北师大版数学九年级上册同步课件-4第四章-4相似三角形判定定理的证明 14页

第四章 图形的相似 *4.5 相似三角形判定定理的证明 学习目标 1.会证明相似三角形判定定理.（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点） 问题：相似三角形的判定方法有哪些？ ① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. ③ 三边对应成比例,两三角形相似. 在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对 它们进行证明． 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，∠A = ∠A'， ∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'． A′ B′ C′ A B C 证明相似三角形的判定定理1 A′ B′ C′ A B C 证明：在 △ABC 的边 AB （或它的延长线）上截取 AD =A'B'，过点D作BC的平 行线，交 AC 于点E，则 ∠1=∠B，∠2 =∠C， 过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则 ∴ ∵ DE∥BC, DF∥AC, ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形,∴ DE = CF. ∴ ∴ ED F .AD AE AB AC  AD CF AB CB  ， .AE CF AC CB  AE DE AC CB  ， .AD AE DE AB AC BC   1 2 ∵ ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C， ∴ △ADE ∽ △ABC. ∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'， ∴ △ADE ≌ △A' B ' C ' ， ∴ △ABC ∽△A'B'C. A′ B′ C′ A B C ED F 1 2 定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A =∠ A'， 求证：△ABC ∽ △A'B'C'. '''' CA AC BA AB  A′ B′ C′ A B C ED 1 2 证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'， 过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则 则∠ B = ∠ 1， ∠ C = ∠ 2， ∴ △ABC ∽ △ADE， AD = A'B'， ∴ AE =A'C'. ∵ ∠ A=∠ A'， ∴ △ADE ≌ △A'B'C'， △ABC ∽ △A'B'C'. .AB AC AD AE ∴ ' ' ' ' AB AC A B AC ∵ ， ' ' AB AC AD AC ∴ ， ' ' AC AC AE AC ∴ ， A′ B′ C′ A B C ED 1 2 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， 求证：△ABC ∽ △A'B'C' . ' ' ' ' ' ' .AB BC AC A B BC AC   A′ B′ C′ A C ED B 证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'， 过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则 ∵ ，AD = A'B'，AE = A'C'， ∵∠ BAC =∠ DAE， ∴ △ABC ∽△ADE， 又 ，AD = A'B'， ∴ DE = B'C'， ∴ △ADE ≌ △A'B'C' ， ∴ △ABC ∽△A'B'C' . A′ B′ C′ A C ED B ' ' ' ' AB AC A B AC  .AB AC AD AE ∴ .AB BC AD DE ∴ ' ' ' ' AB BC A B B C  ' ' AB BC AD B C ∴ ， ' ' BC BC DE B C ∴ ， 如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB. C D A B 解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC = AD : AB, ∴ AB2 = AD · AC. ∵ AD = 2 , AC = 8, ∴ AB = 4. 2 相似三角形判定定理的运用 例题 1.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 （ ） ① ② ③ ④ ①③ 2.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4， AC=5，CD= ，求AD的长. 2 17 解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD = 又∠B =∠ACD, ∴△ABC∽△DCA， ∴ A B C D 17 2 ， .AB CD BC AC ∴ BC AC AC AD  ， 25= .4AD∴ 相似三角形判定 定理的证明 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 定理的运用 定理 证明 定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似.