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- 2021-11-11 发布
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第二章 一元二次方程
专项训练二 一元二次方程的解法
§ 类型1 用指定的方法解一元二次方程
§ 1.用配方法解下列方程:
§ (1)x2+6x-5=0;
2
重难突破
§ 2.用公式法解下列方程:
§ (1)2x2-3x-1=0;
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§ 3.用因式分解法解下列方程:
§ (1)【2018·广西梧州中考】2x2-4x-30=0;
§ 解:x1=5,x2=-3.
§ (2)【2018·四川巴中中考】3x(x-2)=x-2.
§ (3)(2x+1)2-(x-3)2=0.
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§ 类型2 用适当的方法解一元二次方程
§ 4.用适当的方法解下列方程:
§ (1)x2+3x+1=0;
§ (2)3x(x-1)=2-2x;
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§ (3)y(y-8)=-16;
§ 解:整理,得y2-8y+16=0.配方,得(y-
4)2=0,解得y1=y2=4.
§ (4)9(x-1)2=25(2x-3)2;
§ (5)(x-1)2=6+2x.
§ 解:整理,得x2-4x-5=0.因式分解,得(x
-5)·(x+1)=0,∴x-5=0或x+1=0,解
得x1=5,x2=-1.
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§ 类型3 用十字相乘法解一元二次方程
§ 5.阅读与思考:
§ 整式乘法与因式分解是方向相反的变形,
§ 由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,得x2+(p
+q)x+pq=(x+p)(x+q),
§ 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二
次三项式分解因式.
§ 例如,将式子x2+3x+2分解因式.
§ 分析:这个式子的常数项2=1×2,一次项
系数3=1+2,所以x2+3x+2=x2+(1+2)x
+1×2.
§ 解:x2+3x+2=(x+1)(x+2).
§ 请仿照上面的方法,解答下列问题:
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§ (1)分解因式:x2+7x-18=
__________________;
§ (2)利用十字相乘法解方程:x2-6x+8=0;
§ (3)若x2+px-8可分解为两个一次因式的积,
求整数p的所有可能值.
§ 解:(2)将方程分解,得(x-2)(x-4)=0,
∴x-2=0或x-4=0,∴x1=2,x2=4.
§ (3)∵-8=-1×8,-8=-8×1,-8=-
2×4,-8=-4×2,∴整数p的所有可能值
为-1+8=7;-8+1=-7;-2+4=2;
-4+2=-2.
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(x-2)(x+9)
§ 6.用十字相乘法解下列方程:
§ (1)x2-8x+12=0;
§ (2)x2+7x+12=0.
§ 解:(1)∵x2-8x+12=0,∴(x-2)(x-6)=
0,∴x-2=0或x-6=0,∴x1=2,x2=6.
§ (2)∵x2+7x+12=0,∴(x+3)(x+4)=0,
∴x+3=0或x+4=0,∴x1=-3,x2=-4.
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§ 类型4 用换元法解一元二次方程
§ 7.阅读下面材料:
§ x4-5x2+4=0是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解
法通常是:
§ 设x2=y,则x4=y2.
§ ∴原方程可变为y2-5y+4=0,
§ 解得y1=1,y2=4.
§ 当y=1时,x2=1,∴x=±1;
§ 当y=4时x2=4,∴x=±2.
§ ∴原方程有4个根,分别是-1,1,—2,2.
§ 以上方法叫做“换元法”,达到降次的目的,体现数学的转化思
想,请运用上述方法解方程:(x2-2x)2+(x2-2x)-6=0.
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§ 8.已知(2x2-3x)2-4(2x2-3x)-12=0,求4x2-6x-2019的
值.
§ 解:设y=2x2-3x.原方程变形,得y2-4y-12=0,解得y1=6,
y2=-2,∴2x2-3x-6=0或2x2-3x+2=0.当2x2-3x+2=0时,
Δ<0,方程无实数解;当2x2-3x-6=0时,2x2-3x=6,∴4x2
-6x-2019=12-2019=-2007.
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§ 类型5 含绝对值的一元二次方程的解法
§ 9.阅读范例:
§ 解方程:x2+|x+1|-1=0.
§ 解:(1)当x+1≥0,即x≥-1时,
§ 原方程化为x2+x+1-1=0.
§ 整理,得x2+x=0,
§ 解得x1=0,x2=-1.
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§ (2)当x+1<0,即x<-1时,
§ 原方程化为x2-(x+1)-1=0.
§ 整理,得x2-x-2=0,
§ 解得x1=-1,x2=2.
§ ∵x<-1,∴x1=-1,x2=2都舍去.
§ 综上所述,原方程的解是x1=0,x2=-1.
§ 依照上面的方法,解方程:x2-2|x-2|-4=
0. 14
§ 解:(1)当x-2≥0,即x≥2时,原方程化为x2
-2(x-2)-4=0.整理,得x2-2x=0,即x(x
-2)=0,解得x1=0,x2=2.∵x≥2,∴x1=
0(舍去).(2)当x-2<0,即x<2时,原方程
化为x2+2(x-2)-4=0.整理,得x2+2x-8
=0,即(x+4)(x-2)=0,解得x1=-4,x2
=2.∵x<2,∴x2=2(舍去).综上所述,原
方程的解是x1=2,x2=-4. 15