人教版 九年级 数学 总复习 第九讲 二次函数与圆综合（教师版） 21页

二次函数与圆综合 1 第九讲 二次函数与圆综合 明确目标﹒定位考点 二次函数和圆都是初中数学的重点内容，基础题分别考查二次函数和圆的基本概念、性质、定理以 及计算；二次函数和圆历来是中考数学压轴题命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技 巧较强，给解题带来了困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了。只要我们掌 握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的。 热点聚焦﹒考点突破 考点 1 综合之切线问题 【例 1】 如图，点  4 0M ， ，以点 M 为圆心、2 为半径的圆与 x 轴交于点 A B， ．已知抛物 21 6y x bx c   过点 A 和 B ，与 y 轴交于点 C ． ⑴ 求点 C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． ⑵ 点  8Q m， 在抛物线 21 6y x bx c   上，点 P 为此抛物线对称轴上一个动点，求 PQ PB 最小值． ⑶ CE 是过点C 的 M⊙ 的切线，点 E 是切点，求 OE 所在直线的解析式． 【规律方法】（1）根据题意可知点 A，B 的坐标分别为（2，0），（6，0），代入函数解析式即可求得抛 物线的解析式，即可得点 C 的坐标； （2）根据图象可得 PQ+PB 的最小值即是 AQ 的长，所以抛物线对称轴 l 是 x=4．所以 Q（8，m）抛物线上， ∴m=2．过点 Q 作 QK⊥x 轴于点 K，则 K（8，0），QK=2，AK=6，求的 AQ 的值即可； （3）此题首先要证得 OE∥CM，利用待定系数法求得 CM 的解析式，即可求得 OE 的解析式． 【变式训练 1】已知抛物线 2y ax bx c   与 y 轴的交点为 C，顶点为 M，直线 CM 的解析式 2y x   并 二次函数与圆综合 2 且线段 CM 的长为 2 2 （1）求抛物线的解析式。 （2）设抛物线与 x 轴有两个交点 A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点 A 在 B 的左侧，求线段 AB 的长。 （3）若以 AB 为直径作⊙N，请你判断直线 CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。 考点 2 综合之最值问题 【例 2】 如图，在平面直角坐标系中，以点 (0 4)C ， 为圆心，半径为 4 的圆交 y 轴正半轴于点 A ， AB 是 二次函数与圆综合 3 C⊙ 的切线．动点 P 从点 A 开始沿 AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点 Q 从 O 点开始沿 x 轴正方向 以每秒 4 个单位长度的速度运动，且动点 P 、Q 从点 A 和点 O 同时出发，设运动时间为 t (秒)． ⑴当 1t  时，得到 1P 、 1Q 两点，求经过 A 、 1P 、 1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当 t 为何值时，直线 PQ 与 C⊙ 相切？并写出此时点 P 和点 Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴 l 上存在一点 N ，使 NP NQ 最小，求出点 N 的坐标并说明理由． 【规律方法】 （1）先求出 t=1 时，AP 和 OQ 的长，即可求出 P1,Q1 的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式， 进而课求出对称轴 l 的解析式. （2）（2）当直线 PQ 与圆 C 相切时，连接 CP，CQ 则有 Rt△CMP∽Rt△QMC(M 为 PG 与圆的切点），因此 可设当 t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用 a 表示出 AP,OQ 的长即 PM，QM 的长（切线长定理），由此可求出 a 的值。 （3）本题的关键是确定 N 的位置，先找出与 P 点关于直线 l 对称的点 P`的坐标，连接 P`Q,那么 P`Q 与直 线 l 的交点即为所求的 N 点，可先求出直线 P`Q 的解析式，进而课求出 N 点的坐标。 【变式训练 2】已知二次函数图象的顶点在原点 O ，对称轴为 y 轴．一次函数 1y kx  的图象与 二次函数的图象交于 A B， 两点( A 在 B 的左侧)，且 A 点坐标为  4 4 ， ．平行于 x 轴的直线 l 过  0 1， 点． ⑴ 求一次函数与二次函数的解析式； 二次函数与圆综合 4 ⑵ 判断以线段 AB 为直径的圆与直线 l 的位置关系，并给出证明； ⑶ 把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 t 个单位  0t  ，二次函数的图象与 x 轴交于 M N， 两 点，一次函数图象交 y 轴于 F 点．当 t 为何值时，过 F M N， ， 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？ 考点 3 综合之点的存在性 【例 3】已知：如图，抛物线 21 2 3 3 3y x x m   与 x 轴交于 A B， 两点，与 y 轴交于C 点， 90ACB   ⑴ 求 m 的值及抛物线顶点坐标； ⑵ 过 A B C， ， 的三点的 M⊙ 交 y 轴于另一点 D ，连结 DM 并延长交 M⊙ 于点 E ，过 E 点的 M⊙ 的切线 二次函数与圆综合 5 分别交 x 轴、 y 轴于点 F G， ，求直线 FG 的解析式； ⑶ 在条件⑵下，设 P 为 CBD 上的动点( P 不与C D， 重合)，连结 PA 交 y 轴于点 H ，问是否存在一个常数 k ，始终满足 AH AP k  ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由． 【规律方法】 （1）利用射影定理结合一元二次方程中的根与系数的关系即可求出 m 的值，进而求出抛物线的解析式以 及其顶点坐标。 （2）由∠ACO 和∠MDO 的正切值相同，得这两个角相等，可得出 AC∥DE，也就能求出 DE⊥CB，因此 BC∥ FG，由此可得出直线 FG 与直线 BC 的斜率相同，可先根据 B,C 的坐标求出直线 BC 的解析式，然后即可得 出直线 FG 的斜率，那么关键是求出 E 点的坐标，连接 CE，DC⊥CE，C 点的纵坐标就是 E 点的纵坐标，在 直角三角形 DCE 中，可根据 DE，DC 的长求出 CE 的长，也就能求出 E 点的坐标，然后根据 E 点的坐标即可 求出直线 FG 的解析式。 （3）连接 CP、AP,利用垂径定理、三角形相似(△ACH∽△APC)、勾股定理解答即可。 【变式训练 3】如图，已知点 A 的坐标是  1 0 ， ，点 B 的坐标是  9 0， ，以 AB 为直径作 O ，交 y 轴 的负半轴于点 C ，连接 AC 、 BC ，过 A 、 B 、 C 三点作抛物线． ⑴ 求抛物线的解析式； ⑵ 点 E 是 AC 延长线上一点， BCE 的平分线 CD 交 O 于点 D ，连结 BD ，求直线 BD 的解析式； ⑶ 在⑵的条件下，抛物线上是否存在点 P ，使得 PDB CBD   ？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果 不存在，请说明理由． 二次函数与圆综合 6 专题训练﹒对接中考 1、如图，已知抛物线的顶点坐标为 M(1,4)，且经过点 N(2,3)，与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧)， 与 y 轴交于点 C。 (1)求抛物线的解析式及点 A、B、C 的坐标； (2)若直线 y=kx+t 经过 C、M 两点，且与 x 轴交于点 D，试证明四边形 CDAN 是平行四边形；(3)点 P 在抛物 线的对称轴 x=1 上运动，请探索：在 x 轴上方是否存在这样的 P 点，使以 P 为 二次函数与圆综合 7 圆心的圆经过 A、B 两点，并且与直线 CD 相切，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 2.已知：如图，抛物线 23 2 3 33 3y x x    的图象与 x 轴分别交于 A B， 两点，与 y 轴交于C 点， M 经过原点O 及点 A C， ，点 D 是劣弧 OA 上一动点（ D 点与 A O， 不重合）． （1）求抛物线的顶点 E 的坐标； （2）求 M 的面积； （3）连CD 交 AO 于点 F ，延长CD 至G ，使 2FG  ，试探究当点 D 运动到何处时，直线GA 与 M 相切，并请说明理由． y E C M A F G D O xB 二次函数与圆综合 8 作业： 1、抛物线 2y ax bx c   交 x 轴于 A 、 B 两点，交 y 轴于点 C ,已知抛物线的对称轴为 1x  ， (3,0)B , (0, 3)C  ， ⑴求二次函数 2y ax bx c   的解析式； ⑵在抛物线对称轴上是否存在一点 P ，使点 P 到 B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出 P 点坐标；若 不存在，请说明理由； ⑶平行于 x 轴的一条直线交抛物线于 M N、 两点，若以 MN 为直径的圆恰 好与 x 轴相切，求此圆的半径． 二次函数与圆综合 9 2、如图，在直角坐标系中，⊙C 过原点 O，交 x 轴于点 A（2，0），交 y 轴于点 B（0， 2 3 ）。 ⑴ 求圆心的坐标； ⑵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过 O、A 两点，且顶点在正比例函数 y＝－ 3 3 x 的图象上，求抛物线的解析式； ⑶过圆心 C 作平行于 x 轴的直线 DE，交⊙C 于 D、E 两点，试判断 D、E 两点是否在⑵中的抛物线上； ⑷若⑵中的抛物线上存在点 P（x0，y0），满足∠APB 为钝角，求 x0 的取值范围。 二次函数与圆综合 10 答案：例题 1 二次函数与圆综合 11 【变式训练 1】： （1） 二次函数与圆综合 12 例题 2 二次函数与圆综合 13 二次函数与圆综合 14 【变式训练 2】 二次函数与圆综合 15 例题 3： 二次函数与圆综合 16 二次函数与圆综合 17 二次函数与圆综合 18 【变式训练 3】 专题训练﹒对接中考 1.由抛物线的顶点是 M（1，4），设解析式为 2y a x 1 4 a 0＝ （ － ）＋ （ ＜ ） 又抛物线经过点 N（2，3）， 所以 23 a 2 1 4＝ （ －）＋ 解得 a＝－1 所以所求抛物线的解析式为 y＝ 2 2x 1 4 x 2x 3.－（ －）＋ ＝－ ＋ ＋ 令 y＝0，得 2x 2x 3 0－ ＋ ＋ ＝ ，解得： 1 2x 1 x 3.＝－ ， ＝ 得 A（－1，0） B（3，0） ；令 x＝0，得 y＝3， 所以 C（0，3）. 二次函数与圆综合 19 （2）直线 y=kx+t 经过 C、M 两点，所以 t 3 k t 4    ＝ ＋ ＝ 即 k＝1，t＝3 直线解析式为 y＝x＋3. 令 y ＝0，得 x＝－3，故 D（－3，0） CD＝3 2 连接 AN，过 N 做 x 轴的垂线，垂足为 F. 设过 A、N 两点的直线的解析式为 y＝mx＋n， 则 m n 0 2m n 3    － ＋ ＝ ＋ ＝ 解得 m＝1，n＝1 所以过 A、N 两点的直线的解 析式为 y＝x＋1 所以 DC∥AN. 在 Rt△ANF 中，AN＝3，NF＝3，所以 AN＝3 2 所以 DC＝AN。 因此 四边形 CDAN 是平行四边形. （3）假设在 x 轴上方存在这样的 P 点，使以 P 为圆心的圆经过 A、B 两点，并且与直线 CD 相切，设 P （1，u） 其中 u＞0，则 PA 是圆的半径且 2 2 2PA u 2＝ ＋ 过 P 做直线 CD 的垂线，垂足为 Q，则 PQ＝PA 时以 P 为圆心的圆与直线 CD 相切。由第（2）小题易得：△MDE 为等腰直角三角形，故△PQM 也是等腰直角三角 形， 由 P（1，u）得 PE＝u， PM＝|4-u|， PQ＝ PM 2 |4-u|＝ 2 由 2 2PQ PA＝ 得方程： 2 2 24 u u 22 （ － ）＝ ＋ ，解得 u 4 2 6＝－ ，舍去负值 u＝ 4 2 6－ － ，符合题意的 u＝ 4 2 6－ ＋ ，所以， 满足题意的点 P 存在，其坐标为（1， 4 2 6－ ＋ ）. 2.（1）抛物线 23 2 3 33 3y x x     23 32 1 33 3x x       23 4 313 3x    E 的坐标为 4 31 3      ， （说明：用公式求 E 点的坐标亦可）． （2）连 AC ； M 过 90A O C AOC  ， ， ，∠ AC 为 O 的直径． 而 3 3OA OC ， y E C M A F G D O xB 二次函数与圆综合 20 32 ACr   2 3MS r     （3）当点 D 运动到 OA 的中点时，直线GA 与 M 相切 理由：在 Rt ACO△ 中， 3 3OA OC ， 3tan 3 3 ACO   ∠ ． 60 30ACO CAO   ∠ ，∠ 点 D 是 OA 的中点  AD DO  30ACG DCO   ∠ ∠ tan30 1OF OC   ， 60CFO  ∠ 在 GAF△ 中， 2 2AF FG ， 60AFG CFO  ∠ ∠ AGF△ 为等边三角形 60GAF  ∠ 90CAG GAF CAO    ∠ ∠ ∠ 又 AC 为直径，当 D 为 OA 的中点时，GA 为 M 的切线 作业： 1.解：（1）将 (0, 3)C  代入 cbxaxy  2 ，得 3c ．将 3c ， (3,0)B 代入 cbxaxy  2 ， 得 039  cba ．∵ 1x  是对称轴，∴ 12  a b ．将（2）代入（1）得 1a ， 2b ．二次函 数得解析式是 322  xxy ． （2） AC 与对称轴的交点 P 即为到 B C、 的距离之差最大的点．∵C 点的坐标为 (0, 3) ，A 点的 坐标为 ( 1,0) ，∴ 直线 AC 的解析式是 33  xy ，又对称轴为 1x  ，∴ 点 P 的坐标 (1, 6) ． （3）设 1( , )M x y 、 2( , )N x y ，所求圆的半径为 r，则 rxx 212  ，.(1) ∵ 对称轴为 1x  ，∴ 二次函数与圆综合 21 212  xx ． .(2)由（1）、（2）得： 12  rx ．.(3) 将 ( 1, )N r y 代入解析式 322  xxy ， 得 3)1(2)1( 2  rry ，.(4)整理得： 42  ry ．由于 r=±y，当 0y 时， 042  rr ， 解得， 2 171 1 r ， 2 171 2 r （舍去），当 0y 时， 042  rr ，解得， 2 171 1 r ， 2 171 2 r （舍去）．所以圆的半径是 2 171 或 2 171 ． 2.（1）∵⊙C 经过原点 O， ∴AB 为⊙C 的直径。 ∴C 为 AB 的中点。 过点 C 作 CH 垂直 x 轴于点 H，则有 CH＝ 1 2 OB＝ 3 ，OH＝ 1 2 OA＝1。∴圆心 C 的坐标为（1， 3 ）。 （2）∵抛物线过 O、A 两点，∴抛物线的对称轴为 x＝1。∵抛物线 的顶点在直线 y＝－ 3 3 x 上， ∴顶点坐标为（1，－ 3 3 ）把这三点的 坐标代入抛物线抛物线 y＝ax2＋bx＋c，得 0 4 2 0 3 3 c a b c a b c             解 得 3 3 2 3 3 0 a b c           ∴ 抛 物 线 的 解 析 式 为 23 2 3 3 3y x x  。 （3）∵OA＝2，OB＝2 3 ，∴ 2 22 (2 3) 4AB    .即⊙C 的半径 r＝2。∴D（3， 3 ），E（－1， 3 ）代入 23 2 3 3 3y x x  检验，知点 D、E 均在抛物线上（4）∵AB 为直径，∴当抛物线上的点 P 在 ⊙C 的内部时，满足∠APB 为钝角。∴－1＜x0＜0，或 2＜x0＜3。 A B C D E F O H x y