北师大版数学九年级上册同步课件-1第一章-1矩形的性质与判定 23页

第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 1.了解矩形的概念及其与平行四边形的关系； 2.探索并证明矩形的性质定理.（重点） 3.应用矩形的性质定理解决相关问题.（难点） 学习目标 问题1:观察下面的图形,它们都是一种特殊的平行四边形,请你说 一说他们的特殊之处. 问题2：你能举出生活中的一些此种图形的实例吗？ 矩形的定义 活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一 个内角变化,请同学们注意观察. 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形 1 归纳：矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所 有性质,但平行四边形不一定是矩形. 平行四边形 菱形 平行四边形 矩形 做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考. （1）矩形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是什么？ （2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 2条 矩形的性质2 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. （1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅 笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数, 并记录测量结果. （2）根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时, 发现的结论是否仍然成立？ （3）通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？ A B C D O AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠BCD ∠ABC 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） 根据上面探究，猜想矩形的特殊性质，并把结果填在下面横 线上. 角： . 对角线： . A B CD 四个角为90° 相等 O 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形. ∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等) AB∥DC(矩形的对边平行). ∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC = 90°, ∴∠BCD = 90°. 求证:矩形的四个角都是直角，且对角线相等. 已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与 DB相交于点O. 求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; （2）AC=DB. A B C D O ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°. (2)∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB, ∴△ABC≌ △DCB. ∴AC=DB. 定理：1.矩形的四个角都是直角. 2.矩形的对角线相等. A B C D O 矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性 质外,还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 角：四个角都是90°. 对角线：相等. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. A B C D O 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD(矩形的对角线相等). OA= OC= AC,OB = OD = BD (矩形对角线相互平分). ∴OA = OD. 1 2 1 2 如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O, ∠AOD=120°,AB=2.5 ,求这个矩形对角线的长. 例1 你还有其他解法 吗？ A B C D O ∵∠AOD=120°, ∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°. 又∵∠DAB=90° , （矩形的四个角都是直角） ∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5. 提示：∠AOD=120° → ∠AOB=60°→ OA=OB=AB → AC=2OA=2×2.5=5. A B C D E F证明：连接DE. ∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠C=90°. ∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED. 又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°. 又∵DE= DE, ∴△DFE≌ △DCE, ∴DF=DC. 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE , 垂足为F. 求证：DF=DC. 例2 已知：如右图,四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD交于点E. 求证：在Rt△ABC中,BE= AC. A B C D E 2 1 证明：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD(矩形的对角线相等). BE= DE= BD,AE=CE= AC (矩形对角线相互平分), ∴BE= AC. 2 1 2 1 2 1 直角三角形斜边上的中线上的性质 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3 解：连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点， ∴EG＝ BC，DG＝ BC. ∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点， ∴GF⊥DE. 2 1 2 1 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分 别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的 中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半”这一定理． 例3 练一练：根据右图填空. 已知△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边 AC上的中线. (1)若BD=3cm,则AC =_____cm; (2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则 AC =_____cm, BD = _____cm. A B C D6 10 5 直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型 1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC , BD交于点O ,已知 ∠AOB=60° , AC=16,则图中长度为8的线段有（ ） A.2条 B.4条 C.5条 D.6条 D A B C D O60° 2.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC 交DC的延长线于点E. （1）求证：BD=BE, （2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积. A B C D O E （1）证明：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC= BD,AB∥CD. 又∵BE∥AC, ∴四边形ABEC是平行四边形, ∴AC=BE, ∴BD=BE. (2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4, ∴BD = 2BO =2×4=8. ∵∠DBC=30°, ∴CD= BD= ×8=4, ∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8. 在Rt△BCD中, BC= ∴四边形ABED的面积= (4+8)× = . A B C D O E 2 1 .3448 2222 CDBD 34 2 1 2 1 324 平行四边形 1.矩形是轴对称图形和中心对称图形 2.矩形的四个角都是直角 3.矩形的对角线相等且相互平分 性质 有一个角是 直角 转换 直角三角形 等腰三角形