=90°,
连结OE,OC,易证△BOC≌△EOC(S.S.S.),
∴∠OEC=∠OBC=90°.
∵OE为半径,∴DC是⊙O的切线,
又AM是⊙O的切线,∴DA=DE.
(1) 解:∵AM,BN是⊙O的两条切线,
∴AM⊥AB,BN⊥AB,∴AM∥BN,
过点D作DH⊥BC于点H,则四边形ABHD是矩形,
∴DH=AB=6,sin∠BCD===,∴∠BCD=60°,
则∠BOE=180°-60°=120°,∠OCB=30°,
∵tan ∠OCB=,∴BC=3,
∴S阴影=2×S△BOC-S扇形BOE
=2××3×3-=9-3π.
23.(10分)(威海中考)为了支持大学生创业,某市政府出台了一项优惠政策:提供10万元的无息创业贷款,小王利用这笔贷款,注册了一家淘宝网店,招收5名员工,销售一种火爆的电子产品,并约定用该网店经营的利润,
逐月偿还这笔无息贷款.已知该产品的成本为每件4元,员工每人每月的工资为4千元,该网店还需每月支付其他费用1万元.该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示.
(1)求该网店每月利润W(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式;
(2)小王自网店开业起,最快在第几个月可还清10万元的无息贷款?
解:(1)直线AB的表达式为y=-x+8,
直线BC的表达式为y=-x+5,
∵工资及其他费用为0.4×5+1=3万元,
∴当4≤x≤6时,W1=(x-4)(-x+8)-3=-x2+12x-35,
当6≤x≤8时,W2=(x-4)-3=-x2+7x-23.
(1) 当4≤x≤6时,W1=-x2+12x-35=-(x-6)2+1,
∴当x=6时,W1取最大值是1;当6≤x≤8时,
W2=-x2+7x-23=-(x-7)2+,
当x=7时,W2取最大值是1.5,∴==6,
即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款.
24.(12分)(宜宾中考)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别相交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C,顶点为点P.
(1)求抛物线的表达式;
(2)动点M,N从点O同时出发,都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB,OC上向点B,C方向运动,过点M作x轴的垂线交BC于点F,交抛物线于点H.
①当四边形OMHN为矩形时,求点H的坐标;
②是否存在这样的点F,使△PFB为直角三角形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)y=-x2+x+4.
(2) 点C,B的坐标分别为(0,4),(4,0),
∴直线BC的表达式为y=-x+4,
①根据题意,ON=OM=t,MH=-t2+t+4,
∵ON∥MH,
∴当ON=MH时,四边形OMHN为矩形,
即t=-t2+t+4,解得t=2或t=-2(不合题意舍去),
把t=2代入y=-t2+t+4得y=2,
∴H点的坐标为(2,2);
②存在.P,F(t,-t+4),
BF2=(-t+4)2+(4-t)2=2t2-16t+32,
BP2=32+=,
PF2=(1-t)2+=2t2-t+.
若∠BPF=90°,则PF2+BP2=BF2,
即2t2-t++=2t2-16t+32,解得t=,
∴F点的坐标为.
若∠PBF=90°,则BF2+BP2=PF2,
即2t2-16t+32+=2t2-t+,解得t=4,
此时,点F与点B重合,△PFB不存在.
若∠BFP=90°,则PF2+BF2=BP2,
即2t2-t++2t2-16t+32=,整理得4t2-17t+4=0,
解得t1=,t2=4(舍去),∴F点的坐标为.
综上所述,△PFB为直角三角形时,
点F的坐标为或.
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