【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试-19 轴对称与等腰三角形（基础）（教师版） 12页

专题 19 轴对称与等腰三角形（专题测试-基础） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 1．（2017·湖北中考模拟）如图，△ABC 中，AB=5，AC=6，BC=4，边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，则 △BDC 的周长是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】 解：∵ED 是 AB 的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵△BDC 的周长=DB+BC+CD， ∴△BDC 的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10． 故选 C． 2．（2019·四川中考模拟）若点 A（1+m，1﹣n）与点 B（﹣3，2）关于 y 轴对称，则 m+n 的值是（ ） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1 【答案】D 【详解】∵点 A（1+m，1﹣n）与点 B（﹣3，2）关于 y 轴对称， ∴1+m=3、1﹣n=2， 解得：m=2、n=﹣1， 所以 m+n=2﹣1=1， 故选 D． 3．（2018·云南中考模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则 ∠CBD 的度数为( ) A．30° B．45° C．50° D．75° 【答案】B 【解析】 试题解析：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB 的垂直平分线交 AC 于 D，∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选 B． 4．（2018·江苏中考真题）若实数 m、n 满足 2 4 0m n    ，且 m、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的 边长，则△ABC 的周长是 （ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4， 又∵m、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长， ①若腰为 2，底为 4，此时不能构成三角形，舍去， ②若腰为 4，底为 2，则周长为：4+4+2=10， 故选 B. 5．（2018·安徽中考模拟）如图，直线 l1∥l2，等腰 Rt△ABC 的直角顶点 C 在 l1 上，顶点 A 在 l2 上，若∠β=14°， 则∠α=： A．31° B．45° C．30° D．59° 【答案】A 【解析】 解：过点 B 作 BE∥l1．∵l1∥l2，∴BE∥l1∥l2，∴∠CBE=∠α，∠EBA=∠β=14°．∵△ABC 是等腰直角三角 形，∴∠ABC=45°，∴∠α=∠CBE=∠ABC﹣∠EBA=31°．故选 A． 6．（2017·辽宁中考模拟）如图，△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=4cm，△ABD 的周长为 14cm， 则△ABC 的周长为（ ） A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm 【答案】B 【解析】 ∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴AD=CD， ∴△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC， ∵AE=4cm， ∴AC=2AE=2×4=8cm， ∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm． 故选 B． 7．（2012·上海中考模拟）已知：在△ABC 中，∠A=60°，如要判定△ABC 是等边三角形，还需添加一个条 件．现有下面三种说法： ①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC 是等边三角形； ②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC 是等边三角形； ③如果添加条件“边 AB、BC 上的高相等”，那么△ABC 是等边三角形． 上述说法中，正确的有（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】A 【详解】 ①若添加的条件为 AB=AC，由∠A=60°， 利用有一个角为 60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC 为等边三角形； ②若添加条件为∠B=∠C， 又∵∠A=60°， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠A=∠B=∠C， 则△ABC 为等边三角形； ③若添加的条件为边 AB、BC 上的高相等，如图所示： 已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且 AE=CD， 求证：△ABC 为等边三角形． 证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB， ∴∠ADC=∠AEC=90°， 在 Rt△ADC 和 Rt△CEA 中， AC CA DC EA    ＝ ＝ ， ∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL）， ∴∠ACE=∠BAC=60°， ∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°， ∴AB=AC=BC，即△ABC 为等边三角形， 综上，正确的说法有 3 个． 故选：A． 8．（2017·厦门市中考模拟）等腰三角形的一个角是 70°，则它的顶角的度数是（ ） A．70° B．70°或 20° C．70°或 40° D．40° 【答案】B 【解析】 分 40°角是顶角与底角两种情况讨论求解． ①70°角是顶角时，三角形的顶角为 70°， ②70°角是底角时，顶角为 180°﹣70°×2=40°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为 70°或 40°． 9．（2012·浙江中考模拟）如图，在 Rt ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°．AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D， 交 BC 于点 E，则下列结论不正确的是（ ） A．AE＝BE B．AC＝BE C．CE＝DE D．∠CAE＝∠B 【答案】B 【解析】 A、根据线段垂直平分线的性质，得 AE=BE．故该选项正确； B、因为 AE＞AC，AE=BE，所以 AC＜BE．故该选项错误； C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°． 则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得 CE=DE．故该选项正确； D、根据 C 的证明过程．故该选项正确． 故选 B． 10．（2016·山东中考模拟）如图一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40°的方向行驶 40 海里到达 B 地， 再由 B 地向北偏西 20°的方向行驶 40 海里到达 C 地，则 A、C 两地相距（ ） A．30 海里 B．40 海里 C．50 海里 D．60 海里 【答案】B 【详解】 由题意得∠ABC=60°，AB=BC=40 ∴△ABC 是等边三角形 ∴AC=AB=40 海里． 故选 B． 11．（2015·辽宁中考模拟）如图：△ABC 的周长为 30cm，把△ABC 的边 AC 对折，使顶点 C 和点 A 重合， 折痕交 BC 边于点 D，交 AC 边与点 E，连接 AD，若 AE=4cm，则△ABD 的周长是（ ） A．22cm B．20cm C．18cm D．15cm 【答案】A 【解析】 ∵△ABC 的边 AC 对折，使顶点 C 和点 A 重合， ∴AD=CD，AE=CE=4cm， ∴△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC， ∵△ABC 的周长为 30cm， ∴AB+BC+AC=30cm， ∴AB+BC=30-4×2=22cm， ∴△ABD 的周长是 22cm． 故选 A． 12．（2019·广东中考模拟）点（3，2）关于 x 轴的对称点为 A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3） 【答案】A 【解析】 关于 x 轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点（3，2）关于 x 轴对称的点的坐 标是（3，－2）。故选 A。 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 13．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=BC，∠ABC=90°，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度． 【答案】70 【详解】 ∵∠ABC=90°，AB=AC， ∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°， 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中， AB CB AE CF    ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)， ∴∠BCF=∠BAE=25°， ∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°， 故答案为 70. 14．（2017·陕西中考模拟）如图：在△ABC 中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=________． 【答案】45° 【解析】 设∠EBD=x°， ∵BE=DE，∴∠EDB=∠EBD=x°， ∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°， ∵AD=DE， ∴∠A=∠AED=2x°， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°， ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=3x°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=3x°， ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴2x+3x+3x=180， 解得：x=22.5， ∴∠A=2x°=45°． 15．（2016·湖南中考真题）如图，在△ABC 中，AC＝8，BC＝5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交 边 AC 于点 E，则△BCE 的周长为_______． 【答案】13 【解析】 已知 DE 是 AB 的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到 EA=EB，所以△BCE 的周长 =BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13， 16．（2017·天津中考模拟）已知 a、b、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式 2 2 2c a b a b 0     ，则 △ABC 的形状为 【答案】等腰直角三角形。 【解析】 ∵ 2 2 2c a b a b 0     ，∴c2－a2－b2=0，且 a－b=0。 由 c2－a2－b2=0 得 c2=a2＋b2，∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC 为直角三角形。 又由 a－b=0 得 a=b，∴△ABC 为等腰直角三角形。 17．（2019·甘肃中考真题）在 ABC 中， , 40AB AC A    ，则 B  __________． 【答案】70° 【详解】 ∵AB＝AC, ∠A＝400， ∴∠B＝∠C＝700. 三、解答题（共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分） 18．（2019·重庆中考真题）如图，在 ABC 中， AB AC ， AD BC 于点 D． （1）若 42C   ，求 BAD 的度数； （2）若点 E 在边 AB 上， EF AC 交 AD 的延长线于点 F．求证： AE FE ． 【答案】（1）48°；（2）证明见解析. 【详解】 解：（1）∵ AB AC ， AD BC 于点 D， ∴ BAD CAD   ， 90ADC   ， 又 42C   ， ∴ 90 42 48BAD CAD         ； （2）∵ AB AC ， AD BC 于点 D， ∴ BAD CAD   ， ∵ EF AC ， ∴ F CAD   ， ∴ BAD F   ， ∴ AE FE ． 19．（2018·福建中考模拟）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE， 延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 已知 AD=2cm，BC=5cm. （1）求证：FC=AD； （2）求 AB 的长. 【答案】（1）证明见解析 ；（2）AB=7cm. 【解析】 （1）∵AD∥BC ∴∠ADC=∠ECF ， ∵E 是 CD 的中点， ∴DE=EC ， ∵在△ADE 与△FCE 中， ADC ECF DE EC AED CEF         ， ∴△ADE≌△FCE(ASA) ， ∴FC=AD ； （2）∵△ADE≌△FCE， ∴AE=EF，AD=CF ， ∵BE⊥AE ， ∴BE 是线段 AF 的垂直平分线， ∴AB=BF=BC+CF， ∵AD=CF ， ∴AB=BC+AD=5+2=7(cm). 20．（2018·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=AC，点 E，F 在边 BC 上，BE=CF，点 D 在 AF 的延长 线上，AD=AC， （1）求证：△ABE≌△ACF； （2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °． 【答案】（1）证明见解析；（2）75． 【详解】 （1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACF， 在△ABE 和△ACF 中， AB AC B ACF BE CF       ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）； （2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°， ∴∠CAF=∠BAE=30°， ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠ACD， ∴∠ADC= 180 30 2    =75°， 故答案为 75． 21．（2017·安徽中考模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为 A（4，0），B（－ 1，4），C（－3，1）. (1)作出△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC 关于 x 轴对称； (2)写出点 A′， B′，C′的坐标； (3)求△ABC 的面积. 【答案】（1）见解析；（2）（4，0），（﹣1，﹣4），（﹣3，﹣1）；（3）11.5． （1）如图所示：△A′B′C′，即为所求； （2）点 A′的坐标为（4，0），点 B′的坐标为（﹣1，﹣4），点 C′的坐标为（﹣3，﹣1）； （3）△ABC 的面积为：7×4﹣ 1 2 ×2×3﹣ 1 2 ×4×5﹣ 1 2 ×1×7=11.5．