人教版九年级上册数学同步课件-第24章-24垂直于弦的直径 24页

第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径 你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？ 在折的过程中你有何发现？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都 是圆的对称轴． 问题1： 如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB, 垂足为E.你 能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 线段: AE=BE； 劣弧: AC=BC, AD=BD.⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下：连结AO,BO. 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE 重合，AC和BC，AD与BD重合．⌒ ⌒⌒ ⌒ ·O A B C D E 垂径定理及其推论1 ★垂径定理 ·O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE，⌒ ⌒AC =BC，⌒ ⌒AD =BD. ★推导格式 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？ 是 不是，因为 没有垂直 是 不是，因为CD 没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 垂径定理的几个基本图形 A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C ①过圆心； ②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ D O A BE C举例证明其中一种组合方法. 已知: 求证： ① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD⌒ ⌒ ⌒⌒ 证明猜想 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD交AB于点E，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） ·O A B C D E ⌒ AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒ ⌒ （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.⌒ ⌒ ⌒⌒ 证明举例 （1）连结AO，BO，则AO=BO. 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧. ★垂径定理的推论 ⌒ ⌒ CD⊥AB, AC=BC, ⌒⌒AD=BD CD是直径， AE=BE ★推导格式 Ｄ Ｃ Ａ ＢＥ Ｏ 思考： “不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请 举出反例. ·OA B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. ·O A BE解析：连结OA. ∵ OE⊥AB， ∴ AB=2AE=16cm. 16 ∴ 2 2 2 210 6 8 AE OA OE     （cm）. 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则 AB= cm. 例1 ·O A B E C D 解：连结OA. ∵ CE⊥AB于D， ∴ 1 1 8 4(cm)2 2AD AB    设OC=xcm，则OD=（x-2）cm. 根据勾股定理，得 解得x=5. 即半径OC的长为5cm. x2=42+(x-2)2， . 如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝ 2cm，求半径OC的长. 例2 . M C D A B O N 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD， ∴AM＝BM，CM＝DM（垂直平分 弦的直径平分弦所对的弧）， ∴ AM－CM＝BM－DM， ∴AC＝BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 已知：⊙O中弦AB∥CD， 求证：AC＝BD.⌒ ⌒ 例3 垂径定理的实际应用2 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥 拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的 中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保 留小数点后一位）. 例4 A B O C D 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为Rm. 经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为点D，与AB交于点C，连 结OA，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高. 由题设可知，AB=37m，CD=7.23m， 即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. ∴ AD= AB=18.5m， OD=OC-CD=（R-7.23）m. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2, ∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3. 练一练：如图a、b, 一弓形弦长为 　cm，弓形所在的圆 的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿. 64 C D C B O A DO A B 图a 图b 2cm或12cm 在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆 心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常 常通过连半径或作弦心距构造直角三角形， 利用垂径定理和勾股定理求解. ★涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r 之间有以下关系： ★弓形中重要数量关系 A B C D O h r d 2 2 2 2 ar d       d+h=r O A BC · 2 a 1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为 .5cm 2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°，则弦AC= ___ . 10 3 cm 3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF， 且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 ____ .14cm或2cm 4.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两 条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E. 求证：四边形ADOE是正方形． D ·O A B C E 证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴四边形ADOE为矩形. 又∵AC=AB， ∴ AE=AD， ∴ 四边形ADOE为正方形. ∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°， 5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关 系？为什么？ . A C D B O E 解：AC＝BD.理由如下： 过点O作OE⊥AB，垂足为点E， 则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE， 即 AC＝BD. 如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动 点，那么OP长的取值范围 .3cm≤OP ≤5cm BA O P 垂径定理 内 容 推 论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优 弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件 就可以推出其他三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧 两 条 辅 助 线 ： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定 理计算或建立方程 基本图形及 变 式 图 形