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- 2021-11-11 发布
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第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第1课时 利用一元二次方程解决
图形、数字问题
直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法.
2.解方程:(80-2x)(60-2x)=1500 .
1. 解一元二次方程有哪些方法?
解:(1)把方程化为一般式:x2-70x+825=0.
(2)确定a、b、c的值 :a=1,b=-70,c=825.
(3)判断b2-4ac的符号:b2-4ac=(-70)2-4×1×825=
1600>0.
(4)代入求根公式,得x1=55,x2=15.
3.列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么?
解:(1)审题;
(2)找等量关系;
(3)列方程;
(4)解方程;
(5)检验,作答.
思考:列一元二次方程解应用题的一般步骤呢?
如图所示,有一块长80cm,宽60cm的薄钢片,在四个
角上截去四个相同的小正方形,然后做成底面积为1500cm2的
没有盖的长方体盒子.求截去的小正方形的边长.
利用一元二次方程解决图形问题
80
60 60-2x
80-2x
x
x
1
根据题意,得
(80-2x)(60-2x)=1500.
解这个方程,得x1=55,x2=15.
解:设截去的小正方形的边长
为xcm,则薄钢片的长和宽分别
为(80-2x)cm、(60-2x)cm.
例1
检验:当x1=55时,长为80-2×55=-30(cm),
宽为60-2×55=-50(cm).
想一想:这符合题意吗? 不符合. 舍去.
当x2=15时,长为80-2×15=50(cm ),
宽为60-2×15=30(cm).
符合题意.
所以只能取x=15.
答:截取的小正方形的边长是15cm .
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程
解应用题的步骤类似,即审、找、列、解、答.这里要
特别注意:在列一元二次方程解应用题时,由于所得的
根一般有两个,所以要检验这两个根是否符合实际问题
的要求.
问题1:连续三个奇数,若第一个为x,则后2个为___________.x+2,x+4
问题2:连续的五个整数,若中间一个数位n,其余的为
____________________. n+2,n+1,n-1,n-2
问题3:一个两位数,十位数字为a,个位数字为b,则这个
两位数是 .10a+b
问题4:一个三位数,百位数字为x,十位数字为y,个位数字为
z,这个三位数为 .100x+10y+z
利用一元二次方程解决数字问题2
探究引导
两个连续奇数的积为63,求这两个数.
解:设这两个连续奇数为x和x+2.
根据题意,得x(x+2)=63.
解这个方程,得 x1=-9,x2=7.
当x=-9时,x+2=-7;
当x1=7时,x+2=9.
故这个两个数为7,9或-7,-9.
例2
1.三个连续整数,两两之积的和为587,求这三个数.
解:设这三个连续整数为x-1,x,x+1.
根据题意,得(x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1)=587.
当x=14时,x-1 = 13,x+1= 15;
当x=-14时,x-1= -15,x+1= -13.
故这三个数为13,14,15或-13,-14,-15.
整理,得3x2-588=0,解得x1=14,x2=-14.
2.一个两位数,十位数字与个位数字之和为5,把这个数的个
位数字与十位数字对调后,所得的新数与原来的两位数之积
为736,求这个两位数.
解:设原来两位数的个位数字为x,则十位数字为(5 - x).
列表如下:
十位 个位 两位数
原两位数 5-x x 10(5-x)+x
新两位数 x 5-x 10x+5-x
由题意,得[10(5-x)+x](10x+5-x)=736.
整理,得x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3.
故这个两位数是23或32.
3.在某次聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手
21次,求参加聚会的人数.
解:设参加聚会的人数为x.
根据题意,得
解这个方程,得 x1=7,x2=-6(舍去).
故参加聚会的人数为7.
1 212
x x .
4.一块长方形铁板,长是宽的2倍,如果在4个角上均截去边
长为5cm的小正方形,然后把四边折起来做成一个没有盖
的盒子,盒子的容积是3000cm3,求铁板的长和宽.
解:设铁板的宽为xcm,则长为2xcm.
根据题意,得5(2x-10)(x-10)=3000.
解这个方程,得x1=25, x2=-10(舍去).
故铁板的长为2×25=50(cm).
所以铁板的长为50cm,宽为25cm.
应用一元二次方程解决实际问题时,与应用一元
一次方程一样,要注意分析题意,抓住等量关系,列
出方程,把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程
的根之后,要注意检验是否符合题意,最后得到实际
问题的解答.